О способах решения логических равенств. 2 страница

Не приступая пока к пояснению приема Джевонса на примере, заметим с сожалением, что напрасно Джевонс пишет свой алфавит в виде бессвязной серии членов. Если, по смыслу идей Джевонса: все альтернативы алфавита своей совокупностью обнимают весь мир вещей, в том его виде, какой он имел бы при отсутствии всяких отношений между классами a,b,c…., то, набрав для изображения мира какой-нибудь символ, например 1, мы вместо бессвязного логического алфавита получаем в случае 3-х классов тождественное равенство:

1=abc+abc₁+ab₁c+ab₁c₁+a₁bc+a₁bc₁+a₁b₁c+a₁b₁c₁.

которое также можно еще сокращеннее представить под формой

1=(a+a₁)(b+b₁)(c+c₁).

Вот, так сказать, ключ к алфавиту Джевонса. Пользуясь им, при n классах, вместо 2ⁿ сложных и бессвязных членов, достаточно написать формулу, состоящую из n очень простых множителей, именно:

1=(a+a₁)(b+b₁)(c+c₁)(d+d₁)….

Которую потом, если нужно, останется только развернуть. Заметив еще, что когда речь идет об определении одного только класса, например a, то нет надобности иметь дело с полным алфавитом

1=(a+a₁)(b+b₁)c+c₁)….,

а достаточно обратиться к той его части, которая зависит от a, т.е. к тождеству

a=a(b+b₁)(c+c₁)(d+d₁)….

Вследствие этого труд сравнения альтернатив с посылками сократится ровно на половину. Для определения одного b достаточно упрощать формулу:

b+b(a+a₁)(c+c₁(d+d₁)….

и т.д. И только в том случае, когда надо определить последовательно несколько классов, может быть выгоднее иметь дело с самим алфавитом.

Еще одно замечание. Джевонс вовсе не касается вопроса об определении классов в связи с исключением некоторых из них. Но так как этот вопрос особенно важен в логике, то еще раз нельзя не выразить сожаления о том, что Джевонс не воспользовался и здесь формулами Буля, вполне пригодными для этой цели. Как мы уже показали в конце Введения, эти формулы таковы. Для всякого равенства

0=N(a.b.c.d…)

результат исключения одного класса, например a, есть

0=N(1.b.c.d…)N(0.b.c.d…);

результат исключения двух классов, например a и b, есть:

0=N(1.1.c.d…)N(1.0.c.d…)N(0.1.c.d…)N(0.0.c.d…)…

и т.д. (Когда исключается m классов, формула состоит из 2^m множителей). Применяя эти формулы к занимающему нас вопросу, мы должны поступать так. Пусть, например, надо определить a, помимо b, через прочие классы c,d … В таком случае изо всех посылок, придав им предварительно нулевую форму, надо исключить класс b. Приравняв нулю каждый член каждого из этих результатов исключения, мы и получим все те члены, которые должны быть выброшены из алфавита, не содержащего b, т.е. из формулы:

1=(a+a₁)(c+c₁)(d+d₁)….,

или, еще проще, из тождества, определяющего a, помимо b, т.е. формулы:

a=a(c+c₁)(d+d₁)…

В общем случае, еслибы надо былоопределить a независимо от нескольких классов, то все эти классы надо было бы исключить на самом деле из посылок и на основании полученных равенств упрощать или алфавит, не содержащий эти классы, или же формулу определения a, независящую от тех же классов.

Вот необходимые дополнения к методу Джевонса. Однако, даже при этих дополнениях, метод Джевонса представляет: 1) теоретический промах, в силу которого получаемые решения не суть полные, и 2) практическое неудобство, состоящее в необходимости на самом деле выбрасывать нули из логического алфавита. Предлагаемый нами ниже собственный способ направлен к устранению обоих этих недостатков. А теперь приложим распространенный нами метод Джевонса к тому самому примеру, который мы уже решали по способу Буля.

Здесь всего одна посылка о 4 классах, именно: x=y(z+ω), где x существа ответственные, y разумные, z обладающие свободою действия, ω добровольно пожертвованные этой свободой. (Гласит эта посылка следующее: ответственны те разумные существа, которые или свободны, или сами отказались от свободы). Независимо от этой посылки, весь мир существ содержит 16 альтернатив, которые получаются от развертывания формулы: 1=(x+x₁)(y+y₁)(z+z₁)(ω+ω₁). Пусть, как и прежде, идет речь об определении y через все прочие классы. В таком случае, независимо от условий задачи, для определения y должно служить тождество: y=y(x+₁)(z+z₁)(ω+ω₁), а чтобы получить определение y, отвечающее данной задаче, надо упростить это тождество на основании данной посылки. Нулевая форма посылки есть: 0=x₁[y(z+ω)]+x[y(z+ω)]₁=x₁yz+x₁yω+x(y₁+ +z₁ω₁)=x₁yz+x₁yω+xy₁+z₁ω₁x. Поэтому все несовместимые с посылкой классы существ суть: x₁yz=0, x₁yω=0, xy₁=0, xz₁ω₁=0. При определении y нам надо иметь в виду только те из этих классов, которые сами зависят от y, т.е. прежде всего классы: 0=x₁yz и 0=x₁yω, и кроме того ту часть класса xz₁ω₁=0,которая содержится в y, т.е. класс xyz₁ω₁=0. Умножая 1-ое из этих условий сначала на ω, а потом на ω₁, а 2-ое сначала на z и потом на z₁, получим вместо них след. 4 альтернативы, равные нулю, именно: 0=x₁yzω, 0=x₁yzω₁, 0=x₁yzω и 0=x₁yz₁ω. (Здесь 1-ая и 3-я альтернативы суть одна и та же). К ним надо прибавить условие 0=xyz₁ω₁. И так из общего выражения для y: y=y(x+x₁)(z+z₁)(ω+ +ω₁)=y(xzω+xzω₁+xz₁ω+xz₁ω₁+x₁zω+x₁zω₁+x₁z₁ω+x₁z₁ω₁) надо выбросить 4 альтернативы, несовместные с посылкой. Останется:

y=y(xzω+xzω₁+xz₁ω+x₁z₁ω₁).

Это и есть искомое определение y. Если бы мы захотели иметь дело прямо с логическим алфавитом, то надо было бы развернуть формулу: 1=(x+x₁)(y+y₁)(z+z₁)(ω+ω₁) и упрощать ее на основании всей совокупности условий: x₁yz=0, x₁yω=0, xy₁=0, xz₁ω₁=0. В силу 1-го из этих условий невозможны две альтернативы: x₁yzω и x₁yzω₁; в силу 2-го невозможны тоже две альтернативы: x₁yzω и x₁yz₁ω; в силу 3-го невозможны 4 альтернативы: x₁yzω, xy₁zω₁, xy₁z₁ω, xy₁z₁ω₁; наконец в силу 4-го невозможны еще 2 альтернативы: xyz₁ω₁, xy₁z₁ω₁. Некоторые из написанных здесь альтернатив суть одни и те же. Все различные альтернативы, противоречащие задаче, будут: 0=x₁yzω, 0=x₁yzω₁, 0=x₁yz₁ω, 0=x₁yzω₁, 0=xy₁zω₁, 0=xy₁z₁ω, 0=xy₁z₁ω₁, 0=xyz₁ω₁. Остальные 8 альтернатив должны быть возможны, и упрощенный алфавит принимает вид: 1=xyzω+ xyzω₁+ xyz₁ω+ x₁yz₁ω₁+ x₁y₁zω+ x₁y₁zω₁+ x₁y₁z₁ω+ x₁y₁z₁ω₁. Отсюда выражение для y получится, если взять только сумму тех членов, которые зависят от букв y, именно: y=y(xzω+xzω₁+xz₁ω+x₁z₁ω₁), т.е. тоже, что и выше. Заметим, что сравнение альтернатив с посылкой мы делали гораздо проще, чем сам Джевонс, а именно пользуясь нулевой формой посылки.

Задача, которую мы сейчас решали, взята нами у Буля, причем мы сохранили принятые им обозначения классов и дали посылке то же самое символическое изображение, какое построено Булем. Однако это изображение, при наших взглядах на сложение в логике, не вполне соответствует посылке. У Буля сумма z+ω всегда означает, что z и ω дизъюнктны, т.е. zω=0, аслед. также z=zω₁ и ω=ωz₁. Не делая никаких ограничений сложения, мы должны или присоединить к исходной посылке добавочную посылку 0=zω, или же соответственно видоизменить полученное определение y (т.е. попросту выбросить из него 1-й член), после чего получается для y формула, весьма близкая к результату, доставленному способом Буля (см. § 1).

§ 4. Способ Шредера и его оценка

Переходим к способу Шредера. Способ Шредера заключается в следующем установленной и доказанной им теореме:

Равенство

(A) 0=ax+a₁y,

где x и y не зависят ни от a, ни от a₁, тождественно с парой равенств

(B) 0=xy,a=x₁(u+y),

Где u неопределенный класс[20].

Желая применить эту теорему, вообразив ряд посылок A=B, A’=B’, A’’=B’’,…. Превращая из в нулевые формы: 0=AB₁+A₁B, 0=A’B’₁+A’₁B’, и т.д., и взяв сумму итогов, после чего получается одно равенство 0=N(a.b.c.d….), тождественное с данной системой посылок; наконец разлагая функцию N относительно a по формуле, построенной Булем, будем иметь: 0=aN(1.b.c.d…)+a₁N(0.b.c.d…), откуда, на основании упомянутой теоремы Шредера, и получим след. определение a:

a=N₁(1.b.c.d…)[u+N0.b.c.d…)],

где u есть неопределенный класс.

В применении к предыдущей задаче с посылкой х=y(z+ω), нулевая форма которой есть 0=N(x.y_.z.ω)= x₁yz+x₁yω + xy₁ + xz₁ω₁, мы будем иметь: N(x.y_.z.ω)=(x+y₁ + z₁)(x+y₁+ω₁)(x₁+y) (x₁+z+ω).

Для упрощения этого выражения воспользуемся следующим очевидным правилом сокращенного умножения (k+p)(k+q)=k+kp+kq+pq=k+pq. Будем иметь: N₁(x.y_.z.ω)= (x+y₁+z₁)(x₁+yz+yω)= x₁y₁ + x₁z₁ω₁+xyz + xyω.
Следовательно, N₁(x.1.z.ω)=x₁z₁ω₁+xz+xω. Кроме того, N(x.0.z.ω)=x+xz₁ω₁=x. Формула определения y будет: y=(x₁z₁ω₁+ z+xω)(u+x)=xz+xω+ux₁z₁ω₁. В силу той поправки, которая указана в предыдущем §, ω есть в сущности ωz₁ и z есть zω₁, почему эта формула принимает вид:

y=xzω₁+xz₁ω+ux₁z₁ω₁,

т.е. делается сходной с теми, которые были построены нами по способам Буля и Джевонса.

Когда определяется какой-нибудь класс через все, кроме некоторых, эти последние надо исключить из основной формулы 0=N(a.b.c.d…), и результат исключения решать в упомянутой теореме Шредера совершенно так же, как выше мы решали первоначальное равенство[21].

Что касается оценки способа Шредера, то без сомнения, способ этот вполне достигает цели и имеет тем большее значение, что представляет первое вполне общее независящее ни от каких гипотез решение вопроса. Тем не менее, нельзя не признать за способом Шредера довольно крупного недостатка, это именно: формальность и искусственность решения. Формула Шредера не выведена, как бы следовало, из анализа существа дела, а искусственно подогнана и оставляет место для сомнения в том, не заключается ли в ней лишних членов. В своем месте нами будет доказано, что решение, получаемое Джевонсом, отвечает только одному первому члену формулы Шредера, а потому следует ожидать, что во всех тех случаях, когда решение Джевонса есть истинное, 2-й член формулы Шредера должен представляться совершенно лишним. – Кроме того, логическое значение членов своей формулы Шредер оставил без разъяснения. – Далее, предложив пару формул

0=xy, 0=x₁(u+y),

заменяющих равенство 0=ax+a₁y, он не объяснил, следует или нет (и как именно) брать в расчет 1-ю из этих формул, при определении a по второй.

Надо заметить также, что сам Шредер делает крайне неправильное толкование значение найденной им формулы.

Построив формулу a=x₁(u+y), где u есть собственно неопределенный класс, и не видя никаких условий к определению u, Шредер начинает считать этот класс произвольным, допускающим всевозможные значения от 0 до 1, и объявляет, что его формула, при изменении u от 0 до 1, доставляет всевозможные корни a уравнения 0=ax+a₁y. Здесь, можно сказать, каждое слово есть ошибка, а причина всех этих ошибок есть недостаточное внимание к различию между понятиями неопределенного и произвольного. Этого мало. Можно доказать, что вовсе нет даже надобности считать u неопределенным классом, потому что можно доказать, что u=a. В этом отношении мы вполне разделяем мнение Джевонса, по которому во всех тех случаях, когда класс m содержится в классе n, нет надобности писать, подобно Булю и Шредеру, равенство m=vn, где v неопределенный класс; достаточно писать так: m=mn. Например, фразу «Москва есть город» нет надобности передавать непременно так: «Москва есть некоторый город»: вполне достаточно будет сказать: «Москва есть тот город, которые есть Москва». Сказать же, будто «Москва есть ка кой угодн о город», будет положительной нелепостью.

Если бы Шредер не употреблял неопределенных классов, а брал их подлинное значение, то доказательство его фомулы сделалось бы крайне простым. Именно, так как равенство 0=ax+a₁y тождественно с парой равенств 0=ax, 0=a₁y, из которых первое показывает, что a содержится в x₁, т.е. a=ax₁, в 2-ое, что y содержится в a, т.е. a=a+y, то легко заключить, что a=ax₁=(a+y)x₁.

Это и есть формула Шредера, в которой u заменено ее подлинным значением, т.е. через a. После этого делается вполне очевидным, что ни о различных значениях u, ни всевозможных корнях a уравнения 0=ax+a₁y, не может быть и речи[22].

Заметим кстати, что если бы Шредер не употреблял неопределенных классов, то он мог бы для известной группы случаев построить сокращенное правило превращения посылок в нулевую форму. Общее правило таково, что для посылки A=B нулевая форма есть 0=AB₁+A₁B. Вообразим случай когда C не равно D, а содержится в нем. В таком случае Шредер пишет C=vD, где v неопределенный класс и, применяя сюда общее правило, получает для нулевой формы этого равенства 0=C(v₁+D)+C₁vD. А затем он требует исключения v, для чего надо в последней формуле сделать сначала v=1, а потом v=0, результаты перемножить и произведение прировнять к нулю. А если бы он написал про C=CD, то через применение общего правила получил бы 0=C(C₁+D₁)+C₁CD=CD₁, т.е. 0=CD₁. Результат крайне простой. След. в рассматриваемом случае операция превращения посылки в нулевую форму не только не сложнее, чем в общем случае, как это выходит у Шредера, а много проще. Правило, заключающееся в только что построенной нами формуле, на столько важно, что полезно его заметить.

Чтобы покончить с изложением способа Шредера, прибавим, что своей формуле определения a Шредер придает следующие 4 формулы:

a=x₁(u+y), a=ux₁+y,

a=x₁(y+uy₁), a=ux₁y₁+y,

не сопровождая их оценкою относительного их достоинства. Такую оценку мы предлагаем от себя ниже. А теперь заметим, что 4 варианта, предложенные Шредером для определения a, в сущности сводятся только на два, потому что два выражения a+b и a+a₁b нельзя считать различными. На этом основании, 3-ю и 4-ую из предложенных им формул совсем надо отбросить, потому что 3-ья получается из 1-ой заменою суммы y+u суммою y+y₁u, а 4-ая из второй заменою суммы y+ux₁ суммою y+y₁ux₁. Отбрасывая сказанные две формулы, мы получаем всего два варианта формулы Шредера, а именно:

a=x₁(u+y), a=ux₁+y,

которые надо считать различными, потому что они выводятся один из другого только при помощи отношения 0=xy, или y=yx₁. Понятно, что класс u должен быть замещен в этих формулах классом a.

§ 5. Усовершенствование первой части способа Джевонса

Вот мы рассмотрели 3 способа решения систем логических равенств. Из них способов Буля, как основанный на гипотезе и аналогии, мы оставляем в стороне, признавая его вне сферы нашей компетенции. Что же касается прочих двух способов, Джевонса и Шредера, то они представляют две противоположные крайности: в чем хорош и силен один из них, в том плох и слаб другой. Сила и обаяние способа Джевонса заключается в отчетливой постановке вопроса, в стремлении получить ответ путем исследования сущности задачи. Его слабость – полное отсутствие математического прием решения, примитивности и сложность избранного пути. Наоборот, сила, а в тоже время и слабость способа Шредера заключается в слишком формальном, слишком общем, слишком математичном решении задачи. У него речь идет об одной внешней оболочке дела, сущность которого совершенно игнорируется; кроме того, формула Шредера не представляет гарантий относительно отсутствия в них лишних членов.

В виду такого, не совсем удовлетворенного, состояния учения о способах решения логических равенств, я счел необходимым сделать попытку построения нового способа, который не уступал бы способу Джевонса в отчетливости получаемого решения, - и так как предлагаемый мною способ есть простое видоизменение ни способа Джевонса, ни способа Шредера, и выражается совершенно новою формулой, то я и позволяю себе назвать его собственным способом. Мы изложим свой способ так, как он был нами получен, т.е. путем критики и последовательных усовершенствований способа Джевонса.

В той постановке задачи, которая принадлежит Джевонсу, надо различить две отдельные части: 1) исключение из логического алфавита всех альтернатив, несогласных с посылками задачи, и 2) определении из упрощенного таким образом алфавита какого-нибудь из данных классов.

Что касается первой из этих операций, то, как мы видели, Джевонс даже вовсе не подозревал возможности построения теоретических для нее правил и занимался изобретением особых механизмов для ее выполнения. В противоположность этому убеждению Джевонса, мною выше указано, что такие теоретические правила существуют и что они заключаются в превращении посылок в нулевые формы. Стоит только превратить каждую посылку в нулевую форму и затем каждый член каждой посылки порознь приравнять нулю, и мы будем иметь данные для непосредственного построения всех альтернатив, подлежащих исключению из алфавита. Но постановку рассматриваемой нами первой части способа Джевонса мне удалось усовершенствовать, задавшись вопросом: нельзя ли прямо, т.е. минуя непосредственное исключение невозможных альтернатив, строить выражение для упрощенного алфавита? Полученный мною ответ на этот вопрос был таков: вполне и всегда возможно; и хотя у Буля и Шредера нет формул, отвечающих этой цели, но построить необходимую формулу оказалось делом не трудным. В самом деле, если посылка A=B тождественно заменяется равенством 0=AB₁+A₁B; если цель посылок A=B, A’=B’, A”=B”,…. тождественна с системой 0=AB₁+A₁B, 0=A’B’₁+A’₁B’, и т.д., а эта последняя с одним равенством

0=(AB₁+A₁B)+(A’B’₁+A’₁B’)+)A”B”₁+A”₁B”)+…..,

должно быть также тождественно с первоначальной цепью посылок. Это и есть искомая формула. В ней левая часть есть 1, т.е. логический алфавит, а правая часть, будучи отрицанием суммы всех противоречащих посылкам альтернатив, должна представлять собрание всех альтернатив, совместных с посылками; другими словами, это и есть тот самый упрощенный алфавит, которого искал Джвонс. Таким образом, сложная задача, поставленная Джевонсом и обязывающая нас к масс кропотливого труда, решается небольшою выкладкой.

Только что построенную нами основную формулу можно получить несколько иначе. Каждая посылка A=B тождественна не только с нулевою своею формою 0=AB₁+A₁B, но и с единичною 1=AB+A₁B₁. И вот если все данные посылки мы переведем к единичной форме и полученные равенства перемножим, то и получим непосредственно помянутую основную формулу. А что эта формула тождественно заменяет данную систему посылок, явствует из аксиомы по которой всякое произведение может равняться единице только тогда, когда каждый множитель порознь = 1.

Здесь будет уместно сделать маленькое отступление с целью установить некоторые термины, без которых дальнейшее изложение сделалось бы затруднительным. Мы знаем что все логическое содержание каждой посылки A=B вполне исчерпывается равенством 0=AB₁+A₁B. Это значит, что все альтернативы алфавита, противоречащие этой посылке, должны быть подклассами функции AB₁+A₁B. На этом основании мы и предлагаем называть эту функцию полным логическим нулём посылки A=B, при чем каждый член этой функции взятый порознь, будет одним из частных логических нулей той же посылки. Понятно, что сумма полных логических нулей всех посылок может быть названа полным логическим нулем данной задачи, и что каждый из частных нулей каждой посылки служит также частным нулем всей задачи. С другой стороны, зная, что та же посылка A=B тождественна также с равенством 1=AB+A₁B₁, мы предлагаем назвать функцию AB+A₁B₁ полной логической единицей этой посылки. В случае, если бы эта функция распадалась на известные множители (в своем месте мы увидим, что каждая функция разбивается на простейшие множители), и каждый из этих множителей порознь должен быть =1, т.е. представляется частной логической единицей той же посылки. Понятно, что произведение полных логических единиц всех посылок следует называть полной логической единицей той же посылки. Понятно, что произведение полных логических единиц всех посылок следует называть полной логической единицей задачи, и что каждая частная единица каждой посылки служит частной единицей всей задачи. Для краткости, мы будем иногда опускать характеристику «полный», когда будет идти речь о полных логических единицах и нулях отдельных посылок или целых задач. В случае же, если нуль или единица суть частные, то это всегда будет определенно высказано.

Полезно установить также и сокращенные символические изображения для предложенных нами терминов. Полный логический нуль задачи, т.е. функцию

(AB₁+A₁B)+(A’B’₁+A’₁B’)+….…,

отныне мы будем изображать символом N(a,b,c,d,…), где a,b,c,d,… суть те классы, о которых идет речь в данных посылках. Функцию же

(AB+A₁B₁)(A’B’+A’₁B’₁)…….,

т.е. полную логическую единицу задачи, мы будем изображать символом M(a,b,c,d,…). Буквы N и M избраны нами на том основании, что ими начинаются латинские названия nihil и mundus (ничто и все). Понятно, что для каждой задачи функции N и M будут особые, но всегда (в пределах каждой задачи) они служат отрицаниями друг друга.

Правила для непосредственного вычисления функции N и M крайне просты. А именно, для вычисления N надо: 1) всякую посылку A=B заменить равенством 0=A₁B+AB₁; если же посылка имеет форму C=CD, то равенством 0=CD₁, и 2) сложить итоги; а для вычисления M надо: 1) каждую посылку A=B заменить равенством 1=AB+A₁B₁, если же она имеет форму C=CD, то равенством 1=C₁+D, и 2) перемножить результаты.

Подводя итог, можем сказать, что каждая задача, состоящая из ряда посылок A=B,A’=B’,…., можем быть символически выражена, как равенством 0=N, так и равенством 1=M.

Продолжая начатое отступление несколько далее, заметим, что, кроме логических единиц и нулей (полных или частных, для отдельных посылок или целых задач), встречаются еще тождественные единицы и нули. А именно, таковы должны быть признаваемы всякие функции, которые сводятся на 1 или 0 на основании одних законов поглощения, т.е. независимо от каких бы то ни было посылок. Тождественные единицы (и нули) тоже могут быть или частными, т.е. так сказать случайные (например, m+m₁= 1,+m₁+p=qq₁=0,rqq_`1=0 и пр.), или же полные, и эти последние мы предлагаем назвать универсальными. Для n классов a,b,c,d,… универсальная 1 состоит всегда из n множителей, именно она есть 1=(a+a₁)(b+b₁)(c+c₁)(d+d₁)….; универсальный же нуль этих классов, состоящий из n слагаемых будет 0=aa₁+bb₁+cc₁+dd₁+…. Универсальная единица (и нуль) n классов одна и та же для всех задач об этих классах, она не зависит ни от числа, ни от содержимого посылок. Это есть общий мир речи всех задач о данных n классах. Понятно, что такой общий мир речи должен обнимать собою все подклассы, характеризуемые присутствием или отсутствием каждого термина, т.е. здесь предполагаются равновозможными всяческие отношения между данными терминами. По отношению же к каждой данной логической задаче о тех же n классах, универсальная единица этих классов должна быть замещена полной логической единицей этой задачи, т.е. тем же миром речи, но разбитым на категории, сообразно с теми действительными а не только возможными отношениями между терминами, которые нам указаны в посылках данной задачи.

И так мы предлагаем: 1) заменить довольно странный термин Джевонса «логический алфавит» термином мир речи, т.е. единица; 2) первоначальный алфавит называть универсальной единицей данных классов и 3) упрощенный посылками алфавит называть полной логической единицей данной задачи. Наконец, что касается «альтернатив», то для них мы имеем превосходный термин «конституант», предложенный еще Булем.

Возвращаясь к прерванной нити изложения, приведем пример, показывающий, что действительно полная логическая единица задачи есть упрощенный посылками алфавит Джевонса. Пусть имеет задачу о двух посылках

a=a(bc₁+b₁c), b=ab,

где a члены совета, b владельцы акций, c владельцы облигаций[23]. Первая посылка гласит, что совет состоял из владельцев одних акций и владельцев одних облигаций, а вторая, что все владельцы акций былчленами совета. Логический алфавит классов a,b,c есть:

1=abc+abc₁+ab₁c+ab₁c₁+a₁bc+a₁bc₁+a₁b₁c+a₁b₁c₁.

Так как в данном случае обе посылки имеют форму C=CD, то их логические нули найдутся по сокращенному правилу 0=CD₁, т.е. будут соответственно:

0=a(bc₁+b₁c)=a(b₁+c)(b+c₁)=a(bc+b₁c₁); 0=ba₁.

След. в данном случае все невозможные альтернативы будут

Дата добавления: 2015-07-08