Критерии и числа гидродинамического подобия

Рассмотрим систему уравнений неразрывности, движения и энергии. Полные производные в левых частях уравнений (4.104) - (4.105) представим в виде суммы локальных и конвективных производных (см. формулу (1.45)). Размерные величины, входящие в эти уравнения, разделим на соответствующие масштабы:

,

где - температура стенки, обтекаемой жидкостью.

В результате получим систему безразмерных дифференциальных уравнений:

,

где ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; .

Разделив обе части этих уравнений на соответствующие комплексы при конвективных членах, приведем систему уравнений к виду:

,

Введем обозначения безразмерных комплексов, входящих в полученные безразмерные уравнения и назовем их числами или критериями подобия:

(4.116)

С учетом этих обозначений система дифференциальных уравнений примет вид:

, (4.117)

(4.118)

(4.119)

К этой системе уравнений необходимо добавить еще безразмерные начальные и граничные условия.

Обобщенное решение полученной системы уравнений можно записать в виде функции:

. (4.120)

Для подобных течений в геометрически подобных областях числа подобия должны быть одинаковы, то есть должны выполняться условия:

,

где - латинское слово, обозначающее «то же самое».

Данные условия соответствуют полному подобию. Практически оно невыполнимо (оно выполняется только тогда, когда модель совпадает с натурой). На практике пользуются приближенным или частичным подобием. В этом случае добиваются, чтобы для модели и натуры были одинаковы только те критерии подобия, которые в исследуемой области течения существенно влияют на величину определяемого числа подобия. Критерии подобия, которые слабо или совсем не влияют в данной области течения на определяемое число подобия, называются неопределяющими и исключаются из критериального уравнения. Возможно существование областей значений определяющего критерия подобия, в которых он не влияет на величину определяемого числа подобия. Такие области называются автомодельными. В них подобие выполняется автоматически при любых значениях этого критерия подобия.

Часто используют числа подобия, получаемые из уже рассмотренных чисел подобия, например:

(4.121)

Из равенства тепловых потоков вблизи стенки можно найти число подобия, называемое числом Нуссельта:

;

. (4.122)

Гидродинамическое и тепловое подобие выполняются при подобии полей скорости и температуры, а также при равенстве соответствующих чисел подобия. Равенство одноименных чисел подобия означает равенство отношений соответствующих масштабов сил и потоков энергии в сходственных пространственно-временных точках подобных течений. Например, число Рейнольдса характеризует отношение масштабов сил инерции и сил вязкости, а число Пекле – отношение масштабов конвективного потока теплоты и потока теплоты, передаваемой за счет молекулярной теплопроводности (диффузии).

Дата добавления: 2015-07-14