Интеграл от неразложимого в знаменателе многочлена 2-ой степени в степени

Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

.

В знаменателе подынтегральной функции находится неразложимый на множители квадратный двучлен. Подчеркиваем, что неразложимость на множители является существенной особенностью. Если многочлен раскладывается на множители, то всё намного понятнее, например:

– и далее применяется стандартный метод неопределенных коэффициентов.

Вернёмся к примеру со счастливым номером 13. Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.

Решение начинается с искусственного преобразования:

Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают.

Полученный интеграл берётся по частям:

Готово.

Для интеграла вида

,

где (k ≥ 2) – натуральное число, выведена рекуррентная формула понижения степени:

, где

; – это интеграл степенью ниже на 1.

Убедимся в справедливости данной формулы для интеграла из Примера 13:

.

В данном случае: k = 2; a ² = 1; используем формулу:

Как видите, ответы совпадают.

Пример 14

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.

Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:

.

Далее следует «безболезненная» линейная замена

и получается знакомый интеграл

.

Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Если такой интеграл встретится, смотрите учебник – там всё просто.

Дата добавления: 2015-07-08