Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

Всякая возрастающая числовая последовательность имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, или бесконечный, если она не ограничена снизу;

при этом .

Пусть и .

Возьмём произвольную окрестность и обозначим через её левый конец, рис.а и б:

Рис.а Рис.б

Очевидно, что . Из определения точной верхней грани множества имеем:

Так как , то все при , то есть все , начиная с номера . Но промежуток входит в , поэтому все при .

По определению предела это и означает, что , ч.т.п. Вторую часть теоремы рекомендуется доказать самостоятельно аналогичным образом.

Схематично связь монотонности последовательности с её пределом является такой:

- монотонная.

Другими словами, монотонность числовой последовательности является достаточным условием для существования её предела (конечного, если последовательность ограниченная или бесконечного, если последовательность неограниченная). Однако это достаточное условие не является необходимым. Например, последовательность имеет пределом число 0, но не является монотонной.

Если же последовательность является и монотонной и ограниченной, то это является необходимым и достаточным условием её сходимости:

Поэтому монотонность и ограниченность последовательности называют признаком, гарантирующим существование её конечного предела.

Дата добавления: 2015-07-12