Геометрия кривых линий

Кривой линией или просто кривой будем называть геометрическое место точек, координаты которых описываются непрерывными и однозначными функциями r₁(t), r₂(t), r₃(t), параметра t, принимающего значения на отрезке t_min ≤ t ≤ t_max. В декартовой прямоугольной системе координат O e₁e₂e₃ кривую можно описать радиус-вектором

(37)

Представление кривой в виде (37) называется параметрическим. Далее будем предполагать, что координатные функции r_i(t) имеют непрерывные производные до любого порядка, который нам потребуется. Точку кривой r( t ) будем называть обыкновенной, если в этой точке не обращаться в нуль длина вектора первой производной по параметру r’ = d r/ dt. В противном случае точку криво будем называть особой.

Положение точки кривой зависит от параметра t, который является её внутренней координатой. Параметр t своими значениями однозначно определяет точки кривой. Но так как он геометрически он ничем не связан с кривой, то для нее можно использовать другую параметризацию. Для этого достаточно ввести новый параметр v, который связан с параметром t функциональной зависимостью

(38)

где t_min = t(v_min), t_max = t(v_max). Будем предполагать при этом, что функция t(v) является взаимно однозначной и монотонно возрастающей. Когда параметр v пробегает свою область изменений от v _minдо v _max,параметр t пробегает свою область изменения от t _minдо t _max.Кривая (37), выраженная через параметр v, будет иметь вид

При этом форма кривой останется прежней. Как параметр t, так и параметр v одинаково годятся, чтобы характеризовать точки рассматриваемой кривой, и выбор параметра зависит от нас. Мы будем использовать эти свойства кривых, чтобы согласовать параметрические длины кривых. Пусть имеются две кривые: первая a( t ), t _min ≤ t ≤ t _max,вторая c( v ), v _min ≤ v ≤ v _max, и нам нужно, чтобы параметрические длины кривых были одинаковыми. Изменим параметризацию второй кривой так, чтобы пределы изменения ее параметров совпадали с пределами первой кривой. Для этого у второй кривой введем параметр t, связанный параметром v зависимостью

(39)

Вторая кривая теперь будет иметь вид c = c( t ) = c( v(t) ), t _min ≤ t ≤ t _max. В частном случае параметром кривой может служить длинна ее дуги, отсчитываемой от начальной точки. В общем случае параметром t, как любая координатная система, может бать определен удобный для нас способом.

Для векторной функции, как и для скалярной, определяются производные. Производные векторной функции также представляют собой векторы. Для любых векторных функции a( t ) и c( t ) и любой скалярной функции λ (t) справедливы правила дифференцирования

В декартовой прямоугольной системе координат производные векторной функции n – го порядка по ее параметру имеют простой вид

(40)

В криволинейной системе координат базисные векторы изменяют свою длину и направление при переходе от одной точки к другой и формулы для производных имеют более сложный вид.

Если координатные функции кривой в некоторой точке достаточное число раз дифференцируемы, то векторную функцию кривой в окрестности этой точки можно разложить в ряд Тейлора

(41)

где . Производные вычислены при некоторых значениях параметра t ≤ t_i ≤ t + ∆ t. Вектор q _n представляет собой остаточный член ряда Тейлора. Из свойств радов Тейлора координатной функции r_i(t) следует, что длина вектора q _n не превосходит некоторое положительное число, постоянное для всех t из его области изменения для кривой, и что предел длины остаточного вектора стремится к нулю при увеличении числа членов усеченного ряда

При изменении параметризации кривой r( t ), t(v) производные по новому параметру выражаются через производные по старому параметру следующим образом:

Исследуем поведение кривой на бесконечно малом участке в близи обыкновенной точки. Если существуют производные по параметру координатных функций, то кривая также имеет производные по параметру соответствующего порядка. Рассмотрим геометрический смысл производной векторной функции. Пусть при каком-либо значении параметра t радиус-вектор r( t ) указывает на некоторую точку R. Перейдем к другому параметру t₁ = t + ∆ t, при котором векторная функция r( t + ∆t ) указывает на некоторую другую точку R ₁. Разность этих двух значений векторной функции ∆ r = r( t + ∆ t ) - r( t ) описывает хорду RR ₁ (рис. 8).

Рис. 8

Вектор

(42)

параллелен хорде RR ₁, но в общем случае не равен ей по длине. Устремим ∆ t к нулю, тогда точка R ₁ будет приближаться к точке R, вектор (42) будет стремиться к касательной к кривой в точке R. Предел отношения (42) при ∆ t →0является первой производной векторной функции

(43)

Таким образом, производная r’(t) кривой r(t) есть вектор, направленный по касательной к кривой в точке, определяемой параметром t. Заметим, что производная всегда направлена в сторону возрастания параметра. Зная первую производную радиус-вектора кривой, можно вычислить длину кривой. Длина кривой равна приделу, к которому стремится длина ломанной, вписанной в кривую. Таким образом, длин кривой равна интегралу

(44)

Натуральная параметризация кривой. Длина вектора производной зависит от способа параметризации кривой. Существует способ параметризации кривой, при котором длина вектора производной равна единице. Для этого используется параметризация, геометрически связанная с кривой, а именно: за параметр принимается длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой ее точки (например, начальной). Действительно, в этом случае длина хорды RR ₁ стремится к длине дуги ∆ t, а длина вектора r’ стремится к единице, когда ∆ t стремится к нулю. Векторная зависимость

(45)

где s – длина дуги, называется управление кривой с натуральной параметризацией. Натуральная параметризация удобна в теоретических исследованиях, так как она упрощает формулу. С практический точки зрения она не всегда удобна, так как требует знание длины дуги.

Сопровождающий трехгранник. В каждой точке кривой можно построить плоскость, перпендикулярная ее первой производной. Такая плоскость называется нормальной плоскостью кривой. Плоскость, в которой лежит и первая производная кривой и ее вторая производная, называется соприкасающейся плоскостью. Если вторая производная кривой параллельна первой производной или ее длина равна нулю, то в качестве соприкасающейся плоскости можно взять любую плоскость, в которой лежит первая производная кривой. Точка кривой, в которой вектор первой и второй производных кривой коллинеарны, называется точкой распрямления. Точка распрямления не зависит от способа параметризации кривой. Название соприкасающихся плоскостей обусловлено тем, что она проходит через заданную точку кривой с наивысшим порядком касания, и ее можно определить как предельное положение плоскости, построенной по трем бесконечно близким точкам кривой. Плоскость, перпендикулярная нормальной и соприкасающейся плоскостям, называется спрямляющей плоскостью (рис. 9).

Рис. 9. Сопровождающий трехгранник кривой

Единичный вектор, направленный вдоль первой производной кривой, называется касательным вектором кривой в данной точке. Единичный вектор, направленный вдоль линии пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей и направленный в сторону второй производной (в сторону вогнутости кривой), называется главной нормалью кривой в данной точке. Единичный вектор, направленный вдоль линии пересечения нормальной спрямляющей плоскости и образующей с касательным и нормальным вектором правую тройку векторов, называется бинормалью кривой в данной точке.

Таким образом, с каждой точкой кривой связаны три взаимно перпендикулярные плоскости: нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая, а также три взаимно ортогональных вектора единичной длины: касательный t, нормаль n и бинормаль b = t × n. Совокупность трех перечисленных плоскостей и трех векторов t, n, b называется сопровождающим трехгранником кривой.

Тройка векторов t, n, b выражается через производные векторной функции кривой. Они помогут нам в исследовании строения кривой в бесконечно малой окрестности каждой ее точки. Тройка единичных векторов связана соотношениями

(46)

Формула Френе-Серре. Предположим, что нам известно уравнение кривой с натуральной параметризацией (45). В этом случае

(47)

Из того, что длина первой производной равна единице и не меняется вдоль кривой, следует

(48)

т.е. векторы первой и второй производной ортогональны. Следовательно, вторая производная кривой с натуральной параметризацией направлена по главной нормали:

(49)

Коэффициент k называется кривизной кривой линии. Ниже мы покажем, что обратная ее величина равна радиусу окружности, соприкасающейся с кривой в рассматриваемой точке. Бинормаль по определению ортогональна касательному вектору и главной нормали. Из этого следует, что

(50)

Таким образом, вектор d b /ds ортогонален векторам t и b и, следовательно, он параллелен главной нормали. Это принято записывать в виде

(51)

Коэффициент χ называется кручением кривой линии. Равенства (49) и (51) определяют производные ортов t и b по длине дуги. Найдем производную нормали по длине дуги

(52)

Нами получены дифференциальные зависимости для векторов t, n и b:

которые известны как формулы Френе-Серре. Они выражают производные векторов сопровождающего трехгранника в виде разложения по самим этим векторам. Используя (46) и (47) и формулы Френе-Серре, выразим векторы t, n, b, кривизну и кручение кривой через производные радиус-вектора кривой по ее длине дуги следующим образом:

(53)

Соприкасающаяся окружность. Поясним, почему коэффициент k называют кривизной кривой. Построим окружность радиусом равным некоторой величине ρ. Ее уравнение с натуральной параметризацией в некоторой местной системе координат с ортами i₁, i₂, i₃ имеет вид

Нормаль к окружности и производные радиус-вектора окружности равны

Очевидно, что коэффициент пропорциональности k для окружности равен 1/ ρ. Таким образом, если мы построим для кривой соприкасающуюся с ней окружность (с таким же d² r /ds², как у кривой), то радиус этой окружности будет равен ρ (рис. 10).

Величина ρ = 1 /k называется радиусом кривизны кривой. Для произвольной кривой ее кривизна k и кручение χ являются функциями параметра t.

Поясним, почему коэффициент χ называют кручением кривой. Построим в некоторой точке кривой сопровождающий трехгранник и посмотрим, как он будет себя вести при движении вдоль кривой. Получим, что при увеличении параметра на небольшую величину Δ t касательный вектор t повернется в сторону главной нормали n на угол k, а бинормаль b повернется в сторону, противоположную главной нормали n на угол χ (рис. 11).

Рис. 10. Соприкасающаяся с кривой окружность

Рис. 11. Вектор Дарбу

Если наблюдать этот процесс, «сидя на кончике вектора t», то мы увидим, что главная нормаль n и соприкасающаяся плоскость повернулись в сторону бинормали b на угол χ. Теперь представим, что точка движется по кривой, проходя единицу длины ее дуги за единицу времени. В этом случае угловая скорость вращения сопровождающего трехгранника вокруг касательного вектора будет равна кручению кривой χ. Если кручение χ = 0, то кривая является плоской. Справедливо и обратное утверждение. Если кручение кривой равно нулю, то соприкасающаяся плоскость во всех точках кривой одна и та же, все бинормали параллельны друг другу, а кривая является плоской.

Полный вектор угловой скорости вращения сопровождающего трехгранника по отношению к пути, проходимому по кривой, называется вектором Дарбу. Он равен

(54)

Вектор Дарбу придает механический смысл формулам Френе-Серре (52), с использование которого последние имеют вид

Дата добавления: 2015-07-08