Читайте также:
|
Для решения вопроса об устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения можно не определять корни характеристического уравнения, а лишь определить знак вещественной части всех корней, которые для устойчивого дижения должны быть строго отрицательными.
Косвенные признаки, по которым можно судить о знаке вещественной части корней характеристического уравнения линейных систем с постоянными коэффициентами, минуя вычисление самих корней, называются критериями устойчивости. Они подразделяются на алгебраические и частотные.
Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости и неустойчивости систем по коэффициентам характеристического уравнения. Имеются различные формы критериев. Наибольшее применение получили критерии Гурвица и Рауса.
Пусть характеристическое уравнение n -ой степени имеет вид
(11.15)
в котором все коэффициенты ak – вещественные числа, а an > 0. Построим из коэффициентов матрицу Гурвица (n ´ n)
| D1 | a n-1 | a n | · | |||||
| D2 | a n-3 | a n-2 | a n-1 | a n | · | |||
| D3 | a n-5 | a n-4 | a n-3 | a n-2 | · | |||
| D4 | a n-7 | a n-6 | a n-5 | a n-4 | · | |||
| · | · | · | · | · | · | |||
| Dn | a 0 |
Теорема Гурвица. Для того, чтобы все корни алгебраического уравнения (11.15) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы Гурвица были положительны.
В частности для уравнения четвёртой степени
(
) (11.16)
должны выполняться неравенства: 
; 
;
; 
.
Равносильными для уравнения 4-ой степени являются условия Рауса-Гурвица, которые имеют вид: 
.
Лекция 17.
Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 237 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами классическим методом | | | Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операторным методом |