GeoGebra

GeoGebra – это свободно распространяемая программа (математический пакет), использующаяся при обучении школьников и студентов в таких дисциплинах, как: геометрия, аналитическая геометрия, проективная геометрия, алгебра, теория чисел, математических анализ, теория вероятностей и статистика и другие смежные дисциплины. Она была создана австрийцем Маркусом Хохенвартером (Markus Hohenwarter), ныне профессором Флоридского Атлантического университета в США, в 2001 году.

GeoGebra написана на языке Java (это обуславливается ее некоторую медлительность). Программа активно развивается и дополняется новыми возможностями. В версии 5.0.9.0. имеется 6 окон (Window): Панель объектов, Таблица, CAS, Полотно, Полотно 2, Полотно 3D (Терминология русскоязычной версии). На экране может присутствовать любое сочетание этих окон, которые представляют из себя некие «подпакеты» для выполнения конкретных математических задач. И хотя нас будут интересовать в основном окно CAS, Таблица и Калькулятор Вероятностей (именно в них и решаются задачи теории вероятностей и статистики) очень хочется отметить великолепное сочетание Панель объектов + Полотно. Это воплощенная мечта Декарта. Любое аналитическое действие в Панели объектов тот час отражается на Полотне, и наоборот – любое геометрическое построение на Полотне порождает цепочку аналитических выражений в Панели объектов.

В окне CAS (с анг. Computer Algebra Systems) можно выполнять большое количество операций доступных таким пакетам символьной математики как Maple, Mathematica, Derive и другие. Это и работа с обыкновенными дробями, алгебраические преобразования, решение алгебраических уравнений и систем уравнений, нахождение пределов, дифференцирование и интегрирование, решение дифференциальных уравнений и т.д.

Работа в этом окне дает возможность проводить вычисления в задачах, например, на классическое определение вероятности. Возьмем задачу 1. Вероятность события A (k) находится по формуле

.

Вычисление с такими числами в Excel не проходят. GeoGebra же позволяет легко вычисляет эти значения при любых k от 2 до 364.

Обратимся к задаче 5. Вероятность забросить мяч k -раз в корзину при 58 бросках находится по формуле Бернулли.

Наивероятнейшее число бросков можно найти из неравенства . Это 41 бросок. Сочетанию окон Панель объектов и Полотно позволяет увидеть график функций и интервал, в котором следует искать . Дополнительно вызванный исследователь функций позволяет уже дать правильный ответ.

рис.3.

Этот же ответ можно получить и в окне Таблица. Это окно – табличный редактор, аналогичный Excel. Получаем таблицу, из которой непосредственно видно каковы вероятности числа попаданий мяча в корзину и какое из этих чисел имеет наибольшую вероятность.

Рассмотрим решение задачи 16 пункт 6 из области статистики. Необходимая часть таблицы данных для этой задачи через буфер обмена без проблем переносится в окно Таблица. Используя команды этого окна, находим сперва какие цвета глаз встречаются в списке и каковы их абсолютные частоты (команды «Едиственность[В1:В100]» и «Частота[В1:В100]»).

рис. 5.

Теперь нам нужно сравнить попарно полученные частоты и выяснить, носит ли их различия статистически значимый характер на уровне значимости 0,05. Для этого воспользуемся критерием Фишера (угловое преобразование Фишера). Сравним, например, доли «голубоглазых» и «кареглазых» в выборке.

Остается только сопоставить полученное значение с табличным 1,64. Получаем, что эти доли надо считать статистически одинаковыми. И так далее.

В GeoGebra есть отличный Калькулятор Вероятностей (очень похожий на инструмент с таким же названием в Statistica), который позволяет с легкостью решать задачи на нахождение вероятностей вида при различных часто встречаемых законах распределения случайной величины . Вот как наглядно и просто решается в нем Задача 10.

Кстати и решение задачи 5 в этом Калькуляторе Вероятностей выглядит весьма просто и наглядно

Использование вкладки Статистические данные в этом калькуляторе позволяет проверять следующие статистические гипотезы

Вывод: очень подходящая программа для сопровождения преподавания математики на начальных этапах. Из существенных недостатков надо отметить: отсутствие методической литературы на русском языке, постоянные мелкие изменения в интерфейсе при переходе на новые версии.

Excel

Один из наиболее известных табличных редакторов или электронная таблица, названный своими создателями несколько претенциозно Excel (сокращение от «excellent» - превосходный) появился в 1987 году. Разумный компромисс между возможностью быстрого освоения и широкими возможностями применения (бухгалтерия, экономика, финансы, анализ данных в различных науках и т.д.) сделали Excel чрезвычайно популярным и часто используемым продуктом. А его включение в пакет Microsoft Office позволяет найти эту электронную таблицу практически на любом компьютере (ну если не сам Excel, так его полные свободно распространяемые аналоги – Calc или Gnumeric).

Для решения задач теории вероятностей в Excel можно использовать встроенные математически-вычислительные функции, законы распределения наиболее часто встречающихся случайных величин (биномиальный, нормальный, t-распределение Стьюдента, распределение Пуассона, распределение Вейбулла и другие) и возможность построения различных графиков (гистограмма, график рассеяния, круговые диаграммы и еще и еще). Задачи этого цикла 1 – 7, 9 – 14 и даже задачу 15 в этом пакете можно решить. Вот примеры полученных ответов на задания 5 и 10.

Задача 5

И аналитически и графически видно, что наивероятнейшее число бросков равно 41 и соответствующая вероятность равна 0,113698600264048.

Задача 10.

Искомая вероятность равна 0,18920.

Для статистической обработки данных используются возможности построения цепочек последовательных преобразований числовых массивов, встроенные статистические функции (в Excel 2007 их около 90) и Пакет Анализа Данных. Эти средства позволяют получить решения всех пунктов Задачи 16. Приведем вид не полного ответа на следующие вопросы: существует ли статистически значимая (уровень значимости 0,05) корреляция между ростом и весом; между весом и результатами тестирования по тесту1. Первая часть подразумевает нахождение коэффициента линейной корреляции Пирсона, вторая – коэффициента корреляции Спирмена.

Сами числовые значения коэффициентов на представленном рисунке найдены. Коэффициент корреляции Пирсона (-0,20200) вычислен за счет встроенной функции PEARSON. А вот для Спирмена (-0,11786) нет встроенной функции! В столбцах K и L приведены результаты ранжирования данных столбцов А и С. Причем этот Excel’евский способ ранжировании отличен от принятого в статистике по части присвоения рангов совпадающим значениям выборки. Для правильного, пришлось бы еще «крутиться» (не хорошо поднаторевшему прикладнику) с таким вот блоком обработок (взято из книги «Психологический анализ в среде Excel» Сапегина А.Г., 2005. - стр. 26; взято с точность до имен столбцов).

Затем к полученным рядам чисел применена встроенная функция PEARSON (это можно так сделать в связи с большим количеством данных).

И еще не найдены уровни статистической значимости полученных коэффициентов корреляции. И еще, по-хорошему, надо бы найти поправки на повторяемости рангов и проверить все условия применимости нахождения коэффициента линейной корреляции Пирсона. Довольно громоздко! Кстати вот как выглядят результаты тех же ответов в пакете Statistica, причем ничего писать не надо, а нужно лишь несколько последовательных щелчков мышью по пунктам меню.

Коэффициент линейной корреляции Пирсона

Уровень значимости ответы 0,044. На уровне значимости 0,05 можно говорить о существовании слабой корреляции между признаками.

Коэффициент корреляции Спирмена

Уровень значимости ответа 0,272105. На уровне значимости 0,05 нельзя говорить о существовании корреляции между признаками.

Уже на этом простом примере видно:

– даже при ответе на простые вопросы надо помнить большое количество команд и уметь правильно их записывать (очень не удобно, что часть команд пишется на английском языке, а часть – на русском; приходится то и дело переключать регистр);

– на вопроса более «высокого» уровня ответы получаются настолько громоздко, что уж лучше уходить на более профессиональные пакеты, например R.

Вывод: для получения описательных статистик, построения графиков и при проверке некоторого, не очень большого круга, статистических гипотез этот пакет просто замечательный. Еще замечательности добавляет доступность и широкое распространение Excel. Но если в преподаваемом курсе речь будет идти, например, о факторном или дискриминантном анализах, кластеризации объектов, каноническом анализе, причинном моделировании и т.д., то надо искать какие то другие пакеты.

Дата добавления: 2015-07-08