Показательные функции

Показательная функция имеет вид (), где число называют основанием. От него зависят характеристики функции и график (см. таблица 2.2). Характерными (особыми) точками графика этой функции являются точки , , .

Таблица 2.2.

График функции	Характеристики Функции
	, , строго возрастающая на , не ограниченная, при имеем , при имеем , прямая – горизонтальная асимптота.
	, , строго убывающая на , не ограниченная, при имеем , при имеем , прямая – горизонтальная асимптота.

Частным случаем показательной функцией является экспоненциальная функция ().

3. Логарифмические функции

Логарифмическая функция имеет вид (), где число называют основанием функции. Характеристики функции и ее график зависит от основания (см. таблица 2.3). Характерными (особыми) точками графика этой функции являются точки , , .

Таблица 2.3.

График функции	Характеристики Функции
y	, , строго возрастающая на , нуль при , не ограниченная, при имеем , при (справа) , прямая – вертикальная асимптота.
	, , строго убывающая на , нуль при , не ограниченная, при имеем , при имеем , прямая – вертикальная асимптота.

Частными случаями логарифмической функции являются:

логарифмическая функция натурального основания ,

логарифмическая функция десятичного основания .

Определение 2.2. Пусть задана функция . Если каждому значению из множества можно поставить в соответствие единственное значение из множества , то для функции задана обратная функция . При этом , и функции , называются взаимно-обратными функциями.

Не для каждой функции на области определения можно найти обратную к ней функцию. Пусть , , . Выражая , получим или , то есть одному значению соответствуют два различных значения , что противоречит определению функции.

Примем без доказательства следующее утверждение (см. рис. 2.1): чтобы у функции на всей области определения существовала обратная функция необходимо и достаточно, чтобы функция на всей области определения была строго монотонной; при этом монотонной будет и обратная функция.

Например, показательная функция (, ) строго возрастает на (при ). Поэтому для нее существует обратная функция (выражаем ): – логарифмическая функция (, ). После замены переменных () получим . Итак, показательная и логарифмическая функции – взаимно-обратные функции. Если две взаимно-обратные функции зависят от одной переменной , то их графики симметричны относительно прямой (рис.2.1).

Рис. 2.1.

Пример 2.1. Для функции найти обратную функцию.

Решение. Можно проверить, что функция строго возрастает на области определения . Значит, для нее существует обратная функция. Выразим переменную через переменную :

, , , .

Итак, . Обратную функцию запишем от переменной (то есть заменим на , а – на ), получим: . ■

Дата добавления: 2015-07-14