Виды устойчивости движения

Среди различных видов устойчивости, наибольшее распространение получило понятие устойчивости по А.М.Ляпунову. Предполагается, что движения исследуемой динамической системы описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

(начальное условие),

где – n -мерный фазовый вектор, u – m- мерный вектор управления, f()- вещественная непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая условиям Липшица. Пусть для некоторого заданного закона управления t ≥ t ₀, через начальное состояние y°( t₀)=

проходит невозмущенная (опорная, программная) траектория.

Ставится задача об исследовании поведения невозмущенной траектории в случае, если начальные значения y (t ₀) отличаются от .

Невозмущенная траектория y °(t) исходной системы называется устойчивой по Ляпунову, если для любого ε >0 можно подобрать δ (ε, t ₀)>0 такое, что для всякого решения y (t) той же системы, начальное движение которого удовлетворяет неравенству:

y (t ₀)- < δ (ε, t ₀)

для всех t ≥ t ₀ справедливо:

y (t, y (t ₀), t ₀, u °(t)) - y °(t, , t ₀, u °(t) < ε,

т.е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех t≥t₀. Здесь

под нормой понимается = .

Решение y (t, y (t ₀), t ₀, u °(t)), построенное для заданного программного (опорного)

управления называется возмущенным и исследование устойчивости движения сводится

к анализу свойств решений возмущенного движения. Для проверки свойств возмущенного движения целесообразно сделать замену переменных:

∆y = y (t, y (t ₀), t ₀, u °(t)) - y °(t, , t ₀, u °(t))

и задача сводится к проверке на устойчивость тривиального решения ∆y (t)≡ 0.

Пример устойчивого тривиального решения ∆y (t)≡ 0 при заданном ε > 0 изображен на

рис.53б) для одной из компонент вектора ∆y_i (t).

Рис. 53 а)

Рис. 53 б)

Аналогичное поведение изображается для всех без исключения компонент вектора ∆y.

Иногда рассматривают частный вид устойчивости только по части компонент вектора ∆y.

Асимптотическая устойчивость предполагает полное устранение возмущения по параметру движения, например уменьшение возмущения по скорости ЛА до нуля ∆V (t)®0 с течением времени t ® ∞ (рис.53а). В общем случае для анализа устойчивости ЛА используется другое определение.

Под устойчивостью ЛА понимается его способность без участия летчика сохранять заданный опорный режим полета и возвращаться к нему после непроизвольного отклонения от него под действием внешних возмущений, при условии прекращения

действия возмущений. Различают устойчивость «в малом» и устойчивость «в большом» соответственно при малых (конечных) и больших возмущениях.

Под управляемостью ЛА понимается его способность выполнять в ответ на целенаправленные действия летчика или автоматики любой, предусмотренный в процессе эксплуатации маневр (причем наиболее просто при минимальных затратах энергии летчика) в любых допустимых условиях полета, в том числе при наличии возмущений.

Управляемость различают: 1. продольную (относительно OZ) или по тангажу;

2. путевую (относительно OY) или по рысканию;

3. поперечную (относительно OX) или по крену.

При решении задач динамики полета обычно на первом этапе определяют потребные (оптимальные) траектории движения ЛА, а затем на втором этапе решаются проблемы реализации этих траекторий на практике. Часто в качестве траекторий движения рассматривают «опорные траектории» и требуемые для их выполнения отклонения органов управления, значения тяги двигателей.

Однако реальные движения ЛА всегда отличается от расчетного опорного из- за отличия характеристик самого ЛА, воздушной среды от опорных (заданных, стандартных), неточностей пилотирования, турбулентности воздуха, разброса тяги двигателей и т.п. Поэтому на втором этапе решается задача управления полетом в условиях, максимально приближенных к реальным. Устойчивость и управляемость ЛА проверяется на первом и втором этапах, особенно тщательно исследуется в задачах реализации потребных траекторий на практике.

Дата добавления: 2015-07-08