Принцип компактности отрезка (теорема Больцано - Коши)

Ранее было показано, что если последовательность имеет конечный предел , то она является ограниченной. При этом обратное неверно.

Например, ограничена, но предела не имеет. Вместе с тем, если вся ограниченная последовательность может не иметь предела, то у нее всегда существует подпоследовательность, которая имеет конечный предел. Это утверждение называется принципом компактности отрезка, или теоремой Больцано – Вейерштрасса.

Теорема Больцано – Вейерштрасса о выделении сходящейся последовательности из ограниченной последовательности

Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то есть если .

Пусть при .

Разделим отрезок пополам точкой ; при этом, по крайней мере, на одной половине окажется бесконечно много членов из ; обозначим эту половину и выберем на ней произвольно :

Рис. 1

Снова разделим на две равные части и ту часть, в которую попадает бесконечно много членов из , обозначим .

Поскольку на находиться бесконечно много членов из , то среди них есть члены с номерами заведомо большими, чем .

Выберем один из таких членов и обозначим его :

Рис. 2

Итак, , ;

.

Аналогично найдем

и так далее.

В результате получится подпоследовательность из чисел

, в которой ;

при этом отрезки будут вложенными, то есть

их длины равны при .

По свойству вложенных отрезков, длины, которых стремятся к нулю, получим, что эти отрезки имеют непустое пересечение, а точнее, что точка при причем . Так как последовательности и являются монотонными и ограниченными, то по теореме Вейерштрасса из предыдущего параграфа заключаем, что .

Теперь рассматриваем этот факт вместе с двойным неравенством:

и по теореме о пределе зажатой последовательности делаем вывод, что .

Таким образом, построенная подпоследовательность имеет конечный предел, т.е. является сходящейся.

В случае, когда последовательность является неограниченной, из неё всегда можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность.

Действительно, пусть - неограниченна, потому что, например, неограниченна сверху. Тогда существует такой номер , что . Поскольку последовательность

получающаяся из данной последовательности отбрасыванием конечного числа её членов , также неограничена сверху, то найдется такой номер , что , следовательно, . Продолжая эти рассуждения, получим такие члены последовательности , что .

Таким образом, построена подпоследовательность , которая монотонно возрастает и неограничена сверху, поэтому , т.е. является бесконечно большой, ч.т.д.

Пример

- это неограниченная последовательность, но не бесконечно большая;

, , , т.е. из неограниченной последовательности извлечены несколько бесконечно больших подпоследовательностей.

Дата добавления: 2015-07-12