Логические операции

Операции над высказываниями – логические операции – обычно задают в виде таблиц, называемых таблицами истинности.

Операция отрицания, или отрицание высказывания

Для каждого высказывания А может быть сформировано новое высказывание (читается «не А», или «не верно, что А») – это отрицание высказывания А. Высказывание истинно, когда А – ложно, и ложно, когда А – истинно.

Таблица истинности для операции отрицания:

А

Операция отрицания – одноместная, или унарная, операция.

Последующие операции – двухместные, или бинарные.

Например, если - истинное высказывание, то

- ложное высказывание (отрицание А).

Отметим, что если {в комнате холодно}, то {в комнате не холодно}, но при этом высказывание {в комнате жарко} отрицанием высказывания В не является.

Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний

Высказывание С, составленное из двух высказываний А и В при помощи союза «и», называют конъюнкцией (логическим произведением) этих высказываний: (выражение читается: «А и В»).

Логическое произведение истинно только в том случае, когда: «и А, и В одновременно истинны».

Таблица истинности для операции конъюнкции:

А	В

Пусть, например, , . Тогда высказывание С – истинно, т. к. истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.

Операцию конъюнкции можно определить и для нескольких высказываний, как связку высказываний, объединённых союзом «и». Конъюнкция из n высказываний – новое высказывание, причём высказывание

А = А_i; где i = 1; 2; …; n

имеет значение «истина», если и А ₁, и А ₂, и … А_n одновременно истинны. Во всех других случаях эта конъюнкция имеет значение «ложь».

Пусть, например, А ₁ , А ₂ , А ₃ , А ₄ . Тогда высказывание

А ₂ Ù А ₃ Ù А ₄ {(8 = 3) и (отец старше сына) и (Мурманск севернее Смоленска)} – ложное, в то время как высказывание

А ₁ Ù А ₃ Ù А ₄ {(5 > 3) и (отец старше сына) и (Мурманск севернее Смоленска)} – истинное.

Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний

Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи союза «или», называют дизъюнкцией (логической суммой) этих высказываний: (выражение читается: «А или В»).

Сумма является истинным высказыванием тогда, когда, по крайней мере, одно из слагаемых истинно.

Таблица истинности для операции дизъюнкции:

А	В

Пусть, например, , . Тогда высказывание или – истинно, т.к. истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.

Операцию дизъюнкции можно определить и для нескольких высказываний как связку высказываний, объединённых союзом «или»:

А = А_i; где i = 1; 2; …; n

В этом случае высказывание А истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний, входящих в связку.

Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний.

Высказывание С, составленное из двух высказываний А и В при помощи слов «тогда и только тогда, когда…», называют эквивалентностью высказываний А и В: .

Для эквивалентности используют знак (или ~).

Эквивалентность представляет собой истинное высказывание, когда: «высказывания и А, и В - оба истинны или оба ложны».

Таблица истинности для операции эквивалентности:

А	В

Пусть {число 3n является чётным}, {число n является чётным}.

Высказывание {число 3n является чётным тогда и только тогда, когда n – чётное число} есть эквивалентность высказываний А и В: .

Операция импликации, или импликация высказываний

Высказывание С, составленное из высказываний А и В при помощи слов «если…, то…», называют импликацией высказываний А и В и 1б1-начают

(выражение читается «из А следует В», или «если А, то В»).

Импликация ложна только в том случае, когда А – истинное высказывание, а В – ложное. Во всех других случаях импликация имеет значение «истина».

Таблица истинности для операции импликации:

А	В

Первый член импликации , – высказывание А, – называется посылкой, или условием, а второй член В – заключением.

Обратите внимание, что таблица истинности для импликации, в отличии от таблиц для конъюнкции, дизъюнкции и эквивалентности, изменяется при перестановке столбцов для А и В.

Отметим также, что импликация не полностью соответствует обычному пониманию слов «если…, то…» и «следует». Из третьей и четвёртой строк таблицы истинности для импликации вытекает, что если А – ложно, то, каково бы ни было В, высказывание считается истинным. Таким образом, из неверного утверждения следует (может следовать) всё, что угодно.

Например, утверждение «если 6 – простое число, то », или утверждение «если , то существуют ведьмы» являются истинными логическими утверждениями. Истинным является и рассмотренное ранее высказывание: «если слон – насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами».

Как говорил Р. Декарт: «Если 2 х 2 = 5, то я докажу, что из трубы вылетает ведьма».

Для иллюстрации содержательного смысла импликации рассмотрим ещё один пример.

Пусть {папа завтра получит премию},

{папа завтра купит сыну велосипед}.

Импликация может быть сформулирована так:

«если папа завтра получит премию, то купит сыну велосипед».

Пусть А и В – истинны. Тогда папа, получив премию, покупает сыну велосипед. Естественно считать это истинным высказыванием.

Если же папа, получив премию (А – истинно), не купит сыну велосипед (В – ложно), то это, можно сказать, – не логичный поступок, и импликация имеет значение «ложь».

Если папа не получит премию (А – ложно), но купит велосипед (В – истинно), то результат положителен (импликация истинна).

Наконец, в том случае, если, не получив премии (А – ложно), папа не купит велосипед (В – ложно), то обещание не нарушено, импликация истинна.

Задача 1. Даны два высказывания и . В чём заключаются высказывания , , , ? Какие из этих высказываний истинны и какие ложны?

Решение.

1) Высказывание , очевидно, ложно. Для того чтобы произведение двух высказываний было истинным, нужно чтобы оба высказывания были истинными.

2) Высказывание истинно, т.к. одно из слагаемых является истинным высказыванием.

Высказывание можно записать в виде одного верного нестрогого неравенства .

3) Эквивалентность ( тогда и только тогда, когда ) представляет собой ложное высказывание, т.к. А – ложно, а В – истинно.

4) Импликация то является истинным высказыванием.

В самом деле, импликация согласно определению ложна только тогда, когда А – истинно, а В – ложно.

Дата добавления: 2015-07-08