Простейшие тела

Способы моделирования деталей часто повторяют технологический процесс их производства. Один из способов моделирования тел заключается в том, что берется некоторая заготовка тела и затем путем удаления и добавления в определенных местах дополнительного объема (материала) получают тело требуемой формы. В качестве заготовок могут браться тела простейшей формы: прямоугольная призма, цилиндр, конус, шар, тор и другие. Простейшие тела состоят из одной оболочки, построенной по общим правилам. Рассмотрим построение оболочки некоторых простейших тел.

Для каждого простейшего тела нам потребуется местная декартова прямоугольная система координат, радиус-вектор начала которой обозначим через р, а базисные орты обозначим через i _x, i _y, i _z.

Прямоугольная призма. Начало местной системы координат поместим в одну из вершин призмы, а ее орты направим по ребрам, стыкующимся в этой вершине. Пусть в направлении орта i _x тело имеет длину, равную х, в направлении орта i _y — длину, равную у, а в направлении орта i _z — длину, равную z. Прямоугольная призма состоит из шести граней. Каждая грань представляет собой часть плоскости, ограниченную прямоугольным контуром на ней, с признаком ориентации нормали плоскости наружу тела и одним циклом. Контуры состоят из отрезков прямых. Прямо­угольная призма имеет 12 ребер. Каждое ребро состоит из линии пересечения поверхностей соседних граней и признака совпадения направления ребра с направлением линии пересечения. Каждая линия пересечения состоит из двух ли­ний на поверхности: одна на поверхности одной грани, другая на поверхности второй грани. Обе линии на поверхности имеют одинаковую геометрическую и параметрическую длину и полностью совпадают в пространстве. Каждая линия на поверхности представляет собой совокупность поверхности и двухмерной линии на ней. Прямоугольная призма с ориентацией циклов граней показана на рис. 22.

Рис. 22. Ориентация циклов граней призматического тела

Грани тела будут описываться поверхностями:

(110)

У третьей, четвертой и пятой граней нормаль поверхности направлена наружу тела, а у первой, второй и шестой — внутрь тела. Эта информация содержится в грани в виде признака совпадения нормалей.

Приведем описание одного из ребер. Например, ребро между первой и второй гранями описывается линией пересечения этих граней, состоящей из двух двухмерных отрезков:

(111)

и двух поверхностей. Выражение l _{uv 1}(t) r ₁(u ₁, v ₁) означает, что отрезок l _{uv 1}(t) лежит на поверхности r ₁(u ₁, v ₁) а выражение l _{uv 2}(t) r ₁(u ₂, v ₂) означает, что отрезок l _{uv 2}(t) лежит на поверхности r (u ₂, v ₂). Пусть направление ребра совпадает с направлением кривой (111), что зафиксируем в признаке совпадения направлений. Признак совпадения направления ребра с направлением цикла грани мы назвали флагом. Флаг может принимать два значения: положительное и отрицательное. Ребро входит в цикл первой грани с положительным флагом, а в цикл второй грани – с отрицательным флагом. Если смотреть вдоль направления ребра снаружи тела, то слева от ребра лежит первая грань, а справа от ребра лежит вторая грань.

Для построения граней тела достаточно знать местную систему координат р, i _x, i _y, i _z и стороны х, у, z призмы.

Цилиндрическое тело. Другой заготовкой может служить цилиндрическое тело (рис. 23). Начало местной системы координат р поместим в центр одного из торцов цилиндра, а орт i _x направим вдоль оси. Пусть цилиндр имеет радиус r и высоту h.

Цилиндрическое тело имеет три грани. Торцевые грани состоят из частей плоскости, ограниченных окружностями на них, граничного цикла и признака ориентации нормали плоскости грани наружу тела. Цикл каждой торцевой грани состоит из одного замкнуто ребра. Геометрическим носителем такого замкнутого ребра является линия пересечения, состоящая из двух кривых на поверхности. Одна кривая является окружностью на плоскости, а вторая – линией v = v _min или v = v _mах на цилиндрической поверхности. Напомним, что обе линии на поверхности, составляющие линию пересечения, должны иметь одинаковую параметрическую длину.

Боковая грань тела базируется на цилиндрической поверхности

(112)

Нормали поверхности (112) и ее грани совпадают по направлению. Эта грань имеет один цикл. Цилиндрическая поверхность боковой грани является замкнутой по одному из параметров. Грани основания базируются на ограниченных окружностями плоскостях

Рис. 23. Ориентация циклов граней цилиндрического тела

(114)  

(113)  

где параметры u ₂, v ₂лежат внутри окружности , на плоскости , а параметры u ₃, v ₃лежат внутри окруж­ности l _{uv 3}(t) = [ r соst r sint ] , на плоскости . Нормали поверхности (113) и ее грани противоположны по направлению, а нормали поверхности (114) и ее грани совпадают.

Ребро, построенное на линии замыкания оболочки, является швом. Шов, так же как и любое другое ребро, базируется на линии пересечения. В данном случае линия пересечения описывается двухмерными кривыми являющимися линиями

(115)

и = и _minи и = и _maxна цилиндрической поверхности. Ребро между боковой гранью и основанием (113) описывается линией пересечения этих граней, состоящей из двух двухмерных кривых (отрезка и окружности)

(116)

Отрезок l _{uv 1}(t) лежит на поверхности r ₁(u ₁, v ₁) окружность l _uv2 (t) лежит на поверхности r ₂(u ₂, v ₂). Пусть направление ребра совпадает с направлением кри­вой (116), что отметим соответствующим признаком совпадения направлений. Это ребро входит в цикл первой грани с положительным флагом, а в цикл второй грани — с отрицательным флагом. Если смотреть вдоль направления ребра снаружи тела, то слева от ребра лежит первая грань, а справа от ребра лежит вторая грань.

Ребро между боковой гранью и основанием (114) описывается линией пересечения этих граней, состоящей из двух двухмерных кривых (отрезка и окружности)

(117)

Отрезок l _{uv 1}(t) лежит на поверхности r ₁(u ₁, v ₁) окружность l _{uv 3}(t) лежит на поверхности r ₃(u ₃, v ₃). Пусть направление ребра совпадает с направлением кривой (117), что отметим соответствующим признаком совпадения направлений. Это ребро входит в цикл первой грани с отрицательным флагом, а в цикл тре­тьей грани — с положительным флагом. Если смотреть вдоль направления ребра снаружи тела, то слева от ребра лежит третья грань, а справа — первая грань.

Циклы граней основания содержат всего одно ребро. Цикл боковой грани состоит из списка ребер с соответствующими флагами:

ребро на базе кривой (116) — флаг положительный,

ребро на базе кривой (115) — флаг положительный,

ребро на базе кривой (117) — флаг отрицательный,

ребро на базе кривой (115) — флаг отрицательный.

Цилиндрическое тело и ориентация циклов его граней показаны на рис. 23. Для построения граней тела достаточно знать местную систему координат р, i _x, i _y, i _z, радиус r и высоту h цилиндра.

Коническое тело. Тело в форме усеченного конуса строится аналогично ци­линдрическому телу с той лишь разницей, что в качестве поверхности боковой грани вместо цилиндрической используется коническая поверхность

(118)

Грани основания базируются на ограниченных окружностям поверхностях

(119)

(120)

где параметры u ₂ ,v ₂лежат внутри окружности

а параметры u ₂, v ₂лежат внутри окружности

Ребро, построенное на боковой грани, будет являться швом. В общем случае коническое тело имеет три грани. Если конус не усеченный, то одна из торцевых граней стянута в точку. Стянутую в точку грань можно исключить из модели тела, тогда оболочка тела с топологической точки зрения будет незамкнутой, хотя диаметр отверстия в ней равен нулю.

Для построения граней тела достаточно знать местную систему координат р, i _x, i _y, i _z,радиус r одного из оснований конуса, высоту h и угол конусности γ.

Сферическое тело. Сферическая поверхность может служить оболочкой сферического тела, но эта оболочка не является замкнутой, так как имеет два отверстия нулевого радиуса в полюсах. Начало местной системы коорди­нат р для сферического тела поместим в центр сферы. Оболочка, описываемая сферической поверхностью

топологически эквивалентна цилиндрической поверхности. Ребра в полюсах стянуты в точку, но двухмерные кривые на сферической поверхности в полюсах имеют ненулевую длину. Цикл грани сферического тела составляют три ребра, одно из которых является швом

а два других описываются линиями на полюсах сферы:

Линии пересечения в полюсах состоят из двух одинаковых линий на сфере. Шов входит в список ребер цикла дважды, один раз с положительным флагом, второй раз - с отрицательным флагом. Сферическое тело показано на рис. 24.

Рис. 24. Ориентация цикла грани сферического тела

Рис. 25. Построение сферического тела по двум полусферам

Сферическое тело можно построить из двух полусфер, описываемых векторными функциями

(121)

(122)

где

r — радиус сферы, р — радиус-вектор центра, i _x, i _y, i _z — орты, определяющие ориентацию сферы. Поверхность (121) описывает верхнюю полусферу, а поверхность (122) описывает нижнюю полусферу. Нормали верхней поверхности и ее грани совпадают по направлению, а нормали нижней поверхности и ее грани противоположны по направлению. Оболочка сферического тела, состоящая из двух полусфер, является замкнутой. Ее полусферы стыкуются по четырем ребрам:

Поверхности (121) и (122) для построения сферического тела приведены на рис. 25.

Для построения граней тела достаточно знать местную систему координат р, i _x, i _y, i _z и радиус г сферы.

Тороидальное тело. Начало местной системы координат р для тороидального тела поместим в его центр, а орт i _г направим по оси симметрии тела. Пусть больший радиус тора равен R, а малый радиус тора равен r. Тороидальное тело имеет одну грань, описываемую тороидальной поверхностью

(123)

два ребра

(124)

(125)

и одну вершину в точке пересечения ребер p + (R - r) i _x. Нормаль поверхности и грани тороидального тела совпадают по направлению. Грань тела имеет один цикл. Цикл грани состоит из списка ребер с соответствующими флагами:

ребро на базе кривой (124) — флаг положительный,

ребро на базе кривой (125) — флаг положительный,

ребро на базе кривой (124) — флаг отрицательный,

ребро на базе кривой (125) — флаг отрицательный.

Тороидальная поверхность грани является замкнутой по обоим параметрам, по­этому оба ребра оболочки тела замкнуты и являются швами. Тороидальное тело, его ребра и цикл грани показаны на рис. 26.

Рис. 26. Ориентация цикла грани тороидального тела

Для построения граней тела достаточно знать местную систему координат р, i _x, i _y, i _z, больший радиус R и меньший радиус r.

Дата добавления: 2015-07-08