Основные характеристики Ф1П

Постепенно по мере расширения средств исследования, мы будем давать все более полное описание функции. Пока же введем основные и простейшие характеристики (особенности) функций.

Определение 1.2. Функция называется четной ( нечетной ), если ее область определения симметрична относительно начала координат (точки ) и при всех выполняется

. (1.1)

График четной функции симметричен относительно оси ординат (см. рисунок 1.3.а), график нечетной функции симметричен относительно начала координат точки – (см. рисунок 1.3.б).

Четная функция

Рис.1.3.а. Рис.1.3.б.

Примерами четных функций являются функции , , . Нечетными функциями являются, например, функции , , . Существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными. Они называются функциями общего вида.

Пример 1.2. Показать, что функция является четной, а

функция – нечетной (принять , последнее означает, что область определения состоит из всех действительных чисел, кроме чисел –1, 1).

Решение.

1) Область определения симметрична относительно точки и при всех :

(используем свойство модуля ).

2) Область определения симметрична относительно точки и при всех :

(использовали свойство логарифма ()). ■

Определение 1.3. Функция называется периодической, если существует положительное число (называемой периодом функции) такое, что при всех выполняются:

;

. (1.2)

Если функция имеет период , то выполняются равенства

,

то есть число также период функции .

Наименьший период называется основным периодом функции .

Для построения -периодической функции достаточно построить график этой функции на каком-то отрезке (), а затем продолжить его по периодичности на всю область определения (см. рисунок 1.4).

Рис. 1.5.

Определение 1.4. Функция в точке имеет нуль, если . Графически это означает, что в точке график функции пересекает ось (см. рисунок 1.5). Для функции нулями являются точки , , .

Определение 1.5. Интервал называется интервалом знакопостоянства функции , если на этом интервале функция сохраняет свой знак, то есть при всех : или .

В интервале положительного (отрицательного) знака график функции расположен выше (соответственно ниже) оси . Так, на рисунке 1.5 интервалами положительного знака являются интервалы , ; интервалами отрицательного знака – интервалы , .

Определение 1.6. Функция называется строго возрастающей ( строго убывающей ) на интервале , если при всех таких, что выполняется (соответственно ).

Другими словами, функция является строго возрастающей на (обозначаем символом ), если большему значению независимой переменной (аргументу) соответствует большее значение функции (см. рисунок 1.6.а). Функция является строго убывающей на (обозначаем ), если большему значению аргументу соответствует меньшее значение функции (см. рисунок 1.6.б).

Рис. 1.6.а.

Рис. 1.6.б.

О возрастании и убывании можно оговорить и в более широком смысле слова. Так, функция называется неубывающей ( невозрастающей ) на интервале , если при всех таких, что выполняется нестрогое неравенство (соответственно ).

Определение 1.7. Функция называется постоянной на интервале , если при всех выполняется ( – некоторое число, знак означает тождественное равенство).

Если функция является на интервале неубывающей, то его можно разбить на такие интервалы, на каждом из которых функция будет являться или строго возрастающей, или постоянной. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном строго возрастающие или строго убывающие функции. Такие функции назовем монотонными функциями, а соответственные интервалы – интервалами монотонности (возрастания или убывания).

Определение 1.8. Функция называется ограниченной на множестве , если существуют числа () такие, что при всех выполняется двойное неравенство .

Графически ограниченность функции на множестве означает, что график функции ограничен снизу прямой , а сверху прямой . Например, графики функций (синусоида), (косинусоида) ограничены прямыми , (, ).

Введем важное понятие математического анализа – сложная функция.

Определение 1.9. Пусть даны функции (, ), (, ). Функция вида

(1.3)

называется сложной функцией (композицией) функции на функцию .

Согласно форме записи (1.3), чтобы найти значение сложной функции , сначала необходимо по независимой переменной вычислить значение , а затем по найденному значению найти значение . При этом функцию будем называть внутренней функцией композиции, а функцию – внешней функцией композиции.

Пример 1.3. Записать функцию , где , как функцию: 1) аргумента , полагая ; 2) аргумента , полагая .

Решение.

1) Полагая (здесь считаем аргументом, то есть независимой переменной), функция будет иметь вид . Тогда

.

Эта функция вычисляется по следующей схеме

.

2) Полагая (здесь считаем зависимой от переменной ), функция будет иметь вид . Тогда

.

Эта функция вычисляется по следующей схеме

. ■

Дата добавления: 2015-07-14