классификация точек разрыва функции одной переменной

Определение 1. Точка называется точкой разрыва функции , если функция не является непрерывной в точке .

Если для точки нарушается хотя бы одно из условий 1), 2), 3) определения непрерывности функции, то она будет являться точкой разрыва функции. В зависимости от того, какие именно условия непрерывности функции нарушаются, классифицируют три типа точек разрыва функции.

Определение 2. Точка называется точкой разрыва нулевого рода (точкой устранимого разрыва), если функция в точке имеет конечный предел , не совпадающий со значением функции в точке :

.

Согласно определению условие 2) выполняется, а условие 3) нарушается. На рис. 1 приведены графики функций, где точка – точка устранимого разрыва.

Функция не определена в точке Рис. 1.а.

Функция определена в точке Рис. 1.б.

Определение 3. Точка называется точкой разрыва первого рода (с конечным скачком), если функция в точке имеет конечные односторонние пределы , , не равные между собой:

.

Число в этом случае называют конечным скачком функции в точке . На рис. 2 приведены графики функций, где точка – точка разрыва 1-го рода.

Рис. 2.

Определение 4. Точка называется точкой разрыва второго рода (с бесконечным скачком) функции , если эта точка не является ни точкой разрыва нулевого рода, ни точкой разрыва первого рода.

Согласно определению, в точке разрыва второго рода по крайней мере один из односторонних пределов , либо равен бесконечности (с любым знаком), либо вообще не существует. В случае, если один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке функция имеет бесконечный скачок, а прямая является вертикальной асимптотой.

На рис.3 приведены графики функций, где точка – точка разрыва 2-го рода.

, , Рис. 3.а.

, Рис 3.б.

Пример 1. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точку разрыва, указать ее тип.

Решение. Точка возможного разрыва: , так как функция непрерывна при (как основная элементарная функция), функция непрерывна при (как частное двух непрерывных функций и ). Находим односторонние пределы в точке (при этом ):

, .

Оба односторонних предела конечные, но не равные между собой. Значит, – точка разрыва первого рода (скачок ).

Пример 2. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва функции, указать их тип.

Решение. График исходной функции представлен на рис.2. Функция непрерывна на области определения , в точках , функция не определена. При вычислении односторонних пределов в точках , были получены результаты:

, , , .

Так как односторонние пределы получились бесконечными, то точки , являются точками разрыва второго рода, прямые , – вертикальными асимптотами. График функции наглядно иллюстрирует проведенные вычисления.

Пример 3. Исследовать функцию на непрерывность и точки разрыва, построить схематично график функции.

Решение. Элементарная функция , составленная из основных элементарных функций , , , имеет область определения . Значит, она непрерывна при . Точки , – точки возможного разрыва функции. Исследуем односторонние пределы функции в точках , :

Так как односторонние пределы получились бесконечными, то , являются точками разрыва второго рода, а прямые , – вертикальными асимптотами. Строим схематично график функции (см. рис. 4), дополнительно вычисляя пределы при , :

,

при этом прямая (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой.

Рис. 4.

Дата добавления: 2015-07-14