Алгебра логики. Алгебра логики – это раздел математики, занимающийся исчислением высказываний

Алгебра логики – это раздел математики, занимающийся исчислением высказываний. Под высказыванием Х понимается любое предложение, относительно которого можно утверждать ложно оно или истинно без учёта конкретного содержания. Переменная величина, которая устанавливает лишь два значения 1 и 0, называется двоичной. Функция, определяемая набором двоичных аргументов и принимающая лишь два значения 1 или 0, называется функцией алгебры логики.

В алгебре логики рассматриваются три основные логические операции:

а) НЕ – отрицание. Отрицание высказывания Х обозначается и значения истинности определяются соотношениями

;

б) И-конъюнкция. Конъюнкция (логическое умножение) высказываний Х₁ и Х₂ истинна тогда и только тогда, когда истинны составляющие её высказываний Х₁ и Х₂. Значения истинности конъюнкции определяются соотношениями

0 ^× 0=0, 0 ^×1=0, 1 ^× 0=0, 1 ^× 1 = 1.

в) ИЛИ – дизъюнкция. Дизъюнкция (логическое сложение) высказываний Х₁ и Х₂ ложна тогда и только тогда, когда ложны составляющие её высказывания Х₁ и Х₂. Значения истинности дизъюнкции определяются соотношениями

0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1.

Основные правила преобразования:

X ^× 1=X, X+1=1, X+0=X, X ^× 0=0,

X ^× X=X, X+X=X, X ^× =0, X+ =1.

Ассоциативный закон

Х₁ ^× (Х₂ ^× Х₃)=(Х₁ ^× Х₂) ^× Х₃=Х₁ ^× Х₂ ^× Х₃.

Х₁+(Х₂+Х₃)=(Х₁+Х₂)+Х₃=Х₁+Х₂+Х₃.

Коммутативный закон

Х₁ ^× Х₂=Х₂ ^× Х₁,

Х₁+Х₂=Х₂+Х₁.

Дистрибутивный закон

Х₁ ^× (Х₂+Х₃)=Х₁ ^× Х₂+Х₁ ^× Х₃,

Х₁+(Х₂ ^× Х₃)=(Х₁+Х₂) ^× (Х₁+Х₃).

Закон инверсий

,

.

Операция поглощения

Х₁+Х₁ ^× Х₂=Х₁ Х₁ ^× (Х₁+Х₂)=Х₁.

Дата добавления: 2015-07-08