Вибір типу моделі

Метод математичного моделювання, який зводить дослідження явищ зовнішнього світу до математичних задач, займає провідне місце серед інших методів дослідження, особливо у зв’язку з розвитком ЕОМ. Він дозволяє проектувати нові технічні засоби, які працюють в оптимальних режимах, і застосовується для розробки систем управління та економічного планування.

Вибір типу математичної моделі є важливим моментом, який визначає напрямок всього дослідження. На етапі вибору типу моделі за допомогою аналізу даних спеціально поставлених пошукових дослідів встановлюють: лінійність чи нелінійність; статичність чи динамічність, стаціонарність чи нестаціонарність, а також міру детермінованості об’єкту або процесу, який досліджується.

Лінійність або нелінійність встановлюється за характером зв’язку між величиною зовнішньої дії на об’єкт і величиною реакції на цю дію. Якщо лінійна зміна зовнішньої дії (вхідного параметра) викликає лінійну зміну реакції (вихідного параметру), то такий об’єкт може бути описаний лінійною математичною моделлю. Якщо вихідний параметр змінюється нелінійно, то для моделювання необхідно застосовувати нелінійну математичну модель.

Статичність або динамічність об’єкта оцінюють за поведінкою вихідного параметра об’єкта в часі. Якщо за фіксовані проміжки часу середньоарифметичне значення вихідного параметра при постійному значенні вхідного фактора значимо не змінилось, то такий об’єкт оцінюють як статичний і навпаки. Побудова функціональної моделі статичного об’єкта відбувається за допомогою алгебраїчних рівнянь, регресійних моделей або систем алгебраїчних рівнянь; динамічні моделі описують диференціальними рівняннями.

Об’єкти оцінюють також як детерміновані або недетерміновані (імовірнісні). Детермінованими називають об’єкти, у яких кожному значенню вхідної дії відповідають точно визначені величини вихідних параметрів. Такі об’єкти описуються в статичних режимах алгебраїчними, а в динамічних режимах – диференціальними або інтегральними рівняннями. Протилежними детермінованим є недетерміновані або імовірнісні об’єкти, в яких немає визначених співвідношень між входами і виходами, а можна встановити тільки деякі імовірні співвідношення між ними. Недетерміновані об’єкти або системи називають ще стохастичними або випадковими.

Вибираючи тип моделі імовірнісного об’єкта, важливо встановити його стаціонарність. Про стаціонарність або нестаціонарність об’єктів судять за зміною в часі параметрів закону розподілу середнього вибіркового та середнього квадратичного відхилення. Стаціонарним випадковим процесом називають випадковий процес, статистичні характеристики якого не змінюються протягом часу. У протилежному випадку об’єкт визначають як випадковий нестаціонарний.

Велике значення для вибору типу моделі має аналіз літературних джерел, в яких наведені результати досліджень інших авторів. Це дає можливість чітко уявити сферу дослідження, поділити діючі фактори на постійні і змінні, залежні та незалежні, вхідні та вихідні параметри; встановити безперервність чи дискретність об’єкта дослідження та діючих факторів. Якщо фактори можуть набувати будь-якого значення у сфері їх визначення, то їх називають безперервні, якщо вони можуть бути задані як окремі точки без проміжних значень, то їх називають дискретними.

Для моделювання безперервних об’єктів та процесів застосовують диференціальні рівняння; дискретні моделюють, застосовуючи апарат теорії автоматів. Орієнтовно вибір методів для побудови математичної моделі залежно від типу об’єкта або процесу дослідження можна здійснити за схемою, наведеною на рис.1.

Y = k x X

Рис.1

Як видно із схеми, вибір математичного апарату для побудови математичних моделей не є однозначним і жорстким. Якщо позначити вхідний фактор X,а вихідний Y, то при статичному стаціонарному об’єкті ці величини зв’язані постійним коефіцієнтом.

Якщо процес нестаціонарний, то для характеристики зв’язку потрібно визначити вид функції. Найчастіше використовують степеневий поліном (рис.2).

Y = b₀ + b₁ x X + b₂ x X²….

Рис.2

У тому випадку, коли на об’єкт дослідження діють декілька змінних факторів X_і (і = 1...к), то математичну модель можна вибрати у вигляді многочлена (рис.3).

Рис.3

Для нестаціонарного об’єкта моделлю вибирають диференціальні рівняння, вирішенням яких є алгебраїчні функції.

Вибір моделі динамічного об’єкта зводиться до складання диференціальних рівнянь звичайних або частково похідних.

Якщо об’єкт має лінійний характер, то він може бути описаний рівняннями (рис.4;5).

Рис.4

Рис.5

Нелінійні об’єкти моделюють диференціальними рівняннями.

Для імовірнісних стаціонарних об’єктів моделлю може бути закон розподілу вихідної величини. Нестаціонарний об’єкт оцінюється набором законів розподілу вихідної величини для всіх значень змінного фактору і значенням коефіцієнту взаємної кореляції.

Дата добавления: 2015-07-11