Читайте также: |
|
7. Раскрытие неопределенности .
8. Раскрытие неопределенности .
7. Раскрытие неопределенности
Рассмотрим предел от дробно-рациональной функции, где
– многочлены степеней n, m соответственно. В этом случае для раскрытия неопределенности
необходимо вынести за скобки в числителе и знаменателе дроби множитель
, где
– наибольшее из степеней
. После вынесения сократить функцию на общий множитель
и произвести оценку предела, учитывая, что
(
,
).
Пример 1. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность ):
1) 2)
; 3)
.
Решение
1) В пределе имеем неопределенность , многочлены
,
. Выносим за скобки в числителе и знаменателе функции (дроби) множитель
(
). Тогда получаем
.
2) Имеем предел , где
,
. Выносим за скобки в числителе и знаменателе дроби
множитель (
). Тогда получаем
.
3) Вычисляем
.
Можно непосредственно доказать (сделайте самостоятельно), что
где ,
.
Рассмотрим далее , где
– бесконечно-большие функции при
, содержащие в общем случае корни различных степеней. В этом случае для раскрытия неопределенности
применяется тот же прием, что и выше. За скобки в числителе и знаменателе дроби необходимо вынести множитель
, где
– наибольшая степень из всех возможных степеней переменной
с учетом корней. Заметим, что целесообразно число
выбирать натуральным. Поясним на примерах этот прием.
Пример 2. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность ):
1) ; 2)
.
Решение
Для предела имеем
,
,
,
. Вынесем за скобки в числителе и знаменателе множитель
, так как степень 1 наибольшая из всех степеней переменной
с учетом корней
,
:
.
2) В пределе имеем ,
,
,
. Вынесем за скобки в числителе и знаменателе множитель
, так как степень 2 наибольшая из всех степеней переменной
с учетом корней
,
:
.
Раскрытие неопределенности
Рассмотрим предел (
), причем многочлены
таковы, что
. Для раскрытия неопределенности
, возникающей в пределе, необходимо выделить в многочленах
линейный множитель
(он и дает неопределенность). После сокращения числителя и знаменателя на множитель
, необходимо снова оценить предел и при возникновении неопределенности заново применить этот способ. Теоретически предлагаемая схема выглядит так:
,
где – некоторые многочлены степеней
соответственно. При выделении общего линейного множителя
руководствуются тем фактом, что так как при
многочлены
обращаются в нуль, то они без остатка делятся на
(например, столбиком или при помощи схемы Безу), откуда и получаются многочлены
.
Пример 1. Вычислить пределы:
1) ; 2)
; 3)
.
Решение
1) В пределе имеем
,
,
,
. Разложив многочлены на множители (по формулам сокращенного умножения), выделим общий множитель
и после сокращения снимем неопределенность:
.
Оценивая предел , имеем неопределенность
.
Значит, числитель и знаменатель
делятся на линейный множитель
. Проводя деление столбиком, получим (знаменатель
раскладываем по разности кубов):
![]() | ![]() | ![]() |
3). Выделяем в числителе и знаменателе дроби множитель (то есть делим многочлены на
):
.
В полученном пределе имеем снова неопределенность
. Выделяя множитель
, получим
Рассмотрим далее предел (
), в котором алгебраические функции
обращаются в нуль в точке
:
. Данный предел отличается от рассмотренного выше предела тем, что функции
не являются многочленами от переменной
и в общем случае содержат корни различных степеней. Для раскрытия неопределенности
, как и выше, необходимо выделить в числителе и знаменателе линейный множитель
, дающий неопределенность.
На практике выделение множителя можно проводить различными методами: сопряженных выражений, замены переменной или разложением на множители. Рассмотрим на практике эти методы.
Пример 2. Вычислить пределы: 1) ; 2)
.
Решение
1) Для предела имеем неопределенность
, так как
,
,
,
. Применим здесь метод сопряженных выражений. Умножим и разделим числитель, знаменатель функции на
– выражение, сопряженное к
(вообще, выражения
,
называют сопряженными, их произведение
). Получаем
.
Из решения примера наглядно видно, что применив метод сопряженных выражений, мы избавились сначала от корня в числителе:
,
выделив множитель , и сократив на него, избавились от неопределенности.
2) Имеем предел . Воспользуемся методом сопряженных выражений для выделения множителя
. Имеем
.
Видно, что умножение числителя и знаменателя на выражение привело к выделению множителя
только в числителе. Поэтому применим метод сопряженных выражений к знаменателю (умножим и разделим на выражение
– сопряженное к знаменателю):
.
Пример 3. Вычислить предел .
Решение. В пределе появляется неопределенность . Для раскрытия этой неопределенности сначала приводим дроби к общему знаменателю, в результате чего получаем неопределенность
:
.
Разложив на множители
, получим
.
Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 73 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Понятие бесконечно-малой функции, бесконечно-большой функции, их свойства. Основные теоремы о пределах Ф1П, свойства пределов | | | Следствия из первого замечательного предела |