Розв`язання прикладів. Приклад 1. Оцінити інтеграл .

Приклад 1. Оцінити інтеграл .

Розв`язання. – неперервна функція на відрізку . Знайдемо її найменше і найбільше значення на цьому відрізку. Для цього знайдемо :

Прирівнюючи до нуля, одержимо х ₁=1 Î і х ₂=9 Ï Похідна не існує в точках Ï .

Обчислимо значення функції при х= 0, х =1 і х= 2:

Отже, найбільше значення функції на відрізку дорівнює 0,6, а найменше – 0,5.

Таким чином,

або

Зауважимо, що точне значення даного інтеграла можна знайти за формулою Ньютона – Лейбніца, згідно з якою

Приклад 2. Обчислити середнє значення функції f (x) = 2 x ²+3 x+ 3 на відрізку .

Розв`язання. За теоремою про середнє значення визначеного інтеграла

де f (c) - середнє значення функції f (x) на відрізку . Оскільки b-а =4-1 =3і

то

Таким чином, середнє значення функції f (x) = 2 x ²+3 x+ 3 на відрізку дорівнює 24,5.

Приклад 3. Обчислити

Розв`язання. За формулою Ньютона – Лейбніца

Отже, скориставшись цією формулою і властивістю 5 визначеного інтеграла, одержимо

Приклад 4. Обчислити .

Розв`язання. На підставі формули (30) і властивості 6 визначеного інтеграла, будемо мати

Приклад 5. Обчислити

Розв`язання. Згідно з формулою (30) і властивостями 5 і 6 визначеного інтеграла, будемо мати

.

Приклад 6. Обчислити

Розв`язання. В силу формули Ньютона – Лейбніца

Приклад 7. Обчислити .

Розв`язання.

Приклад 8. Обчислити .

Розв`язання.

Приклад 9. Обчислити .

Розв`язання.

=

.

Приклад 10. Обчислити .

Розв`язання.

=

.

ВПРАВИ

Обчислити інтеграли:

1. Відповідь: .

2. Відповідь: .

3. Відповідь: .

4. Відповідь: .

5. Відповідь: .

6. Відповідь: .

7. Відповідь: .

8. Відповідь: .

9. Відповідь: .

10. Відповідь: .

11. Відповідь: 2.

12. Відповідь: .

13. . Відповідь: .

14. Відповідь: .

15. Відповідь: .

16. Відповідь: ln(e +1).

17. Відповідь: 1-cos1.

18. Відповідь: .

19. Оцінити інтеграл Відповідь:

20. Оцінити інтеграл Відповідь: 0 < I < 1.

2.4. Заміна змінної у визначеному інтегралі

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку і -функція неперервна зі своєю похідною першого порядку на відрізку , причому для , то

(32)

Формулу (32) називають формулою заміни змінної для визначеного інтеграла.

Із сказаного випливає, що функція на відрізку повинна бути монотонною або іншими словами всі значення функції повинні знаходитися на відрізку .

Зауважимо, що заміна змінної у визначеному інтегралі вимагає обережності і обов'язкового виконання всіх перерахованих умов, накладених на функцію

Відзначимо також, що зробивши заміну змінної у визначеному інтегралі для його обчислення, немає необхідності переходити до початкової змінної, як це ми робили при знаходженні невизначеного інтеграла, а досить лише перерахувати межі інтегрування для нової змінної.

Для цього у рівність замість х підставляємо по черзі нижню межу і верхню межу інтегрування і розв`язуємо рівняння і . Знайдені значення t і будуть відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування для нової змінної інтегрування. Якщо кожне із рівнянь і задовольняє не одно, а декілька значень t, то за і можна прийняти будь –яке із них. Однак вільність вибору обмежується вимогою, щоб значення функції не виходили із відрізка , на якому визначена і неперервна підінтегральна функція f (x).

Ще раз застерігаємо, що невиконання всіх указаних вимог, накладених на функцію , може привести до грубих помилок.

У багатьох випадках доводиться замість підстановки , покладати . У цьому випадку нові межі інтегрування і . Якщо із випливає, що , то для функції повинні виконуватися всі указані вище умови.

Дата добавления: 2015-10-30