Лекция 6

Главные кривизны поверхности. В заданной точке поверхности кривизна нормального сечения зависит от выбранного направления на ней. Ее выражение запишем в другом виде (используя равенство (90))

(91)

обратим внимание на то, что кривизна нормального сечения зависит от направлений векторов d r и d m относительно друг друга. Зададимся целью найти такое направление движения по поверхности, при котором векторы d r и d m были бы коллинеарными.

Другими словами, попробуем найти направление на поверхности, определяемое отношением du: dv, для которого выполняется равенство

или

(92)

где λ — неизвестный пока коэффициент. Мы можем считать r ₁ и r ₂ базисными векторами, по которым разложены векторы d r и d m. Для их коллинеарности нужно, чтобы коэффициенты при r ₁ и r ₂ в правой и левой частях (92) были равны. Это равенство выразится следующим образом:

или

Для перехода к последнему равенству мы использовали соотношение В ' = В • G ^-1 Итак, для определения искомого направления мы пришли к системе линейных алгебраических уравнений для du и dv

(93)

Данная система является однородной и имеет ненулевое решение, если определитель ее матрицы равен нулю. Раскрыв определитель, придем к квадратному уравнению относительно λ, откуда в общем случае найдем два корня: λ₁ и λ₂. Подставив каждый из корней в любое из уравнений (93), получим два направления на поверхности определяемые отношениями du ₁: dv ₁ и du ₂: dv ₂.

Направления движения на поверхности, для которых векторы d r и d m коллинеарны, называются главными направлениями поверхности. Сравним соотношения (91) и (92) и увидим, что λ₁ и λ₂ равны кривизне нормальных сечений в главных направлениях, которые обозначим через μ ₁ и μ ₂. Нормальные сечения в данной точке поверхности, касательные к которым идут по главным направлениям, называются главными сечениями, а их кривизны называются главными кривизнами в данной точке поверхности. Запишем квадратное уравнение, из которого определяются главные кривизны

(94)

Из (94) легко получить сумму и произведение корней уравнения, т.е. произведение главных кривизн:

(95)

(96)

Полусумма главных кривизн называется средней кривизной поверхности в данной точке, а произведение главных кривизн называется гауссовой кривизной поверхности в данной точке.

Обозначим через t ₁ и t ₂ касательные векторы главных сечений. Покажем, что главные направления поверхности ортогональны друг другу. Выразим главные напра­вления через производные радиус-вектора

Их скалярное произведение равно

(97)

Покажем, что оно в общем случае равно нулю. Для этого систему двух уравнений (93) запишем для первого главного направления, первое из этих уравнений умножим на du ₂, второе уравнение умножим на dv ₂ и сложим с первым, в результате получим равенство

Аналогично получим второе равенство, поменяв местами главные направления,

Вычтем последние два равенства одно из другого и получим равенство:

(98)

из которого следует, что если главные кривизны различны, то выражение (97) равно нулю и главные направления ортогональны. Если главные кривизны поверх­ности равны, то за главные могут быть выбраны любые два ортогональных направле­ния (такую ситуацию мы имеем на сфере и плоскости). Точка, в которой μ ₂ = μ ₁, называется точкой закругления.

Так как главные направления в общем случае ортогональны, то производные ра­диус-вектора поверхности и ее нормали в любом направлении можно разложить по единичным векторам t ₁ и t ₂ главных направлений:

где угол φ отсчитывается в касательной плоскости от первого главного направления ко второму. Кривизна нормального сечения в произвольно выбранном направлении с учетом последних равенств и формулы (90) определится равенством

(99)

Формула (99) называется формулой Эйлера. Она выражает кривизну произволь­ного нормального сечения в точке через главные кривизны и угол между нормальным сечением и первым главным направлением. Из этого равенства мы видим, что главные кривизны поверхности μ ₁ и μ ₂ являются максимальной и минимальной кривизнами соответственно. За определение главных направлений поверхности можно принять сле­дующее: направления, для которых кривизна нормального сечения принимает макси­мальное и минимальное значение, называются главными направлениями поверхности.

Гауссова кривизна поверхности (96) может быть использована для определения поведения поверхности в некоторой ее точке М. Так как знаменатель в (96) больше нуля, то знак гауссовой кривизны зависит от знака числителя, т.е. от знака опреде­лителя матрицы В. Если | В | > 0, то точка М называется эллиптической. Поведение поверхности в эллиптической точке показано на рис. 16.

При движении от точки М в любом направлении поверхность изгибается или в сторону нормали или в противоположную сторону в зависимости от знаков главных

Рис. 16. Эллиптическая точка поверхности

Рис. 17. Гиперболическая точка поверхности

кривизн. Если | В | < 0, то точка М называется гиперболической. Поведение поверх­ности в гиперболической точке показано на рис. 17. Так как в такой точке главные кривизны имеют разные знаки, то согласно (99) существуют такие нормальные сечения, для которых выполняется равенство

(100)

Касательные к нормальным сечениям под углами

(101)

расположены в касательной плоскости симметрично относительно главных направле­ний и определяют асимптотические направления в точке М. Если в точке М | В | = 0, то такая точка называется параболической. Поведе­ние поверхности в параболической точке показано на рис. 18.

Рис. 18. Параболическая точка поверхности

В случае μ ₁ = μ ₂ = 0 каждое из направлений является асимптотическим. В противном случае главным направлением является асимптотическое направление, для которого кривизна равна нулю. Соответствующее нормальное сечение в точке М имеет точку распрямления.

Кривая на поверхности называется линией кривизны, если касательная в каждой точке к ней параллельна одному из главных направлений в этой точке поверхности. Линиями кривизны часто являются координатные линии. Пусть координатные u -линии и v -линии являются линиями кривизны. В этом случае в каждой точке поверхности выполняются равенства

(102)

в силу ортогональности главных направлений. Справедливо и обратное утверждение: если в каждой точке поверхности выполняются равенства (102), то координатные линии являются линиями кривизны. Действительно, в этом случае согласно формулам Вейнгартена коэффициенты b ₁² и b ₂¹ равны нулю и, следовательно, вдоль ко­ординатных линий производные нормалей коллинеарны производным радиус-вектора.

Третья квадратичная форма поверхности. Нормаль к поверхности, как и ее радиус-вектор, есть функция параметров u и v. Модуль дифференциала нормали к поверхности равен углу между нормалями в двух бесконечно близких точках, связанных параметри­ческим смещением du и dv. Квадрат этого угла определяется равенством

(103)

Введем обозначения

(104)

Равенство (103) примет вид

(105)

В правой части (105) мы получили квадратичную форму от du и dv. Эта квадратич­ная форма называется третьей основной квадратичной формой поверхности. Так же как первая и вторая квадратичные формы она является характеристикой поверхно­сти в заданной точке. Выражение (105) можно записать в матричном виде

где - матрица третьей квадратичной формы.

Производные вектора нормали по параметрам поверхности ортогональны вектору нормали. Дифференцируя равенства m • m₁ = 0 и m • m₂ = 0 по параметрам, получим еще одно выражение для коэффициентов третьей квадратичной формы поверхности

(106)

Таким образом, коэффициенты третьей квадратичной формы отражают проекции на нормаль вторых производных вектора нормали.

Полученные нами три квадратичные формы связаны друг с другом уравнением. Получим его. Для этого выразим производные радиус-вектора и нормали по длине дуги в произвольном направлении, определяемом в касательной плоскости углом φ отно­сительно первого главного направления, через касательные векторы главных сечений t ₁ и t ₂:

Векторы

коллинеарны главным направлениям, и, следовательно, ортогональны. Перемножив скалярно эти векторы, получим уравнение, связывающее квадратичные формы поверх­ности

или

(106)

Так как du и dv в общем случае не равны нулю, то для выполнения соотношения (106) должно выполняться матричное равенство

(107)

Это и есть уравнение, связывающее коэффициенты трех квадратичных форм поверхно­сти. Из (107) следует, что коэффициенты третьей квадратичной формы поверхности выражаются через коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности соотношением

(108)

Дата добавления: 2015-07-08