Мощность множества

Чтобы выделять множества, эквивалентные данному множеству, вводится понятие мощности множества.

В простейшем случае, когда – конечное множество, перенумеруем его элементы:

.

Получим взаимно однозначное соответствие между множеством и конечным подмножеством натуральных чисел

.

В таком случае говорят, что мощность множества равна количеству его элементов .

Если множество эквивалентно множеству натуральных чисел :

,

то элементы этого множества также можно перенумеровать

.

В этом случае множество называется счетным. Мощность всех счетных множеств одинакова и обозначается буквой .

Доказано [1], что из всех бесконечных множеств счетные множества имеют минимальную мощность. Например, отрезок имеет большую, чем , мощность. Мощность отрезка называется мощностью континуума. Будем обозначать ее через . Мощность имеют не только все конечные, но и бесконечные отрезки, интервалы и полуинтервалы на числовой оси, в том числе и вся числовая ось.

Существуют множества, мощность которых больше, чем .

§ 1. Функция

Рассматриваемые в математике величины можно разделить на два класса: постоянные, т.е. величины, принимающие лишь одно значение, и переменные, т.е. величины, которые могут в процессе решения задачи принимать различные значения.

Переменная величина обозначается каким-либо символом. Она считается заданной, если известно множество значений, которые она может принимать. Это множество называется областью изменения переменной. Как правило, переменные обозначаются строчными буквами (латинскими или греческими), а множества их значений – прописными. Так как числа изображаются точками на числовой оси, значения переменной будем часто называть точками.

Области изменения переменной могут быть весьма разнообразны. Переменная может принимать натуральные значения, в этом случае областью ее изменения является множество натуральных чисел . Областью изменения переменной может также служить любой числовой промежуток: –­ замкнутый; – открытый; или – полуоткрытый; любой бесконечный промежуток: , , , или , а также объединение или пересечение промежутков.

Основным понятием при изучении зависимости между переменными величинами является понятие функции.

Определение 1.1. Пусть заданы переменная с областью изменения и переменная с областью изменения . Если можно указать правило , по которому каждому значению ставится в соответствие значение , то переменная называется функцией переменной . При этом переменная называется аргументом функции, множество – областью определения (или областью задания) функции, а множество – областью изменения (или областью значений) функции.

Тот факт, что является функцией записывается следующим образом:

или .

Определение 1.2. Функция натурального аргумента , называется последовательностью. Элементы последовательности обозначаются :

().

Функции, у которых каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции , называются однозначными. Функции, у которых значению аргумента могут соответствовать несколько значений функции, называются многозначными. В дальнейшем будут рассматриваться только однозначные функции.

Итак, функция представляет собой тройку , в которую входят: область определения , область значений и правило , по которому устанавливается соответствие между элементами множеств и . Задать функцию – означает указать все три элемента .

Дата добавления: 2015-07-11