Замечательного предела.

В более подробном курсе математического анализа доказывается, что функция при имеет пределом число , то есть

. (1)

На практике при решении примеров используется следующая формула

. (2)

Формула (2) применяется для вычисления пределов вида (их называют “пределами типа ”), причем , (то есть раскрытие степенно-показательной неопределенности ). Покажем на примерах применение формулы (2).

Пример 1. Вычислить пределы: 1) ; 2) .

Решение

1) Первоначально оцениваем предел и получаем неопределенность . Для решения “пределов типа ” с использованием формулы (2) сначала необходимо выделить функцию () и затем “подогнать” предел под формулу (2). В нашем примере приравняем дробь к выражению : . Тогда отсюда , причем . Применяя формулу (2), получим

.

После выделения числа по формуле (2) в последнем пределе необходимо вернуться к переменной , учитывая, что :

.

2) Имеем

.

Пример 2. Вычислить предел .

Решение. В пределе примем , . Последовательно подгоняя предел под формулу (8.2), получаем

Вычисляем отдельно предел

.

Докажем далее следующие вспомогательные пределы (, )

, , (3)

, . (4)

Для доказательства формулы (3) достаточно подогнать предел под формулу (2) (используя свойство логарифма , , ):

.

Для доказательства формулы (4) сначала сделаем замену переменной . При этом , , причем при имеем . Теперь подгоняем под формулу (2)

На практике при решении примеров удобнее пользоваться следующими эквивалентностями (следствиями из формул (3), (4))

при , (5)

при , (6)

при , (7)

при . (8)

На основании формул (2), (4) докажем формулы ()

, (9)

при . (10)

Выделим в числителе число (формула (2)):

а затем применим формулу (4)

.

Пример 3. Вычислить предел .

Решение. В пределе сделаем замену , при этом , при . Используя эквивалентности (6), (8), получим

Пример 4. Вычислить предел .

Решение. Вынесем в числителе за скобки (), а в знаменателе воспользуемся формулой разности синусов. Тогда получим

.

Используя далее цепочки эквивалентностей ,

, при (формула (7)), получим

.

Пример 5. Вычислить предел .

Решение. В пределе делаем замену переменной (, ) и используем цепочку эквивалентности (5):

.

Для вычисления последнего предела воспользуемся методом сопряженных выражений:

.

Дата добавления: 2015-07-14