Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Непрерывность функции, свойства непрерывных функций

Читайте также:
  1. I. О слове «положительное»: его различные значения определяют свойства истинного философского мышления
  2. I. Общие свойства
  3. Q.3. Магнитные свойства кристаллов.
  4. А. Вспомогательные элементы для связи функций между собой
  5. Адаптогенные свойства алоэ вера
  6. Адгезионные свойства фильтрационных корок буровых растворов.
  7. Алгоритм нахождения СДНФ функции, заданной таблицей истинности.

Важным понятием для функции является понятие ее непрерывности.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и предел функции в точке совпадает со значением функции в точке , то есть

, .

Расшифруем более подробно это определение. Функция непрерывна в точке , если выполняются условия:

1) (то есть можем найти значение ),

2) существует конечный предел функции в точке :

,

3) предел функции в точке совпадает со значением функции в точке :

.

Рис.1. Введенное понятие можно продемонстрировать графически (см. рис.1). В окрестности точки (то есть в интервале ) график функции идет линией без разрывов.  

Определение 2. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества .

О непрерывности функции можно говорить на области определения , на интервале или отрезке.

Рассмотрим простейшие свойства непрерывных функций.

1) Непрерывность основных элементарных функций. Все основные элементарные функции: (), , (), , , , , , , , непрерывны на своей области определения (то есть во всех точках, где они определены). Это можно легко понять, если взглянуть на графики этих функций.

2) Если функции , непрерывны на множестве , то на этом множестве непрерывными будут также функции , , (если ).

3) Непрерывность сложной функции. Если функция непрерывна на множестве , функция непрерывна на множестве , то сложная функция непрерывна на множестве .

Пример 1. Построить график функции . Показать, что эта функция непрерывна в точке и на всей области определения.

Решение. График функции, представленный на рисунке 9.4, наглядно показывает, что функция непрерывна на своей области определения. Возьмем точку и покажем, что для нее выполняются все три условия непрерывности. Очевидно, что , причем . Находим односторонние пределы: Рис.9.4.

,

,

тогда , то есть функция непрерывна в точке .

 

 


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 124 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Основные характеристики Ф1П | Основные элементарные функции, их графики | Показательные функции | Тригонометрические функции | Обратные тригонометрические функции | Понятие предела Ф1П в конечной точке, на бесконечностях | Понятие бесконечно-малой функции, бесконечно-большой функции, их свойства. Основные теоремы о пределах Ф1П, свойства пределов | Лекция 4 | Следствия из первого замечательного предела | Замечательного предела. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Односторонние пределы функции одной переменной| классификация точек разрыва функции одной переменной

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)