Непрерывность функции, свойства непрерывных функций

Важным понятием для функции является понятие ее непрерывности.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и предел функции в точке совпадает со значением функции в точке , то есть

, .

Расшифруем более подробно это определение. Функция непрерывна в точке , если выполняются условия:

1) (то есть можем найти значение ),

2) существует конечный предел функции в точке :

,

3) предел функции в точке совпадает со значением функции в точке :

.

Рис.1.

Введенное понятие можно продемонстрировать графически (см. рис.1). В окрестности точки (то есть в интервале ) график функции идет линией без разрывов.

Определение 2. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества .

О непрерывности функции можно говорить на области определения , на интервале или отрезке.

Рассмотрим простейшие свойства непрерывных функций.

1) Непрерывность основных элементарных функций. Все основные элементарные функции: (), , (), , , , , , , , непрерывны на своей области определения (то есть во всех точках, где они определены). Это можно легко понять, если взглянуть на графики этих функций.

2) Если функции , непрерывны на множестве , то на этом множестве непрерывными будут также функции , , (если ).

3) Непрерывность сложной функции. Если функция непрерывна на множестве , функция непрерывна на множестве , то сложная функция непрерывна на множестве .

Пример 1. Построить график функции . Показать, что эта функция непрерывна в точке и на всей области определения.

Решение. График функции, представленный на рисунке 9.4, наглядно показывает, что функция непрерывна на своей области определения. Возьмем точку и покажем, что для нее выполняются все три условия непрерывности. Очевидно, что , причем . Находим односторонние пределы:

Рис.9.4.

,

,

тогда , то есть функция непрерывна в точке .

Дата добавления: 2015-07-14