Законов Кирхгофа

Как было сказано, при помощи законов Кирхгофа можно рассчитать любую цепь, никаких ограничений на законы Кирхгофа нет, они действуют во всех случаях без исключения.

Рассмотрим пример (рисунок 1.21) – определить все токи в схеме при известных сопротивлениях и параметрах источников энергии. Схема достаточно сложна, чтобы рассчитывать её, к примеру, методом наложения.

Задача решается путём составления системы линей-ных уравнений по законам Кирхгофа и её решения.

Так как в схеме неизвестных семь токов, т. е. семь неизвестных (ток источника J задан), то необходимо составить семь уравнений. Причём, уравнения должны быть независимы, что известно из курса математики.

Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. В схеме пять узлов, следовательно, можно составить пять уравнений.

I₁ - I₂ - I₆ = 0

-I₁ + I₃ + I₄ = 0

I₂ - I₃ + I₅ = 0

-I₄ + I₇ + J = 0

I₅ - I₆ + I₇ + J = 0

Однако, одно из уравнений не является независи-мым и может быть получено линейной комбинацией других. Таким образом, по первому закону Кирхгофа можно составить четыре уравнения.

В общем случае: если число узлов равно q, то по первому закону Кирхгофа можно составить (q-1) уравнения.

В данном случае можно исключить любое уравне-ние по своему усмотрению. Например, последнее уравне-ние содержит 4 переменные и является более сложным.

Остальные три уравнения нужно составить по второму закону Кирхгофа.

Данная схема имеет 12 контуров (убедитесь в этом). Из составленных 12 уравнений только три будут незави-симыми. Какие уравнения выбрать? Следует использо-вать такие правила:

- Для ветвей, содержащих источники тока, уравнения не составляются (таким образом, для составления уравнений осталось 7 контуров);

- В независимые контура должны войти все ветви схемы;

- В каждый новый контур (в каждое новое уравнение) должна войти хотя бы одна новая ветвь;

Первое время это кажется не совсем понятным, но на практике контура обычно выбираются в виде «ячеек», т. е. контуров, не содержащих внутри себя ветвей. На рисунке 21 они показаны числами 1, 2, 3.

Выбираем произвольно направления обхода каждого контура (в данном примере – все против часовой стрелки) и записываем уравнения.

Е₁ + Е₃ = I₁R₁ + I₂R₂ + I₃R₃

Е₄ = -I₃R₃ + I₄R₄ - I₅R₅+ I₇R₇

Е₂ - Е₃ = - I₂R₂ + I₅R₅ + I₆R₆

Таким образом, получаем систему из 7 уравнений:

При правильном составлении уравнений, в любом случае число независимых уравнений будет равно числу неизвестных токов, точнее: числу неизвестных величин, т. к., в принципе, в задании могут быть неизвестными другие величины – сопротивления или напряжения.

Дата добавления: 2015-10-26