Алгебра матриц

Матрицы, их свойства и действия над матрицами введены в математику для разработки методов решения систем линейных уравнений. В этом разделе Вы научитесь выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы.

Весь материал изложен в доступной форме, приведены соответствующие примеры, так что человек, знакомый с арифметическими действиями для действительных чисел, сможет научиться выполнять действия с матрицами.

Мы минимизировали теоретические выкладки, что-то объясняем «на пальцах» и используем «ненаучные термины». Здесь наша задача – научиться выполнять действия с матрицами. Рассматриваем основы раздела «Алгебра матриц».

Определение: Матрица – это упорядоченная прямоугольная таблица каких-либо элементов, каждый из которых характеризуется двумя натуральными числами: номером строки и столбца, на пересечении которых в матрице он находится.

В качестве элементов матрицы будем рассматривать числа. Мы рассматриваем числовые матрицы. Элемент – это термин. А элементом «матрицы окон» дома, расположенного напротив Вашего окна, может быть семья, проживающая за данным окном на данном этаже в данном вертикальном ряду.

Обозначения: М атрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами, например, как A_{m x n}, справа внизу которых встречаются индексы в виде произведения натуральных чисел (m x n, или m∙n), читается: «m на n». Здесь m – число строк, а n – число столбцов в матрице A. Если m = n, то обозначают A_{n∙ n} = A _n и называют её «квадратная матрица n –го порядка».

Обозначения: Краткая запись выражения «матрица типа A, имеющая m строк и n столбцов, состоящая из таких элементов типа a_ij, что i изменяется от 1 до m, а j изменяется от 1 до n» имеет вид:

A_{m n} = { a_ij | i = 1… m; j = 1… n }.

Здесь, для элемента a_ij, читается: «а и жи», но не «а и на жи»!

Пример:

Рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях.

У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов.

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например:

– это матрица «три на три».

Если в матрице один столбец

или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

Дата добавления: 2015-07-08