Получение чисел подобия методом анализа размерности

В теории размерности большое значение имеет теорема, известная под названием «» теорема. Рассмотрим эту теорему.

Теорема: Если определяемый безразмерный комплекс зависит от n размерных параметров, размерности которых составлены из k независимых единиц измерения, то этот безразмерный комплекс всегда можно выразить через безразмерных комплексов, составленных из различных комбинаций размерных параметров.

Математически эту теорему можно сформулировать следующим образом. Пусть величина А зависит от n размерных параметров:

. (4.124)

Из этих n параметров k параметров имеют независимые размерности. Поэтому можно записать:

(4.125)

Тогда согласно теореме можно образовать следующие безразмерные комплексы:

(4.126)

Причем безразмерный комплекс выразится через безразмерных комплекса, то есть:

. (4.127)

Независимость размерностей величин в условии теоремы означает, что ни одна из этих размерностей не может быть представлена в виде степенного одночлена из размерностей других величин.

Если , то есть число определяющих параметров равно числу основных единиц измерения, то функциональная зависимость полностью определена с точностью до постоянного безразмерного множителя С:

. (4.128)

Если , то система определяющих параметров называется неполной. В этом случае из параметров нельзя образовать безразмерные комбинации типа (4.126).

При перечислении параметров , определяющих класс явлений, необходимо указывать все размерные параметры, связанные с существом явления, независимо от того, постоянны они или переменны. Важно, что параметры могут принимать различные численные значения в разных системах единиц измерения.

Для применения теории размерности нужно знать меньше, чем для составления уравнений движения термомеханической системы. Для одной и той же системы определяющих параметров могут быть различные уравнения движения. Уравнения движения не только показывают, от каких параметров зависят искомые величины, но содержат в себе потенциально все функциональные связи, определение которых составляет математическую задачу. Из этих соображений следует, что теория размерности по существу ограничена. С помощью одной только теории размерности невозможно определить функциональные соотношения между безразмерными величинами.

Дата добавления: 2015-07-14