Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операторным методом

Сущность этого метода состоит в том, что посредством интегрального преобразования от систем линейных дифференциальных уравнений переходят к вспомогательной системе алгебраических уравнений. Затем находят решение вспомогательной системы, а из него при помощи обратного преобразования получают решение исходной системы дифференциальных уравнений.

В качестве интегрального преобразования чаще всего используют преобразование Лапласа:

, (11.17)

где параметр p – некоторое комплексное число, y(t) – кусочно-непрерывная и ограниченная функция независимой переменной t, называемая оригиналом; Y(p) – изображение функции y(t). Помимо прямого преобразования существует обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению Y(p) находить оригинал y(t). Сокращённое обозначение обратного преобразования: .

В курсах операционного исчисления приводят таблицы прямого и обратного пре-

образования основных функций.

Математическая операция	Оригинал	Изображение
Исходное преобразование	y(t)	Y(p)
Сложение оригинала
Умножение на постоянное число	аy(t)	аY(p)
Дифференцирование	dy/dt частн. случай: при y0=0	pY(p)-y0 pY(p)
n– кратное дифференцирование		P^nY(p)-[p^n-1y^0+ +p^n-2 +…+ ]
Интегрирование
Сдвиг оригинала на (смещённый аргумент)	y(t - )

При анализе возмущенного движения ЛА часто возникает необходимость определить предельные значения решения дифференциального уравнения по виду этого уравнения, не решая его. Например, надо оценить поведение функции y(t) при t 0 или при t , при условии, что система устойчива. Эту задачу решают при помощи следующих теорем о предельном переходе в преобразованиях Лапласа:

1. Если существует предел функции , то

(11.18)

2. Если существует предел функции , то

(11.19)

Дата добавления: 2015-07-08