Преобразование декартовых прямоугольных координат

Преобразование координат точек в пространстве. Рассмотрим, как изменятся декартовые прямоугольные координаты точки в пространстве при переходе от одной системы координат к другой. Пусть в пространстве заданы две декартовы прямоугольные системы координат: О e₁e₂e₃ и О i₁i₂i₃. Пусть положение некоторой точки R в первой системе описываются координатами r₁, r₂, r₃, которым соответствует вектор r, а во второй системе положение этой же точки описывается координатами x₁, x₂, x₃, которым соответствует вектор x (рис. 2).

Рис. 2

Заметим, что равенствами

(1)

точка R описывается в разных системах координат. Обозначим через

(2)

вектор, направленный из точки О в точку Q. Если к вектору q добавить вектор x, то мы получим вектор r. Сложение векторов мы выполним в первой системе координат, так как именно в ней рассматриваемая точка описывается вектором r. Для этого разложим орты i₁, i₂, i₃ по ортам e₁, e₂, e₃:

(3)

где a_ij, i, j = 1, 2, 3 – компоненты ортов i₁, i₂, i₃ в системе координат О e₁e₂e₃. Сложив векторы q и x, получим равенство

откуда следуют формулы преобразования координат точки при переходе из системы О i₁i₂i₃ в систему координат О e₁e₂e₃:

(4)

В матричном представлении (4) имеет вид

(5)

где A ^T – транспонированная матрица поворота:

.

Строки матрицы A составлены из компонент векторов i₁, i₂, i₃. Умножив каждое из равенств (3) скалярно на e₁, e₂, e₃, получим еще одно выражение для компонент матрицы A:

(6)

Из (6) видно, что базисные векторы е₁, е₂, е₃ в системе координат с базисными векторами i₁, i₂, i₃ выражаются через те же коэффициенты, которые присутствуют в (3):

(7)

Действительно, если каждое из равенств (7) умножить скалярно на i₁, i₂, i₃, то получим равенство (6).

Обозначим через о = о ₁ i ₁ + о ₂ i ₂+ о ₃ i ₃ вектор, направленный из точки Q в точку O. Выполнив сложение векторов o и r во второй системе координат, мы получим вектор х. Приравняв соответствующие компоненты векторов, получим формулы преобразования координат рассматриваемой точки при переходе из системы О е₁е₂е₃ в систему координат Q i₁i₂i₃:

(8)

Если формулы (8) применить для точки Q, мы получим формулы, выражающие компоненты о_1, о_2, о₃ вектора о через компоненты q_1, q_2, q₃ вектора q:

Подставив последние в (8), получим

В матричном представлении преобразования (8) имеют вид:

(9)

Умножив равенство (1.2.9) слева на А ^Т и прибавив вектор q, в соответствии с формулой (1.2.5) мы должны получить вектор r. Отсюда следует, что

(10)

Мы видим, что транспонированная матрица поворота равна своей обратной матрице, т.е. матрица поворота системы координат является ортогональной. Отсюда же следует, что определитель матрицы А равен единице:

(11)

Преобразования компонент векторов в пространстве. Пусть некоторый пространственный вектор в системе координат О е₁е₂е₃ описывается выражением r ₁ e ₁+ r ₂ e ₂+ r ₃ e ₃, а в системе координат Q i₁i₂i₃ этот же вектор описывается выражением x ₁ i ₁+ x ₂ i ₂+ x ₃ i ₃. С учетом формул (3) и (7) получим, что преобразования компонент векторов описываются формулами (4) и (8), в которых компоненты q_1, q_2, q₃ и o_1, o_2, o₃ следует положить равными нулю.

Преобразования координат двухмерных точек. Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: О е ₁ е ₂ и Q j ₁ j ₂. Пусть положение некоторой

Рис. 3

точки Р в первой системе описывается вектором p = p ₁ e ₁+ p ₂ e ₂, а во второй системе положение этой же точки описывается вектором y = y ₁ j ₁+ y ₂ j ₂ (рис. 3).

Разложим вектор q, направленный из точки О в точку Q, а также орты j ₁, j ₂ по ортам е₁, е₂:

(12)

(13)

Сложив векторы q и у, получим:

Отсюда следуют формулы преобразования координат точки:

(14)

Матричное представление (14) совпадает с (5): p =A^T∙ y + q. Так как базисные векторы j ₁ и j ₂ имеют единичную длину, равенствам (13) можно придать вид

(15)

если обе координатные системы правые или левые, и

если одна из координатных систем правая, а другая – левая. Угол φ между векторами е ₁ и j ₁ отсчитывается от е ₁ в сторону вектора е ₂. Пусть обе системы координат являются правыми (для систем разной ориентации следует изменить знак и на противоположный). Матрица поворота систем координат, выраженная через угол φ, имеет вид:

Преобразование координат (14) при переходе от системы с базисными векторами е ₁ и е ₂ к системе координат с базисными векторами j ₁ и j ₂ примет вид:

(16)

Решив систему уравнений (16) относительно у ₁ и у ₂, получим обратное преобразование

(17)

Если в (17) положить р ₁=0, р ₂=0, то получим координаты точки О в системе с базисными векторами j ₁, j ₂, выраженные через компоненты q ₁ и q ₂:

(18)

В системе координат с базисными векторами j ₁, j ₂ координаты о ₁ и о ₂ равны компонентам вектора о, построенного из точки Q в точку О. С учетом формул (18) преобразование координат точки (17) будет иметь вид:

Выразим из (18) координаты q ₁ и q ₂ через координаты о ₁ и о ₂ и подставим их в (16). В результате получим:

(19)

Матричные записи преобразований координат точки при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой в двухмерном пространстве и трехмерном пространстве совпадают.

Преобразования компонент двухмерных векторов. Пусть некоторый двухмерный вектор в системе координат О е ₁ е ₂ описывается выражением р ₁ е ₁+ р ₂ е ₂, а в системе координат Q j ₁ j ₂ этот же вектор описывается выражением y ₁ j ₁+ y ₂ j ₂. С учетом формулы (15) получим, что преобразования компонент двухмерных векторов описываются формулами (16) и (17), в которых компоненты q ₁, q ₂ следует положить равные нулю.

Дата добавления: 2015-07-08