Глава 5 Метод контурных токов

Недостатком метода расчёта при помощи законов Кирхгофа является большое число уравнений в системе, что делает решение достаточно сложным. Поэтому были найдены и другие методы расчёта. В них обычно находятся не сами токи в ветвях, а некоторые промежуточные величины, позволяющие затем легко определить токи.

Одним из них является метод контурных токов. Рассмотрим его на примере схемы на рисунке 1.22 – это та же схема, что и на рисунке 1.21.

Контурный ток – это ток, одинаковый для всех ветвей данного контура. В схеме четыре независимых контура, обозначенных 11, 22, 33, 44. Контурные токи обозначаются двойными индексами: I₁₁, I₂₂, I₃₃, I₄₄ и выбираются точно так же, как по 2-му закону Кирхгофа. Направления обхода контуров, как и направления контурных токов, выбраны в данной схеме все против часовой стрелки.

При наличии в схеме источников тока, расчёт имеет некоторые особенности.

Если ветвь с источником тока входит только в один контур, то этот контурный ток известен и равен J. Это в данном случае ток I₄₄ = J. Для этого контура уравнение не составляется – таким образом, в данном примере система будет иметь 3 уравнения.

Введём ещё несколько новых понятий.

Контурная ЭДС – алгебраическая сумма ЭДС данного контура. В данном примере:

Е₁₁ = Е₁ + Е₃

Е₂₂ = Е₄

Е₃₃ = Е₂ - Е₃

Собственное сопротивление контура – сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур.

R₁₁ = R₁ + R₂ + R₃

R₂₂ = R₃ + R₄ + R₅ + R₇

R₃₃ = R₂ + R₅ + R₆

Для контура 44 с источником тока – эти величины не рассчитываются, так как уравнение не составляется.

Общее сопротивление контуров – сопротивление ветвей, принадлежащим одновременно двум контурам. Обозначается двумя индексами – R_ik, где i и k – номера контуров. Важное замечание: если в данной ветви контурные токи текут встречно, - то общее сопротивление контуров берётся со знаком «минус», если же контурные токи текут в одном направлении – то со знаком «плюс».

Чаще всего все контурные токи выбираются в одном направлении (как и в данном примере) и все общие сопротивления отрицательны, так как все контурные токи в общих ветвях направлены встречно. Привыкшие к этому студенты часто автоматически считают эти сопро-тивления отрицательными. Однако, если направления контуров не совпадают – это будет ошибочным.

R₁₂ = - R₃ = R₂₁

R₁₃ = - R₂ = R₃₁

R₁₄ = 0 = R₄₁

R₂₃ = - R₅ = R₃₂

R₂₄ = - R₇ = R₄₂

R₃₄ = 0 = R₄₃

Если контура не имеют общих ветвей, то их общее сопротивление равно нулю.

Теперь составляем систему уравнений.

Как было показано, контурный ток I₄₄ = J, R₁₄=R₃₄= 0 и система уравнений примет вид:

Число уравнений в системе такое же, как по второму закону Кирхгофа, т. е. меньше, чем в системе при решении по законам Кирхгофа – только три, а не семь. Для контура с источником тока уравнение не составляет-ся, но этот известный контурный ток учитывается в уравнениях через его общее сопротивление с другими контурами.

Ещё раз отметим: знаки при собственных сопротив-лениях контуров - всегда «плюс», а вот при общих сопротивлениях – в данном случае – «минус», но это только в случае, когда в общих ветвях контурные токи направлены встречно!

Решая систему уравнений, находим контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃.

Теперь определим реальные токи в ветвях. Если ветвь принадлежит только одному контуру, то контурный ток для неё и является реальным током.

I₁ = I₁₁

I₄ = I₂₂

I₆ = I₃₃

Если ветвь принадлежит нескольким контурам, то реальный ток в этой ветви является алгебраической суммой контурных токов (что следует из первого закона Кирхгофа).

I₂ = I₁₁ - I₃₃

I₃ = I₁₁ - I₂₂

I₅ = I₃₃ - I₂₂

I₇ = I₂₂ – J

Итак, порядок расчёта методом контурных токов.

1) Выбираем направления токов в ветвях;

2) Выбираем независимые контура и их направление обхода;

3) Определяем собственные и общие сопротивления контуров;

4) Определяем контурные ЭДС;

5) Составляем и решаем уравнения, из которых находим контурные токи;

6) находим реальные токи в ветвях.

Очевидное достоинство метода контурных токов по сравнению с расчётами по законам Кирхгофа – меньшее число уравнений.

Дата добавления: 2015-10-26