Следствия из первого замечательного предела

Первый замечательный предел имеет вид

(1)

и он позволяет раскрывать неопределенность , причем в пределе присутствуют тригонометрические функции.

Наряду с формулой (1) можно также непосредственно доказать следующие формулы (следствия из первого замечательного предела)

. (2)

На практике же при решении примеров применяются не формула (1) и ее следствия (2), а следующие формулы

, , , (3)

или цепочка эквивалентностей

при . (4)

Пример 1. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность ):

1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) Для решения предела воспользуемся цепочкой эквивалентности:

, так как при ,

, так как при .

В результате получим .

2) В пределе , чтобы воспользоваться цепочкой эквивалентности

, так как при ,

(воспользовались формулой разности косинусов

).

В результате получим .

3) Упростим числитель и знаменатель (выделим синусы), чтобы привести к цепочке эквивалентностей:

,

.

Тогда применяя цепочку эквивалентностей, получим

.

Пример 2. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность ):

1) ; 2) ; 3) .

Решение.

Для решения воспользуемся преобразованиями

Чтобы применить первый замечательный предел, сделаем линейную замену переменной: , при этом . Если , то . Тогда получим

.

2) Сделаем замену переменной . При этом и если , то . Тогда

.

3) Учитываем, что . Сделав линейную замену переменной ( и при ), получим

(использовали цепочку эквивалентностей , ).

Дата добавления: 2015-07-14