Лагранжа, Бернулли и Громека

Используя ранее полученные выражения для конвективного ускорения и полного ускорения, перепишем уравнение Эйлера (4.109) в форме, предложенной Громека и Ламбом:

. (4.110)

Воспользуемся функцией давления, справедливой для баротропных процессов (процессов, в которых плотность жидкости является только функцией давления):

.

Вычислим градиент функции давления:

. (4.111)

Полагая поле массовых сил потенциальным () и используя значение (4.111), получим из формулы (4.110):

.

Умножим обе части этого уравнения скалярно на вектор перемещения вдоль линии тока :

. (4.112)

Уравнение (4.112) имеет аналитическое решение, если его правая часть равна нулю, то есть:

.

Определитель равен нулю, если равны нулю элементы одной строки или элементы строк пропорциональны друг другу. Поэтому можно рассмотреть три частных случая движения жидкости:

1) или . Этот случай соответствует безвихревому или потенциальному течению жидкости, так как можно положить , где - потенциал вектора скорости ().

2) или , где - скалярный множитель. Эти соотношения являются уравнением линии тока. Следовательно, в этом случае жидкая частица движется вдоль линии тока и, в общем случае, произвольно вращается.

3) или , где - скалярный множитель. Эти соотношения являются одновременно уравнениями вихревой линии и линии тока. Следовательно, в этом случае жидкая частица движется вдоль линии тока, совершая винтовое движение ().

В этих трех частных случаях уравнение (4.112) примет вид:

. (4.113)

В первом случае потенциального движения жидкости во всей расчетной области вектор скорости пропорционален градиенту скорости (). Тогда формулу (4.113) можно переписать в виде:

,

где .

Интегрируя последнее уравнение, получим интеграл:

или

, (4.114)

где ; - произвольная функция времени, определяемая из начальных условий.

Интеграл (4.114), справедливый во всех точках расчетной области, называется интегралом Лагранжа.

Во втором и третьем случаях при стационарном движении жидкой частицы вдоль линии тока () после упрощения (4.113) придем к уравнению:

.

После его интегрирования получим интеграл:

или

. (4.115)

Если жидкая частица движется вдоль линии тока с угловой скоростью не параллельной вектору скорости, то интеграл (4.115) называется интегралом Бернулли. Если вектор угловой скорости жидкой частицы параллелен вектору скорости (винтовое движение), то интеграл называется интегралом Громека.

Интегралы Бернулли и Громека справедливы при стационарном вихревом движении жидкости. Интеграл Лагранжа справедлив и для нестационарных, но безвихревых (потенциальных) течений. Если безвихревое течение жидкости стационарно, то интеграл Лагранжа по форме совпадает с интегралами Бернулли и Громека, но при этом принципиально отличается от них по сути – интеграл Лагранжа справедлив в любой точке потока, а интегралы Бернулли и Громека только вдоль линии тока. Константа интегрирования в стационарном интеграле Лагранжа имеет постоянное значение во всей области течения, а в интегралах Бернулли и Громека она не меняется только вдоль линии тока и принимает различные значения на других линиях тока.

Дата добавления: 2015-07-14