Об обратном способе математической логики, или о переходе от умозаключений к посылкам. 2 страница

Напомним, что приведение функции N к i -му измерению через непосредственное приведение к этому измерению каждого ее члена вообще должно быть проще, чем употребление соответственных формул Буля, потому что оно не приводит нас к тождественным равенствам 0=0, которые потом должны быть отбрасываемы.

Для примера возьмем задачу, полный логический нуль которой есть

0=ac₁+bd=N(a,b,c,d)

(Эта задача должна быть противоположна предыдущей задаче о домовладельцах, богачах и проч.). Построим систему 2³ равенств, отвечающих приведению функции N к 3-му измерению относительно классов b,c,d.

Применяя формулу Буля, мы должны вычислить 2³, т.е. 8, символов, для которых получим:

N(a,1,1,1)=1, N(a,0,1,1)=0, N(a,1,1,0)=0, N(a,0,1,0)=0,

N(a,1,0,1)=2, N(a,0,0,1)=a, N(a,1,0,0)=a, N(a,0,0,0)=a.

Три равенства сведутся на тождество, и получается следующая система 5 равенств:

0=bcd, 0=bc₁d, 0=abc₁d₁, 0=ab₁c₁d, 0=ab₁c₁d₁.

Дело будет проще, если мы в равенстве 0=ac₁+bd начнем каждый член приводить к 3-му измерению относительно классов b,c,d. С этою целью, напишем это равенство в виде:

0=bd+(b₁+d₁)ac₁=bd+ab₁c₁+ac₁d₁. В отношении классов b,c,d, все три члена этого выражения суть 2-го измерения, и для приведения их к третьему достаточно умножить первый из них на c+c₁, второй на d+d₁ и третий на b+b₁, после чего получим:

0=bcd+bc₁d+ab₁c₁d+ab₁c₁d₁+abc₁d₁+ab₁c₁d₁.

Выбрасывая здесь 6-й член, потому что она есть повторение 4-го, мы получим 5 посылок, совершенно тех же, что и выше.

Наконец, не делая предварительного преобразования исходной формулы 0=ac₁+bd, мы должны умножить в ней 1-й член (который есть 1-го измерения относительно классов b,c,d) на (b+b₁)(d+d₁)=bd=bd₁+b₁d+b₁d₁, а второй на c+c₁. Получили бы:

0=abc₁d+abc₁d₁+ab₁c₁d+ab₁c₁d₁+bcd+bc₁d,

откуда должен быть выброшен 1-й член, потому что он содержится в последнем, и получится та же самая задача о 5 посылках.

В заключение этого § нужно заметить, что, следуя изложенным здесь приемам, мы далеко не исчерпаем даже таки систем, в которых число равенств есть 2 во всевозможных степенях до n ─1-й включительно. Таким образом, необходимость изложенного вначале общего метода построения максимальной системы делается очевидной.

§ 9. Происхождение всевозможных функций из различных форм мира речи

Приведение какой угодно функции f ко всевозможным однородным видам можно рассматривать не только как средство для получения различных систем, отвечающих равенству f=0, но и как указание происхождения функции f из всевозможных универсальных единиц, составленных из различных комбинаций классов a, b, c, d …, фигурирующих в этой функции.

Делая функцию f однородной относительно a, т.е. приводя ее к виду Pa+Qa₁, мы указываем ее происхождение из конституантов a и a1 универсальной единицы одного a, т.е. 1=a+a₁. А именно, мы видим, что 1-й конституант этой единицы должен быть умножен на P, а второй на Q, после чего сложение итогов и доставить данную функцию f. Другими словами, мы видим, какие части помянутых конституантов должны быть сложены для образования данной функции. – Приводя ту же функцию ко второму измерению относительно двух классов a и b, т.е. к виду

α(ab)+ β (ab₁)+ γ (a₁b)+ δ (a₁b₁),

мы указываем ее происхождение из тождественной единицы этих двух классов, т.е. из выражения

1=(a+a₁)(b+ b₁)= ab+ab₁+a₁b+a₁b₁.

А именно, конституанты этой единицы должны быть умножены соответственно на α, β, γ, δ и итоги должны быть сложены. Так определяется те части этих конституантов, сложение которых доставляет данную функцию. И т.д. Наконец, делая ту же функцию f однородной относительно всех n классов a, b,с,d…, мы указываем ее происхождение из универсальной единицы всех этих n классов, т.е. из выражения 1=(a+a₁)(b+ b₁)(с+с₁)…=(abсd)+…+(a₁b₁с₁d₁. ), а именно, мы определяем какие конституанты этой единицы, взятые целиком, надо сложить для полученной данной функции. – Остановим наше внимание на этом последнем способе происхождения каждой функции f из универсальной единицы всех n классов, входящих в эту функцию. Как видим, в однородном виде n -го измерения, всякая функция f приводится к виду простой суммы нескольких элементарных конституантов. Другими словами, коэффициенты при конституантах суть единицы (при происхождении же из прочих тождественных единиц коэффициенты при конституантах суть функций: напр. P и Q суть функций b,c,d,...; α, β, γ, δ суть функций c,d,…). Отсюда открывается возможность сделать следующее важное заключение: всевозможные функции n классов через последовательное приравнивание нулю всех ее членов по одному, по два, по три и т.д. до (n-1). Отсюда же открывается, что число логических функций, какие только можно составить из данных n классов, должно быть меньше ₂2ⁿ.

§ 10. Основные свойства конституантов

Чтобы вполне закончить рассмотрение 1-го подразделения первоначальной нашей задачи, указанной в начале этой главы, считаем необходимым обратить внимание на следующие два основных свойства конституантов одного и того же измерения, составленных из одних и тех же классов. Эти два свойства, не требующие дальнейших пояснений, суть: 1) Сумма всех таких конституантов всегда есть 1 и 2) произведение двух (и более) из них всегда =0. В силу второго из этих свойств, конституанты одного и того же порядка от одних и тех же классов не имеют ничего общего между собой, не зависят друг от друга и не выражаются один через другой или через какую-либо комбинацию других. Наоборот, конституанты различных порядков выражаются одни через другие. Напр., конституант 2-го порядка ab разбивается на два конституанта 3-го порядка: abc и abc₁, на 4 конституанта 4-го порядка: abcd, abcd₁, abc₁d и abc₁d₁. И т.д.

Вторым из указанных свойств однородных конституантов можно воспользоваться для построения след. сокращенного правила перемножения функций, разложенных на однородные конституанты. Произведение двух разложений F=ks’+ls’’+ms’’’+… и F’=k’s’+l’s’’+m’s’’’+…, где s’, s’’, s’’’ … суть конституанты одного и того же измерения, составленные из одних и тех же классов, всегда будет: FF’=kk’s’+ll’s’’+mm’s’’’+…. Правило это (весьма полезное) установлено еще Булем, но, по недосмотру, не попало в наше введение к настоящей статье, и мы пользуемся случаем, чтобы восполнить этот пробел.

§ 11. Нахождение элементарных посылок в единичной форме. Способ разложения функций на множители

Обращаемся ко второму подразделению первоначальной задачи, т.е. пусть для равенства A=B требуется построить тождественную с ним максимальную систему посылок в единичной форме. Нет сомнения, что, взяв отрицания найденных по предыдущему элементарных логических нулей данного равенства, мы получим максимальную систему в единичной форме. Однако, существует прямой путь для этой цели, основанный на способе разложения логических функций на множители, и так как этот способ сам по себе может иметь значение в математич. логике, то я и займусь его изложением. Считаю нужным прибавить, что задачу о замещении равенства A=B всевозможными системами мне удалось решить первоначально именно этим путем, и только впоследствии я убедился, что натуральнее и проще она решится для нулевой формы искомых посылок. Таким образом, если в прямой способ математич. логики натуральнее иметь дело с логическими, то в обратном, наоборот, с логическими нулями.

Вот рассуждения, которые привели меня к построению обратного способа математич. логики.

Зная, что ряд посылок, превращенных в единичную форму: 1=M’, 1=M’’, 1=M’’’, …, тождественно замещаются одним равенством 1= M’M’’M’’’…=M, я заключил, что, наоборот, для замещения равенства A=B системой необходимо и достаточно превратить его в единичную форму 1=M и разбить функцию M на множители, после чего останется только приравнять каждый из этих множителей порознь единице. Осталось найти способ для разложения логических функций на множители. Изыскание такого способа долго меня затрудняло, п.ч. не удавалось найти твердой точки опоры. После многих попыток, я убедился, что основание для такого способа должно заключаться в правилах отрицания логических сумм и произведений. Эти правила состоят в том, что отрицание произведения равно сумме отрицаний сомножителей и отрицание суммы равно произведению отрицаний слагаемых. В силу этих правил, желая разбить какую угодно функцию M на множители, мы должны составить отрицание этой функции, т.е. M₁, разбить на его суммы, и взять отрицание этого разложения, после чего функция M и окажется разбитой на множители. Таким образом, если мы обратимся к формулам Буля, представляющим всевозможные разложения функций на суммы, и возьмем их отрицания, то получим формулы для всевозможных разложений функций на множители. Так получается следующий ряд разложений одной и той же функции на множители:

F(a,b,c,d...)=[a+ F(0,b,c,d…)][a₁+F(1,b,c,d,…)]

F(a,b,c,d…)=[a+b+F(0,0,c,d…)][a+b₁+F(0,1,c,d,…)][a₁+b+F(1,0,c,d…)]
[a₁+b₁+F(1,1,c,d,…)]

F(a,b,c,d...)=[a+b+c+F(0,0,0,d…)][a+b+c₁+F(0,0,1,d,…)]
[a+b₁+c+F(0,1,0,d…)][a+b₁+c₁+F(0,1,1,d,…)][a₁+b+c+F(1,0,0,d…)] [a₁+b+c₁+F(1,0,1,d,…)][a₁+b₁+c+F(1,1,0,d,…)][a₁+b₁+c₁+F(1,1,1,d…)].

И т.д. Закон построения этих формул очевиден.

В каждой из них каждый множитель представляет продуцент, сложенный с известным символом. Таким образом, если формулы Буля суть формулы разложения функций по конституантам различных порядков, то наши формулы можно назвать формулами разложения функций по продуцентам различных порядков. Одна и та же функция f(a,b,c,d…), разложенная напр. в отношении a и b по конституантам и продуцентам, будет:

f(a,b,c,d…)=abf(1,1)+ab₁f(1,0)+a₁bf(0,1)+a₁b₁f(0,0)=[a+b+f(0,0)]
[ a+b₁+f(0,1)][ a₁+b₁+f(1,0)][ a₁+b₁+f(1,1)].

Причем одни и те же символы фигурируют в обоих ее разложениях. А потому, раз эти символы для какой-нибудь функции вычислены, легко составить разложение этой функции, как на конституанты, так и на продуценты.

Понятно, что для построения в единичной форме максимальной системы, отвечающей равенству A=B, необходимо, превратить это равенство в форму 1=M, разложить функцию M на продуценты n -го порядка. Так получается следующая схематическая система 2ⁿ равенств:

1=a+b+c+d+…+M(0,0,0,0,…)

1=a₁+b+c+d+…+M(1,0,0,0,…)

1=a+b₁+c+d+…+M(0,1,0,0,…)

……………………………………………

1=a₁+b₁+c₁+d₁+…+M(1,1,1,1,…)

Здесь каждый из символов может быть только или единицей или нулем. Коль скоро символ =1, то соответственное равенство сводится на тождество 1=1 и выпадает из системы. Когда же символ =0, то он сам выпадает из равенства. А потому все равенства фактически максимальной системы состоят в указании на то, какие из элементарных продуцентов данных n классов служат частными логическими единицами в задаче A=B.

Имея максимальную систему элементарных единиц задачи и перемножая последние между собою по два, по три и т.д., мы получим всевозможные системы, отвечающие данному равенству A=B. – Разлагая же функцию M на всевозможные продуценты порядка низшего, чем n, мы получили бы различные системы, число посылок которых = числу 2 в различных степенях.

Обратимся к примеру. Построим еще несколько задач на тему

1=ac₁+bd=M(a,b,c,d),

Предполагая по-прежнему, что a означает домовладельцев, b богачей, c купцов, d старообрядцев.

Разлагая функцию M на продуценты в отношении одного класса a, мы получим след. задачу о двух посылках: 1=a+M(0)=a+bd, 1=a₁+M(1)=a₁+c₁+bd, которым можно придать, например, такой вид: a=a+(b₁+d₁), c=c(a₁+bd). След. посылками одной из задач на взятую тему могли бы быть следующие две: 1) все небогатые горожане, а так же все не старообрядцы были в числе домовладельцев; 2) купцы принадлежали частью к не домовладельцам, частью же к богатым старообрядцам.

Развертывая туже функцию M на продуценты двух классов b и d, получим след. систему 4-х равенств: 1=b+d+M(a,0,c,0)=b+d+ac₁;
1=b+d₁+M(a,0,c,1)=b+d₁+ac₁; 1=b₁+d+M(a,1,c,0)=b₁+d+ac₁; 1=b₁+d₁+M(a,1,c,1)=b₁+d₁+1=1.

Здесь последнее равенство есть тождество. Остаются 3 посылки, из которых первую мы решим относительно b, вторую относительно d₁, третью относительно ac₁. Получим:

b=b+(d+ac₁)1=b+d₁(a₁+c)

d₁=d₁+(b+ac₁)₁=d₁+b₁(a₁+c)

ac₁=ac₁+(b₁+d)₁=ac₁+bd₁.

След. одою из задач на заданную тему могла бы служить следующие задача о 3-х посылках: 1) между богачами встречались такие не старообрядцы, которые или были купцами, или не были домовладельцами; 2) все небогатые не домовладельцы и все небогатые купцы не были старообрядцами; и 3) богатые не старообрядцы относились к домовладельцам из купцов.

Развертывание той же функции M на продуценты классов b,c,d доставит нам 8 посылок:

1=b+c+d+M(a,0,0,0)=a+b+c+d

1 =b+c+d₁+M(a,0,0,1)=a+b+c+d₁

1=b+c₁+d+M(a,0, 1 ,0)=b+c₁+d+0=b+c₁+d

1=b+c₁+d₁+M(a,0,1, 1 )=b+c₁+d₁+0=b+c₁+d₁

1=b₁+c+d+M(a,1,0,0)=a+b₁+c+d

1=b₁+c+d₁+M(a, 1 ,0, 1 )=b₁+c+d₁+ 1 =1

1=b₁+c₁+d+M(a, 1 ,1,0)=b₁+c₁+d+0=b₁+c₁+d

1 =b₁+c₁+d₁+M(a, 1 ,1, 1 )=b₁+c₁+d₁+1= 1.

Здесь две посылки суть тождества. Остаются только 6 посылок, которые и можно рассматривать, как 6 посылок новой задачи на туже тему 1= ac₁+bd. Но эти же 6 посылок можно скомбинировать, например, в след. задачу о 3-х посылках

1= (a+b+c+d)(b+c₁+d₁)=b+(a+c+d)(c₁+d₁)=b+ac₁+ad₁+cd₁+c₁d; 1=(a+b+c+d₁)(a+b₁+c+d)=a+c+(b+d₁)(b₁+d)=a+c+bd+b₁d₁; 1 =(b+c₁+d)(b₁+c₁d)=c₁+d.

Определяя из 1-й посылки b₁, из второй a+c, и придавая 3-й нулевую форму, будем иметь:

b₁=b₁(ac₁+ad₁+cd₁+c₁d)

a+c=(a+c)+(b₁+d₁)(b+d)=a+c+bd₁+b₁d

0=cd₁,

т.е. та самая задача, которую мы уже имели в § 5.

Желая, наконец, построить максимальную систему элементарных посылок, мы должны собственно вычислить 2⁴, т.е. 16 символов. Однако, гораздо проще можно получить максимальную систему из предыдущей системы о шести посылках, сделав в ней переход от неэлементарных посылок к посылкам элементарным. Дело в том, что в этой системе все посылки суть продуценты, частью 4-го, частью же 3-го порядка. Эти последние и надо привести к 4-му порядку. Вообще для перехода от продуцента данного порядка к продуцентам следующего, на 1 высшего, порядка с успехом можно пользоваться следующей предлагаемой нами формулой:

g=(g+p)(g+p₁).

На этом основании

b+c₁+d=(a+b+c₁+d)(a₁+b+c₁+d)

b+c₁+d₁=(a+b+c₁+d₁)(a₁+b+c₁+d₁)

b₁+c₁+d=(a+b₁+c₁+d)(a₁+b₁+c₁+d).

След. посылками максимальной системы в данном случае будут служить следующие девять:

1=a+b+c+d

1=a+b+c+d₁

1=a+b₁+c+d

1=a+b+c₁+d

1=a++c₁+d₁

1=a+b₁+c₁+d

1=a₁+b+c₁+d

1=a₁=b+c₁+d₁

1=a₁+b₁+c₁+d.

§ 12. Упращение общего приёма

Только что изложенный способ построения максимальной системы в единичной форме может быть подвергнут упрощению. А именно, нет надобности вычислять все 2ⁿ символов, а достаточно ограничиться только теми из них, которые сводятся на 0. Здесь мы имеем дело с задачей, противоположной той, которую мы решали в § 4, но только гораздо более сложной. А именно, нам предстоит, имея какую угодно функцию n классов f(a,b,c,d…), и замещая в ней все классы: одни единицами, другие нулями, определить все результаты, равные нулю, и притом так, чтобы не делать этих замещений на самом деле. Чтобы сказанными замещениями превратить функцию f в 0, необходимо обратить в 0 сразу все ее члены, для чего достаточно заместить нулем по одному множителю каждого члена. След., чтобы исчерпать все символы, сводящиеся на 0, надо перебрать всевозможные комбинации случаев одновременного обращения в 0 сказанными замещениями по одному множителю каждого члена данной функции. Нельзя не сознаться, что применение этого правила должно быть сложным и затруднительным, а потому будет гораздо удобнее составить по правилу § 4 все символы, сводящиеся на 1, после чего все прочие символы и будут те, которые сводятся на 0.

Для примера возьмем 3-э задачу § 16 первой части (о девицах данного бала). Полная логическая единица этой задачи есть:

1=ab₁cd₁+a₁bc₁d=M(a,b,c,d).

Пусть требуется найти элементарные логические единицы, минуя непосредственное вычисление символов.

В данном случае n= 4, и оба члена функции M элементарны, т.е. 4-го измерения. А потому каждому из этих членов отвечает всего один символ, сводящийся на 1. Таким образом, в данной задаче есть только два символа, сводящихся на 1, именно M(1,0,1,0) и M(0,1,0,1), а потому только два элементарных продуцента: a₁+b+c₁+d и a+b₁+c+d₁ не входят в разложение функции M на множители. Остальные 14 продуцентов доставят нам следующую систему 14-ти элементарных единиц: 1=a+b+c+d; 1=a+b+c+d₁; 1=a+b+c₁+d; 1=a+b+c₁+d₁; 1=a+b₁+c+d; 1=a+b₁+c₁+d; 1=a+b₁+c₁+d₁; 1=a₁+b+c+d; 1=a₁+b+c+d₁; 1=a₁+b+c₁+d₁; 1=a₁+b₁+c+d; 1=a₁+b₁+c+d₁; 1=a₁+b₁+c₁+d; 1=a₁+b₁+c₁+d₁.

§ 13. Происхождения функций из логического «ничто»

Разложение какой угодно функции f на множители можно рассматривать не только как средство для получения различных систем, отвечающих равенству f=1, но и как указание происхождения этой функции из различных универсальных нулей. Формулы определения различных универсальных единиц суть:

1=a+a₁

1=ab+ab₁+a₁b₁

1=abc+abc₁+ab₁c+ab₁c₁+a₁bc+a₁bc₁+a₁b₁c+a₁b₁c₁.

И т.е. Отрицания этих формул, т.е. формулы:

0=aa₁

0=(a+b)(a+b₁)(a₁+b)(a₁+b₁)

0=(a+b+c)(a+b+c₁)(a+b₁+c)(a+b₁+c₁)(a₁+b+c)(a₁+b+c₁)(a₁+b₁+ +c)(a₁+b₁+c₁)

и т.д., должны представлять всевозможные универсальные нули. Легко понять, что, например, разложение

f(a.b.c.d…)=[a+b+f(0.0.c.d…)][a+b₁+f(0.1.c.d…)][a₁+b+f(1.0.c.d…)][a₁+b₁+f(1.1.c.d…)]

определяет нам, какими функциями надо увеличить продуценты универсального нуля двух классов a и b для того, чтобы их произведение могло доставить данную функцию f(a.b.c.d…). При полном разложении данной функции f по всем классам, все эти функции, прикладываемые к продуцентам, сводятся частью на 1, частью же на 0, а потому полное разложение представляет нам указание, какие продуценты универсального нуля всех данных n классов должны быть перемножены для получения дано функции.

Сопоставляя этот результат с тем, который был нами получен в § 9 этой главы, можем высказать следующее. Оба полные разложения одной и той же функции f(a,b,c,d…), зависящей от n классов a,b,c,d…, на элементарные конституанты и продуценты суть:

f(a,b,c,d…)=f(1,1,1,1…)abcd…+f(0,1,1,1…)a₁bcd…+…+ +f(0,0,0,0…)a₁b₁c₁d₁….

f(a,b,c,d…)=[a+b+c+d+…+f(0,0,0,0,…)][a₁+b+c+d+…+ +f(1,0,0,0…0]…[a₁+b₁+c₁+d₁+…+f(1,1,1,1…)].

Обе эти формулы суть схематические, состоящие 1-ая из 2ⁿ членов, 2-я из 2ⁿ множителей. В обеих мы видим одни и те же 2ⁿ символов, из которых одни должны сводиться на 1, другие на 0. Предполагая, что число первых есть m, а следов. число вторых есть 2ⁿ ─m, мы получим функцию f в двух видах: 1) в виде простой суммы m элементарных конституантов и 2) в виде простого произведения 2ⁿ ─m элементарных продуцентов. (Эти продуценты суть отрицания всех конституантов, не входящих в данную функцию). Таково происхождение всякой данной функции n классов: 1) из универсальной единицы этих классов и 2) из универсального их нуля. И так, всевозможные функции n классов могут быть выведены: 1) из универсальной их системы через отбрасывание одного или нескольких элементов ее членов и 2) из универсально их нуля через отбрасывание одно или нескольких из элементарных его множителей.

§ 14. Общие свойства продуцентов

Приведенные в предыдущем § формулы определения тождественных (универсальных) нулей одного, двух, трех и т.д. классов позволяют нам установить следующие два основные свойства продуцентов одного и того же порядка, составленных из одних и тех же классов. А именно: 1) произведение всех таких продуцентов всегда =0 и 2) сумма двух (и более) из них всегда =1. В силу этих свойств, продуценты одного и того же порядка, составлены из одних и тех же классов, не зависят друг от друга и не выражаются одни через другие. Наоборот, продуценты различных порядков выражаются одни через другие, а именно, мы видели, что для замещения какого-либо продуцента парою продуцентов порядка на единицу высшего может служить формула a=(a+b)(a+b₁).

§ 15. Сопоставление конституантов и продуцентов и простыми классами

Интересно сделать следующее сопоставление элементарных конституантов и продуцентов, т.е. элементов объема с элементами содержания речи.

Элементы объёма суть такие подклассы мира речи, которые характеризуются максимальным числом признаков (т.е. присутствием или отсутствием каждого из данных n признаков) и минимальным числом принадлежащих к ним предметов. Наоборот, элементы содержания суть самые объемистые подклассы мира речи, но за то они отличаются минимальным количеством, характеризующим из признаков. Объем элементов содержания столь велик, что не только сумма двух из них, взятых наудачу, но даже сумма всякого отдельного продуцента с прилично избранным одним конституанто[38], вполне исчерпывает весь мир речи. Наоборот, в элементах объема объем столь незначителен, что в двух из них, изображенных на удачу, нет никаких общих предметов мира речи. С другой стороны, элементарные продуценты столь объемисты, что произведение их в каком угодно числе, меньшем 2ⁿ, всегда отлично от нуля, и только все они, будучи перемножены, дают в произведении 0. Наоборот, элементарные конституанты столь незначительны по объему, что только все они будут соединены вместе, в состоянии образовать весь мир речи.

Что элементарные конституанты и продуценты действительно элементарны, т.е. неразложимы, можно убедиться из того, что применение всех известных нам формул разложения на суммы и произведения к элементу объема или содержания не в состоянии доставить нам ничего другого, кроме этого самого элемента.

Следует добавить, что элементы остаются таковыми только в пределах данного мира речи и что они могут сделаться разложимыми при переходе к другому миру речи. Такая относительность этого понятия вполне натуральна и нисколько не мешает представлению об абсолютных логических элементах, за какие могли бы быть приняты элементы такого мира речи, который обнимал бы собою все мыслимое, сущее или возможное.

Прибавим еще, что простые классы a,b,c,d… и их отрицания отнюдь не суть элементы какой-либо задачи об этих классах. Простыми же мы их называем по следующим причинам: 1) символическое их обозначение проще, чем у всех прочих классов задачи; 2) они одни суть первоначальные классы задачи, все же прочие производятся от них; наконец 3) в пределах задачи возможная их зависимость от каких-либо других классов a’,b’,c’,…, не рассматриваемых задачей, должна быть оставляема без внимания. Можно еще прибавить, что простые классы a,b,c,d… и их отрицания a₁,b₁,c₁,d₁… представляют единственное место сопротивления противоположных понятий конституанта и продуцента, а именно все простые классы суть в одно и тоже время и конституанты и продуценты 1-го порядка.

§ 16. Пример анализа обоих способов происхождения функций

Приведём пример обоих полных разложений (т.е. на элементарные конституанты и продуценты) одной и той же функции и покажем, как она может быть выведена из универсальных единицы и нуля.

Пусть дана функция трех классов:

ab₁+bc₁+ca₁,

и допустим для определенности, что a,b,c суть некоторые классы из мира существ чувствующих, т.е. пусть напр. a есть существо любящее, b верящее, c надеющееся. Отрицания a₁,b₁,c₁ будут обнимать прочие чувствующие существа, напр. наделенные корыстью, доверием, завистью и т.д. объем этих отрицаний буде шире или уже, смотря потому, в связи с каким логическим миром речи должна быть рассматриваема взятая нами функция. Пока эта функция рассматривается изолированно, т.е. не входит в состав какого-либо равенства, нет данных для определения размеров логического мира речи, и отрицания a₁,b₁,c₁ должны быть считаемы неопределенными, а след. всевозможные их конституанты и продуценты равно возможными. Другими словами, данная изолированная функция может быть относима только к универсальному миру речи существ чувствующих, а также к универсальному нулю речи, что и достигается обоими её полными разложениями. Прибавим, что данная функция означает такой класс чувствующих существ, куда относятся: 1) существа любящие, но не верящие, 2) верящие, но не надеющиеся, и 3) надеющиеся, но не любящие. В данном случае, т.е. при 3 классах a,b,c, универсальный мир чувствующих существ есть:

Дата добавления: 2015-07-08