Интегрирование правильной дробно-рациональной функции

Сразу пример и типовой алгоритм решения интеграла от дробно-рациональной функции.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл

.

Шаг 1. Первое, что мы ВСЕГДА делаем при решении интеграла от дробно-рациональной функции – это выясняем следующий вопрос: является ли дробь правильной? Данный шаг выполняется устно, и вот как:

Сначала смотрим на числитель и выясняем старшую степень многочлена:

.

Старшая степень числителя равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и выясняем старшую степень знаменателя. Напрашивающийся путь – это раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, но можно поступить проще, в каждой скобке находим старшую степень

и мысленно умножаем: – таким образом, старшая степень знаменателя равна трём. Совершенно очевидно, что если реально раскрыть скобки, то мы не получим степени больше трёх.

Вывод:Старшая степень числителя СТРОГО меньше старшей степени знаменателя, значит, дробь является правильной.

Если бы в данном примере в числителе находился многочлен 3, 4, 5 и т.д. степени, то дробь была бы неправильной.

Сейчас мы будем рассматривать только правильные дробно-рациональные функции. Случай, когда степень числителя больше либо равна степени знаменателя, разберём в конце урока.

Шаг 2. Разложим знаменатель на множители. Смотрим на наш знаменатель:

.

Вообще говоря, здесь уже есть произведение множителей, но, тем не менее, задаемся вопросом: нельзя ли что-нибудь разложить еще? Объектом пыток, несомненно, выступит квадратный трехчлен. Решаем квадратное уравнение, ищем его корни:

Дискриминант уравнения больше нуля, значит, трехчлен действительно раскладывается на множители.

Общее правило: ВСЁ, что в знаменателе МОЖНО разложить на множители – НУЖНО разложить на множители.

Начинаем оформлять решение:

.

Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов раскладываем подынтегральную функцию в сумму простых (элементарных) дробей. Сейчас будет понятнее.

Смотрим на нашу подынтегральную функцию:

.

И, знаете, как-то проскакивает интуитивная мысль, что неплохо бы нашу большую дробь превратить в несколько маленьких. Например, вот так:

.

Возникает вопрос, а можно ли вообще так сделать? Вздохнем с облегчением, соответствующая теорема математического анализа утверждает – МОЖНО. Такое разложение существует и единственно.

Только есть одна загвоздочка, коэффициентов A, B, C мы пока не знаем, отсюда и название – метод неопределенных коэффициентов.

Как вы догадались, последующие действия будут направлены на то, чтобы как раз их УЗНАТЬ, то есть выяснить, чему же равны A, B и C.

Итак, начинаем плясать от представления:

.

В левой части приводим выражение к общему знаменателю:

Теперь благополучно избавляемся от знаменателей (т.к. они одинаковы) и составляем уравнение из числителей:

В левой части раскрываем скобки, неизвестные коэффициенты A, B, C при этом пока не трогаем:

Заодно повторяем школьное правило умножения многочленов. Вот оно:

«Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена».

С точки зрения понятного объяснения коэффициенты A, B, C лучше внести в скобки

(хотя это необязательно в целях экономии времени). Получим:

Составляем систему линейных уравнений для определения коэффициентов A, B и C, приравнивая коэффициенты при равных степенях x в левой и правой частях последнего уравнения.

Сначала разыскиваем старшие степени:

И записываем соответствующие коэффициенты в первое уравнение системы:

Хорошо запомните следующий нюанс. Что было бы, если б в правой части вообще не было x ²? Скажем, красовалось бы просто -19 x +6 без всякого квадрата? В этом случае в уравнении системы нужно было бы поставить справа ноль: A + B + C =0. Почему ноль?

А потому, что в правой части всегда можно приписать этот самый квадрат с нулём:

0∙ x ² -19 x + 6.

Если в правой части отсутствует какие-нибудь переменные или (и) свободный член, то в правых частях соответствующих уравнений системы для A, B и C ставим нули.

Далее процесс идет по снижающейся траектории, отмечаем все «иксы»:

Записываем соответствующие коэффициенты во второе уравнение системы:

И, наконец, подбираем свободные члены.

Система трёх линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными готова:

.

Решаем систему:

(1) Из первого уравнения выражаем C и подставляем его во 2-ое и 3-е уравнения системы. На самом деле можно было выразить C (или другую букву) из другого уравнения, но в данном случае выгодно выразить именно из 1-го уравнения, поскольку там самые маленькие коэффициенты.

(2) Приводим подобные слагаемые во 2-ом и 3-м уравнениях.

(3) Почленно складываем 2-ое и 3-е уравнение, при этом, получая равенство 12 A = -12, из которого следует, что A = -1.

(4) Подставляем A = -1 во второе (или третье) уравнение, откуда находим, что B = -16.

(5) Подставляем A = -1 и B = -16 в первое уравнение, получаем C = 18.

После решения системы всегда полезно сделать проверку – подставить найденные значения A, B и C в каждое уравнение системы, в результате всё должно «сойтись».

Итак, коэффициенты A, B и C найдены, при этом:

.

Чистовое оформление задание должно выглядеть примерно так:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Как видите, основная трудность задания состояла в том, чтобы составить (правильно!) и решить (правильно!) систему линейных уравнений. А на завершающем этапе всё не так сложно: используем свойства линейности неопределенного интеграла и интегрируем. Обращаю внимание, что под каждым из трёх интегралов у нас «простая» сложная функция, об особенностях ее интегрирования рассказано на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Проверка: Дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найдем правильно.

В ходе проверки пришлось приводить выражение к общему знаменателю, и это не случайно. Метод неопределенных коэффициентов и приведение выражения к общему знаменателю – это взаимно обратные действия.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Вернемся к дроби из первого примера: .

Нетрудно заметить, что в знаменателе все множители РАЗНЫЕ. Возникает вопрос, а что делать, если дана, например, такая дробь:

?

Здесь в знаменателе у нас степени, или, математическим языком, кратные множители. Кроме того, есть неразложимый на множители квадратный трехчлен

(легко убедиться, что дискриминант уравнения отрицателен, поэтому на множители этот трехчлен никак не разложить). Что делать? Будет ли разложение в сумму элементарных дробей будет выглядеть здесь наподобие с неизвестными коэффициентами A, B и C вверху, или как -то по-другому?

Пример 3

Представить функцию

в виде суммы элементарных дробей с неизвестными коэффициентами.

Шаг 1. Проверяем, правильная ли у нас дробь? Старшая степень числителя – 2; старшая степень знаменателя - 8. Так как 2<8, то дробь является правильной.

Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Очевидно, что нет, всё уже разложено. Квадратный трехчлен не раскладывается в произведение по указанным выше причинам. Ну и ладушки. Работы меньше.

Шаг 3. Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей. В данном случае разложение имеет вид:

Смотрим на наш знаменатель: .

При разложении подобной дробно-рациональной функции в сумму элементарных дробей можно выделить три принципиальных момента:

1) Если в знаменателе находится «одинокий» множитель в первой степени, в нашем случае - (x +2), то вверху ставим неопределенный коэффициент (в нашем случае - D). Примеры №№ 1, 2 состояли только из таких «одиноких» множителей.

2) Если в знаменателе есть кратный множитель xⁿ, то раскладывать нужно так:

,

– то есть последовательно перебрать все степени «икса» от первой до энной степени. В нашем примере присутствуют два кратных множителя: x ³ и (x +3)². Еще раз взгляните на приведенное разложение и убедитесь, что они разложены именно по этому правилу.

3) Если в знаменателе находится неразложимый многочлен второй степени (в нашем случае: x ²+2 x +13), то при разложении в числителе нужно записать линейную функцию с неопределенными коэффициентами (в нашем случае: Gx + H, с неопределенными коэффициентами: G и H). На самом деле, есть еще 4-ый случай, но о нём умолчим, поскольку на практике он встречается крайне редко.

Пример 4

Представить функцию

в виде суммы элементарных дробей с неизвестными коэффициентами.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Строго следуйте алгоритму!

Если Вы разобрались, по каким принципам нужно раскладывать дробно-рациональную функцию в сумму, то сможете разгрызть практически любой интеграл рассматриваемого типа.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл

.

Шаг 1. Очевидно, что дробь является правильной, так как 2<3.

Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Можно. Здесь сумма кубов .

Раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения

.

Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

.

Обратите внимание, что многочлен неразложим на множители (проверьте, что дискриминант отрицательный), поэтому вверху мы ставим линейную функцию Bx + C с неизвестными коэффициентами, а не просто одну буковку. Приводим сумму дробей к общему знаменателю:

.

Приравниваем числители: .

Составим и решим систему:

.

(1) Из первого уравнения выражаем B и подставляем во второе уравнение системы (это наиболее рациональный способ).

(2) Приводим подобные слагаемые во втором уравнении.

(3) Почленно складываем второе и третье уравнения системы.

Все дальнейшие расчеты, в принципе, устные, так как система несложная.

(1) Записываем сумму дробей в соответствии с найденными коэффициентами A, B, C.

(2) Используем свойства линейности неопределенного интеграла. Что произошло во втором интеграле? С этим методом Вы можете ознакомиться в последнем параграфе урока Интегрирование некоторых дробей.

(3) Еще раз используем свойства линейности.

(4) Берём второй интеграл, в третьем – выделяем полный квадрат.

(5) Берём третий интеграл. Готово.

А вот вам еще пара примеров для самостоятельного решения, один похожий, другой – труднее.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл

.

Пример 7

Найти неопределенный интеграл

.

Дата добавления: 2015-07-08