Задачи. 1. Имеется коллектив из случайным образом подобранных человек

1. Имеется коллектив из случайным образом подобранных человек. При каком значении вероятность события , т.е. того, что среди них есть хотя бы двое имеющих одинаковые дни рождения, наиболее близка к 0,5. (Наиболее распространенный ответ – .) Найти вероятность

2. Один профессор университета двенадцать раз штрафовался за незаконную ночную стоянку автомашины, причём все двенадцать раз это происходило или во вторник или в четверг. Найти вероятность этого события в предположении, что распределение проверок по дням недели равномерно.

3. Задача о движении городского транспорта. Для описания движения транспорта через уличный переход предположим, что каждую секунду имеет место одно испытание Бернулли. Успехом будем называть проезд автомобиля через переход. Допустим, что пешеход может перейти улицу только при условии, что в последующие три секунды переход будет свободным. Найти вероятность того, что пешеходу потребуется ждать t = 0, 1, 2, 3, 4 секунды

4. Построитьграфикибиномиального закона распределения при различных комбинациях значений () и (). По оси ОХ откладывается число испытаний, в которых произошло событие А, а по оси ОY соответствующие вероятности.

5. Вероятность того, что некий спортсмен-баскетболист забросит мяч в корзину с дальней дистанции, равна 0,7. Найти наивероятнейшее число попаданий в 58 бросках и вероятность этого числа бросков.

6. Расход изделий некоторого типа за рассматриваемый период имеет распределение Пуассона с параметром λ. Первоначальный запас составляет 10 изделий. Какова вероятность того, что этот запас будет достаточным? Каким должен первоначальный запас, чтобы он был достаточным с вероятностью p=0.95?

7. Дискретная случайная величина Х задана следующим законом распределения.

	0,01	0,02	0,15	0,15	0,07	0,1	0,01	0,09	0,2	0,01	0,199

Построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

8. Задана плотность распределения некоторой случайной величины Х.

Найти значения постоянной с. Найти функцию распределения , математическое ожидание, дисперсию и медиану. Построить графики и .

9. Вероятность того, что идущий по улице навстречу прохожий является знакомым равна 0,01. Сколько, среди первых 100 случайно встреченных прохожих, можно встретить знакомых с вероятностью 0,95. Чему равна вероятность того, что знакомых будет больше 10; больше 30, но меньше 50.

10. Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с и . Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение из промежутка .

11. В цехе один из работающих станков (дающих 100 p% всей продукции) разладился. После обработки нормально работающим станком некоторый размер детали имеет нормальное распределение с параметрами и . У разладившегося станка при том же значении параметра второй параметр .

Деталь бракуется, если ее замеренный размер отклоняется по абсолютной величине от значения более чем на .

Какова доля бракуемых деталей? Какой бы она была, если бы разладка не произошла?

Далее пусть деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была обработана на нормально работающем станке?

12. На грузоперевалочный пункт ежедневно прибывает пять автомашин четырех марок. Автомашина первой марки доставляет груз весом 1т, второй – 2т, третьей – 3т, четвертой – 5т. Вероятности того, что прибывающая машина окажется первой и т.д. марок (независимо от марок других машин) составляет 0.4, 0.3, 0.2 и 0.1. Каково распределение веса груза, доставляемого всеми автомашинами за сутки?

13. Найти маргинальные распределения, математические ожидания, дисперсии, ковариацию и коэффициент корреляции для случайных величин, совместное распределение которых задано таблицей.

Y X	-2
-1	0,05	0,10		0,10
		0,15	0,10
	0,10	0,20	0,15	0,05

14. Вычисление на некоторой ЭВМ проводится с точностью до шестого знака после запятой. Для решения определенной задачи требуется вычислить десять миллионов арифметических операций, каждая из которых дает в силу округления выше описанную погрешность. В предположении, что эти погрешности взаимно независимы и суммируются, найти вероятность того, что абсолютная ошибка превысит 0,001.

15. (Цепи Маркова). Задан лабиринт (см. рис. 1.), в котором соседние ячейки соединены автоматически открывающимися через каждые пять минут дверцами. Объект помещается в момент времени в левый верхний угол лабиринта – . В момент открытия дверцы объект с равными вероятностями либо остается на месте, либо перемещается в какую-то соседнюю клетку. Найти вероятность того, что через 23 минуты объект можно обнаружить в клетке . В какой клетке с наибольшей вероятностью можно найти объект через 33 минуты, через 24 часа и 3 минуты.

Рис.1.

16. Следующая таблица (в тексте приведен укороченный вид; исходная таблица, по которой и приводятся расчеты, содержит данные о 100 респондентах) взята из набора файлов примеров пакета Statistica [файл Characteristics]

Пол	Цвет глаз	Цвет волос	Рост (в дюймах)	Вес (в фунтах)	Возраст	Индекс самочувствия	Индекс уровня здоровья	Тест 1	Тест 2	Тест 3	Итог тестирования
муж	голубые	шатен				61,134	58,974				13,667
муж	зеленые	шатен				38,471	50,776				11,000
жен	карие	шатен				38,985	65,185				14,333
муж	зеленые	темные				62,206	75,948				14,333
муж	голубые	шатен				47,900	71,653				15,000
муж	голубые	шатен				66,049	47,883				17,667
муж	карие	шатен				19,555	44,571				15,000
жен	карие	шатен				44,243	59,643				14,667
жен	карие	белокурый				58,538	69,995				15,667
муж	карие	темные				64,236	74,886				13,333
муж	голубые	рыжие				60,057	44,467				15,333
муж	голубые	шатен				42,567	50,304				13,667
жен	голубые	шатен				60,386	54,906				12,000
жен	зеленые	шатен				44,161	75,877				14,000
муж	голубые	рыжие				44,380	44,685				14,667
муж	голубые	шатен				34,924	59,384				13,667
муж	зеленые	темные				45,083	54,659				13,667
жен	карие	темные				36,367	65,344				14,333
жен	карие	белокурый				45,362	49,542				12,333
жен	голубые	шатен				58,608	53,720				17,000
муж	зеленые	темные				53,952	64,561				12,667

Используя приведенную выше таблицу

1) дать возможные графические представления данных: гистограмма, полигон частот, график рассеяния (точечная диаграмма, англ. scatter plot);

2) для каждой из характеристик получить описательные статистики;

3) данные, представленные в метрической шкале, проверить на нормальность (т.е. проверить гипотезу о том, что данные рассматриваемой выборки взяты из генеральной совокупности, в которой исследуемая случайная величина имеет нормальный закон распределения);

4) есть ли статистически значимое (уровень значимости 0,05) различие в весе или росте у мужчин и женщин;

5) есть ли статистически значимое (уровень значимости 0,05) различие в результатах тестирования у мужчин и женщин; у мужчин шатенов и женщин брюнеток;

6) есть ли статистически значимое (уровень значимости 0,05) различие между количеством кареглазых и голубоглазых респондентов;

7) есть ли статистически значимое (уровень значимости 0,05) различие в весе в зависимости от цвета волос;

8) существует ли статистически значимая (уровень значимости 0,05) корреляция между ростом и весом; между весом и значением индекса самочувствия; между результатами тестирования по тесту1 и тесту 2;

9) получить уравнение линейной функции регрессии веса на возраст; оценить статистическую значимость коэффициентов полученного уравнения;

10) изменятся ли выводы по пунктам 4) – 8) при изменении уровня значимости с 0,05 на 0,01.

Дата добавления: 2015-07-08