Область определения и область значений Ф1П.

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Математический анализ»

для направления 080100 «Экономика»

Рязань 2012

Тема 2. Функция одной переменной.

Предел и непрерывность функции одной переменной

Лекция 1

Понятие функции одной переменной (Ф1П), ее способы задания. Область определения и область значений Ф1П.

Основные характеристики Ф1П.

Понятие функции одной переменной (Ф1П), ее способы задания.

Область определения и область значений Ф1П.

Прежде чем ввести понятие “функция”, введем понятие “множество”. Множество – совокупность (набор) объектов одной природы, обладающих некоторым общим свойством. Объекты, объединенные этим общим свойством, называются элементами множества и обозначают малыми буквами латинского алфавита: Множества обозначают заглавными буквами: Символом обозначаем принадлежность элемента множеству .

Далее будем рассматривать числовые множества, то есть множества, элементами которых являются числа. Приведем примеры наиболее часто встречающихся числовых множеств.

Множество называют множеством натуральных чисел. Множество называют множеством целых чисел. Множество называют множеством рациональных чисел. Каждое рациональное число есть отношение двух целых чисел (, ).

Рассмотрим множество – множество действительных чисел. Оно отождествляется с множеством всех точек числовой прямой. Числовой прямой называется прямая линия, на которой выбрано начало отсчета длин (точка , или число 0), масштаб (единица измерения) и направление отсчета.

В результате каждое действительное число отождествляется с точкой на числовой прямой.

Важнейшим свойством множества является его упорядоченность. Оно позволяет определить следующие множества на числовой прямой (таблица 1.1) при помощи соответствующих неравенств.

Таблица 1.1.

название множества	символьное обозначение	Графическое обозначение
интервал
сегмент (отрезок, закрытый интервал)
правый полуинтервал
левый полуинтервал

Теперь введем понятие “функция” – фундаментального понятия математического анализа. Пусть даны два множества , . Элементы этих множеств будем называть переменными.

Определение 1.1. Функцией из множества в множество называется закон (правило) , по которому каждому элементу из множества ставится в соответствие единственный элемент из множества .

Это записывают следующим образом или более кратко . При этом множество называют областью определения функции (обозначаем ), множество – областью значений функции (). Переменная считается независимой переменной (аргументом функции), а переменная – зависимой переменной (зависит от ).

Рассмотрим основные способы задания функции.

1) Аналитический способ. При таком способе задания функция задается аналитической формулой , то есть переменная задается через переменную посредством арифметических операций и элементарных функций. При этом под областью определения понимается такое множество значений , при которых формула, определяющая функцию, имеет смысл. Это означает, что в результате применения формулы мы получим для каждого значения единственное действительное значение .

Например, . Вычисляя значение функции в точке , получим .

2) Графический способ. Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (первая координата называется абсциссой, вторая координата – ордината (см. рисунок 1.1).

При этом на графике функции нельзя найти такие две точки , , у которых ординаты различные (), а абсциссы равные (). Приведем следующий классический пример.

Рис.1.1.

Известно, что окружность с центром в начале координат и радиуса 1 имеет уравнение (см. рис.1.2). Разрешая это уравнение относительно переменной , получим или . Таким образом, окружность задается графиками двух функций (верхняя часть окружности), (нижняя часть окружности).

Рис.1.2.

Пример 1.1. Для функции найти: 1) , 2) , 3) , 4) (в последнем случае ).

Решение. 1) Для определения имеем систему неравенств: Решаем ее метод интервалов:

+ – +

+ – +

Решением системы неравенств (a), (b), (c) является отрезок = .

2) Имеем .

3) Найдем . Для этого в формулу, определяющую функцию, подставляем вместо переменной “новую” переменную :

.

4) Имеем

■

Дата добавления: 2015-07-14