Читайте также: |
|
Приклад 1. Оцінити інтеграл .
Розв`язання. – неперервна функція на відрізку
. Знайдемо її найменше і найбільше значення на цьому відрізку. Для цього знайдемо
:
Прирівнюючи до нуля, одержимо х 1=1 Î
і х 2=9 Ï
Похідна не існує в точках
Ï
.
Обчислимо значення функції при х= 0, х =1 і х= 2:
Отже, найбільше значення функції на відрізку
дорівнює 0,6, а найменше – 0,5.
Таким чином,
або
Зауважимо, що точне значення даного інтеграла можна знайти за формулою Ньютона – Лейбніца, згідно з якою
Приклад 2. Обчислити середнє значення функції f (x) = 2 x 2+3 x+ 3 на відрізку .
Розв`язання. За теоремою про середнє значення визначеного інтеграла
де f (c) - середнє значення функції f (x) на відрізку . Оскільки b-а =4-1 =3і
то
Таким чином, середнє значення функції f (x) = 2 x 2+3 x+ 3 на відрізку дорівнює 24,5.
Приклад 3. Обчислити
Розв`язання. За формулою Ньютона – Лейбніца
Отже, скориставшись цією формулою і властивістю 5 визначеного інтеграла, одержимо
Приклад 4. Обчислити .
Розв`язання. На підставі формули (30) і властивості 6 визначеного інтеграла, будемо мати
Приклад 5. Обчислити
Розв`язання. Згідно з формулою (30) і властивостями 5 і 6 визначеного інтеграла, будемо мати
.
Приклад 6. Обчислити
Розв`язання. В силу формули Ньютона – Лейбніца
Приклад 7. Обчислити .
Розв`язання.
Приклад 8. Обчислити .
Розв`язання.
Приклад 9. Обчислити .
Розв`язання.
=
.
Приклад 10. Обчислити .
Розв`язання.
=
.
ВПРАВИ
Обчислити інтеграли:
1. Відповідь:
.
2. Відповідь:
.
3. Відповідь:
.
4. Відповідь:
.
5. Відповідь:
.
6. Відповідь:
.
7. Відповідь:
.
8. Відповідь:
.
9. Відповідь:
.
10. Відповідь:
.
11. Відповідь: 2.
12. Відповідь:
.
13. . Відповідь:
.
14. Відповідь:
.
15. Відповідь:
.
16. Відповідь: ln(e +1).
17. Відповідь: 1-cos1.
18. Відповідь:
.
19. Оцінити інтеграл Відповідь:
20. Оцінити інтеграл Відповідь: 0 < I < 1.
2.4. Заміна змінної у визначеному інтегралі
Якщо функція f(x) неперервна на відрізку і
-функція неперервна зі своєю похідною першого порядку на відрізку
, причому
для
, то
(32)
Формулу (32) називають формулою заміни змінної для визначеного інтеграла.
Із сказаного випливає, що функція на відрізку
повинна бути монотонною або іншими словами всі значення функції
повинні знаходитися на відрізку
.
Зауважимо, що заміна змінної у визначеному інтегралі вимагає обережності і обов'язкового виконання всіх перерахованих умов, накладених на функцію
Відзначимо також, що зробивши заміну змінної у визначеному інтегралі для його обчислення, немає необхідності переходити до початкової змінної, як це ми робили при знаходженні невизначеного інтеграла, а досить лише перерахувати межі інтегрування для нової змінної.
Для цього у рівність замість х підставляємо по черзі нижню межу
і верхню межу
інтегрування і розв`язуємо рівняння
і
. Знайдені значення t і будуть відповідно нижньою
і верхньою
межами інтегрування для нової змінної інтегрування. Якщо кожне із рівнянь
і
задовольняє не одно, а декілька значень t, то за
і
можна прийняти будь –яке із них. Однак вільність вибору обмежується вимогою, щоб значення функції
не виходили із відрізка
, на якому визначена і неперервна підінтегральна функція f (x).
Ще раз застерігаємо, що невиконання всіх указаних вимог, накладених на функцію , може привести до грубих помилок.
У багатьох випадках доводиться замість підстановки , покладати
. У цьому випадку нові межі інтегрування
і
. Якщо із
випливає, що
, то для функції
повинні виконуватися всі указані вище умови.
Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 404 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Розв`язання прикладів | | | Розв`язання прикладів |