Интеграл от корня из дроби

Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.

Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:

, где a, b, c, d – числа.

Считаем, что все эти числа и коэффициенты не равны нулю.

В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.

Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.

Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:

.

Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал dx.

Выражаем «икс»:

Теперь найдем дифференциал:

Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?

Мы вывели готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида

!

Формулы замены таковы:

.

Заключительный пример:

Пример 25

Найти неопределенный интеграл

.

Проведем замену:

.

В данном примере: a =-1, b = 2, c = 3, d = 1. Тогда для dx имеем:

.

Таким образом:

.

Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:

Проведем обратную замену. Если изначально

,

то обратно:

.

Преобразуем далее:

.

Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный!

Иногда встречаются интегралы вида

, ,

но это нужно быть либо слишком умным, либо попасть под раздачу.

Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку

.

и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал dx.

Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

.

Проведем замену:

Интегрируем по частям:

Пример 3: Ответ:

.

Пример 4: Ответ:

.

Пример 6: Решение:

.

Интегрируем по частям:

Таким образом:

В результате:

Пример 8: Решение:

Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к самому себе:

Таким образом:

Пример 10: Решение:

.

Проведем замену:

Пример 11: Решение:

Замена:

.

Пример 12: Решение:

Замена:

.

Пример 14: Решение:

Дважды используем рекуррентную формулу

Пример 16: Решение:

Пример 18: Решение:

.

Используем формулу приведения:

и формулу двойного угла:

.

Далее имеем

Пример 19: Решение:

Пример 21: Решение: –3 – 3 = –6 – целое отрицательное число, значит преобразуем

Пример 23: Решение:

Пример 24: Решение:

.

Дата добавления: 2015-07-08