Рекуррентные формулы. Установим следующие соотношения, существующие между функциями Бесселя 1-го рода

Установим следующие соотношения, существующие между функциями Бесселя 1-го рода различных порядков:

, (17)

. (18)

Эти формулы проверяются непосредственным дифференцированием рядов для бесселевых функций. Покажем, например, справедливость соотношения (17). С учетом соотношения (15) получаем:

,

В последней сумме k меняется от 1 до . Введем новый индекс суммирования , который будет меняться от 0 до . Тогда будем иметь

,

что и доказывает формулу (17). Справедливость формулы (18) доказывается аналогично.

Отметим два важных частных случая рекуррентных формул. При v = 0 из (17) следует

(19)

Для случая v = 1 формула (18) дает

или . (20)

Установим рекуррентные формулы, связывающие J_v(x), J_ν+1(x) и J_v-1(x). Производя дифференцирование в (17) и (18), получаем:

,

,

,

, (17)′

. (18′)

Складывая и вычитая (17') и (18'), находим рекуррентные формулы

. (21)

С помощью формулы (21) можно вычислять J_ν+1 (x), если известны J_v(x) и J_v-1(x):

. (21′)

Дата добавления: 2015-07-08