Введение.

В виду мало распространенного знакомства с математической логикой, я счел необходимым составить настоящее введение, в котором содержится в кратком виде все существенно необходимое для понимания главного предмета моих сообщений[7].

Пусть a, b, c, … означают классы предметов мысли или речи. Слово «предмет» мы употребляем в самом обширном смысле, относя сюда не только материальные предметы, но и предметы отвлеченные, а также явления, случаи, понятия, суждения и проч. и проч. Единственное ограничение, которому мы подчиняем символы a, b, c …, состоит в том, чтобы в пределах одной и той же задачи они относились к одному и тому же миру предметов речи. Отдельные классы a, b, c… мы будем представлять себе в смысле некоторых объемов, на которые разбивается данный мир речи, объемов, составленных из предметов, характеризуемых известными качествами A, B, C … Число отдельных предметов, входящих в каждый из этих объемов, для нас безразлично, потому что мы будем обращать внимание только на взаимные отношения между этими объемами. Величайший из объёмов, класс мир (предметов речи), мы будем символически изображать знаком единицы, т.е. 1, желая этим символом выразить, что все прочие классы a, b, c, … суть только доли этой великой единицы речи. Изучение отношений между такими дробями речи и составляет собственно предмет математической логики[8].

Начнем с объяснения связи между каждым данным классом a и универсальным классом речи 1. С этою целью заметим, что если мы выделим из единицы объем, характеризуемый качеством A, т.е. класс a, то получим дополнительный объем, составленный из предметов, не имеющих качества A. Этот дополнительный объем мы будем называть классом не-a, или отрицанием a, и изображать символически тою же буквою a, но с присоединением к ней внизу черточки, т.е. знаком a₁. Для других классов b₁, c₁, d₁ … Действие, необходимое для перехода от каждого данного класса a к дополнительному классу a₁, мы будем называть действия отрицания a, или также отрицанием a. (По смыслу речи, всегда легко отличить, что разумеется в каждом данном случае под словом отрицание: действие, или получаемый результат). Как видим, сущность этого действия состоит в том, чтобы вместо класса a взять объем, получаемый из 1 после удаления из нее всех предметов, обладающих качеством A. Выражая эту мысль в точности, Буль изображал отрицание a помощью разности 1-a, и действие, необходимое для перехода от a к a₁, называл вычитанием a из 1[9].

Из предыдущего видим, что отрицание и вычитание суть действия, одинаково пригодные для перехода от a к a₁, и что от нашего выбора зависит остановиться на том тот другом из них. Если Буль для этой цели предпочитал вычитание, то Джевонс и Шредер, наоборот, остановили свой выбор на отрицании. Со своей стороны, мы примыкаем к последним и полагаем, что главнейшая причина неудовлетворительности логической системы Буля заключается в неудачном выборе действия для перехода от классов к их отрицаниям.

Преимущество отрицания перед вычитанием видно уже из того, что для отрицания логических функций Шредером установлены весьма простые и удобные правила, следуя которым мы действительно оперируем над этими функциями, тогда как вычитание есть действие, которое, при рассуждении над буквенными символами, только обозначается, выражаясь в простой перемене знака у вычитаемого.

Для выражения отношения между каждыми данным классом a и 1 Буль имел равенство: a₁=1-a, из которого перенесением a в другую часть он получал: a+a₁=1.

Отказываясь от действия вычитания, мы должны остановиться только на втором из этой пары равенств, и, чтобы дать себе отчет в основаниях этого равенства, условимся в следующих обозначениях. Будем называть классы равными между собою, коль скоро объемы их равны, т.е. предметы того и другого класса суть одни и те же. Кроме того, условимся называть сложением классов такую операцию, когда предметы этих классов соединяются в новый класс, содержащий в себе все предметы, входящие в эти классы. Объем такого нового класса равен сумме объемов первоначальных классов. После этого, равенство: a+a₁=1, указывающее связь между a и 1, делается для нас вполне понятным и логически необходимым.

Можно построить ещё одно основное равенство логики, направленное к той же цели. Условимся называть умножением классов такую операцию, когда все предметы, общие данным классам, выделяются из них с целью образования нового класса. Объем такого класса вообще менее объема каждого из первоначальных классов. Пользуясь операцией умножения, зависимость между a и 1 можно выразить следующим простым равенством: a=a.1. Эта формула указывает происхождение каждого данного класса a из класса мир. Наоборот, формула a+a₁=1 указывает путь для обратного перехода к классу мир от класса a.

Кроме указанных 3-х действий: сложения, умножения и отрицания классов, никаких дальнейших действий мы рассматривать не будем.

Имея, какие угодно классы a, b и их отрицания a₁, b₁, мы можем составить ряд более объемистых классов (в сравнении с первоначальными): a+b, a+b₁, a₁+b, a₁+b₁, а также ряд менее объемистых классов: ab, ab₁, a₁b, a₁b₁.

Здесь, например, класс a₁+b обнимает все предметы, не имеющие качества A, и, кроме того, все предметы, обладающие качеством B. С другой стороны, класс например ab₁ обнимает все предметы, которые, обладая качеством A, не имеют качества B.

Из того понятия о сложении и умножении классов, которое установлено нами выше, вытекает, что

a+b=b+a; a+a=a; a+a+a+…+a=a;

1+a=1; a+ab=a; ab=ba; a.a=a; a.a….a=a;

1.a=a; a(a+b)=a; a(b+c)=ab+ac;

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.

Чтобы оценить значение этих формул, скажем коротко, что все правила Алгебры для сложения и умножения количеств имеют место и в Логике, но что к ним Логика присоединяет два новых упрощающих правила: 1) правило a+ab=a, в котором для b=1 содержится правило a+a=a, позволяющее обходиться в Логике без употребления коэффициентов, и 2) правило a(a+b)=a, из которого для b=0 получается правило a.a=a, устраняющее необходимость употребления экспонентов(заметим, что класс 0 есть отрицание класса 1, т.е. класс без предметов, без объема, или класс, состоящий из несуществующих и невозможных предметов). Последние два правила выражают следующие два основных закона логики, которые мы предлагаем называть законами поглощения: 1) закон поглощения подклассов классами при сложении и 2) закон обратного поглощения классов подклассами при умножении.

Из понятий сложения и умножения, установленных выше, вытекают также следующие две простые истины: 1) сумма может быть равно 0 только тогда, когда каждое слагаемое порознь=0, и 2) произведение может быть =1 только тогда, когда каждый сомножитель порознь =1.

Легко убедиться, что сложение и умножение в логике суть действия в известном смысле взаимно-обратные. В самом деле, имея сумму a+b, достаточно умножить ее на a, чтобы получить класс a, и на b, чтобы получить класс b. Наоборот, имея произведение ab, достаточно прибавить к нему a, чтобы получить класс a, и b, чтобы получить b.

Для действия отрицания обратное действие состоит в повторении этого действия, потому что, отрицая a₁, мы приходим к a.

Что касается алгебраического приведения подобных членов, то ему отвечает в логике упрощение формул на основании установленных выше законов поглощения.

Остается установить правила для отрицания производных классов, т.е. сумм, произведений и других функций начальных классов a, b, c,… Для этой цели можно воспользоваться следующими двумя очевидными отношениями: m+m₁=1, mm₁=0, устанавливающими зависимость между каким угодно классом m и его отрицанием m₁. (2-е из этих отношений выражает только, что классы m и m₁ не имеют никаких общих предметов). Пользуясь этими отношениями, легко доказать, что

(a+b)₁=a₁b₁ и (ab)₁=a₁+b₁,

т.е. отрицание суммы = равно произведению отрицаний слагаемых, отрицание произведения = сумме отрицания сомножителей[10]. И легко обобщить эти правила на случай какого угодно числа слагаемых или сомножителей.

Имея ряд классов a, b, c,… и совершая над ними в каком бы то ни было порядке операции сложения, умножения и отрицания, мы будем получать новые классы, которые вообще будем называть функциями первоначальных классов. Таким образом, например, символ F(a, b, c, d,…) вообще представляет результат известной последовательности логических операций (сложения, умножения и отрицания) над классами a, b, c, d … и их отрицаниями. Имея функцию данных классов a, b, c,…, например φ(a, b, c…), и обращая внимание только на то что она произошла, между прочим, и от класса a, мы можем считать ее функцией a и означать символически например через f(a) [11]. По отношению к подобного рода функциям (т.е. в сущности ко всяким функциям) Буль установил следующее важное предложение:

f(a)=af(1)+a₁f(0)

Это правило гласит, что если в данной функции заменим a через 1 (и a₁ через 0), а потом, наоборот, a через 0 (и a₁ через 1), то, умножая первый результат на а, а второй на a₁, и складывая итоги, всегда получим данную функцию[12]. Такова формула разложения к. у. функции в отношении одного класса a. На этом основании, разлагая какую угодно функцию φ(a, b, c, d,…) последовательно в отношении классов a, b, c,…, получим след. ряд ее разложений:

φ(a.b.c.d…)=aφ(1.b.c.d…) + a₁φ(0.b.c.d…)

=bφ(a.1.c.d…) + b₁φ(a.0.c.d…)

=cφ(a.b.1.d…) + c₁φ(a.b.0.d…)

и т.д. Развертывая в каком-либо из этих разложений, напр. В первом, функции φ(1.b.c.d…) и φ(0 b.c.d…) в отношении класса b, мы получим разложение первоначальной функции φ(a.b.c.d…) по двум классам a и b, именно:

φ(a.b.c.d…)=abφ(1.1.c.d…)+ab₁φ(1.0.c.d…)+

+a₁bφ(0.1.c.d…)+a₁b₁φ(0.0.c.d…)

и т.д. Вообще, при разложении относительно p классов, получается 2^p членов, каждый из которых состоит из двух множителей: 1) из произведения p данных классов или их отрицаний, т.е. из так называемого у Буля конституанта p-того порядка, и 2) из символа, получаемого из данной функции через замещение тех же p классов одних единицами, других нулями.

Надо заметить, что все эти разложения суть тождества, т.е. если выполнить в их правых частях все действия, и результаты упростить на основании законов поглощения, то получаются выражения, ничем не отличающиеся от левых частей. Следует прибавить, что если функция φ(a, b, c,…) разложена по всем классам, то каждый из символов φ(1.1.1…), φ(0.1.1…) и пр. сводится или на 0, или на 1. Это очевидно само собой.

Шредер доказал, что если функция разложена по конституантам, то ее отрицание получается через замещение в ней коэффициентов при конституантах их отрицаниями[13]. Например, для функции ma+na₁ отрицание будет: m₁a+n₁a₁; для функции pab+qab₁+ra₁b+sa₁b₁ отрицание будет: p₁ab+q₁ab₁+

+r₁a₁b+s₁a₁b₁.

Правило это применимо только к полным разложениям. Если же разложение не полное, то все недостающее члены надо прибавить с коэффициентами = 0 и потом уже применять правило Шредера. Например, разложение mab+nab₁, приведенное к виду mab+nab₁+0a₁b+0a₁b₁, имеет отрицанием: m₁ab+n₁ab₁+a₁b+a₁b₁. А если бы мы не сделали помянутого предварительно преобразования суммы mab+nab₁, то, для получения с отрицания, надо было бы следовать общим правилам отрицания сумм и произведений. Следуя им, мы получили бы (mab+nab₁)₁=[a(mb+nb₁)]₁=a₁+(m₁+b₁)(n₁+b)=

=a₁+m₁n₁+n₁b₁+bm₁, и легко убедиться в тождественности этого результата с полученным выше.

Имея ряд классов a, b, c, d…, всегда можно любой из них тождественно выразить через все или некоторые из прочих. В этом нас убеждаются след. очевидные тождества:

a=a.1=a(b+b₁)=ab+ab₁

a=a.1.1=a(b+b₁)(c+c₁)=abc+abc₁+ab₁c+ab₁c₁

и т. д. На этом основании всякий класс a можно изобразить в виде функции каких угодно других классов b, c, d,… В том же основании сумму a+b можно представить или подвидом.

a+b=(ab+ab₁)+(ab+a₁b)=ab+ab₁+a₁b=a+a₁b,

или под видом b+b₁a.

Наконец, чтобы закончить изложение основных правил логики, укажем на следующее, установленное Будем, очевидное правило сокращенного умножения для известного рода случаев:

(p+q)(p+r)=pp+pr+pq+qr=p+qr.

Переходим к логическим равенствам [14]. Если два класса состоят из одних и тех же предметов, т.е. имеют равные объемы и могут отличаться только формой, то они равны между собой. Соединяя такие классы знаком =, получаем логическое равенство. Классы могут быть равны между собою или тождественно, или логически. Логическое равенство есть тождество во всех тех случаях, когда одна его часть может быть сведена на другую помощью преобразований, основанных на законах поглощения. Например, равенство: a=ab+ab₁ есть простое тождество. Если же одна часть равенства не может быть тождественно сведена на другую помощью законов поглощения, то такое равенство есть так сказать логическое уравнение, т.е. условие для определения известного рода отношений между входящими в него классами. Впрочем, мы воздержимся от слова «уравнение» и будем называть такие равенства не тождественными логическими равенствами или же просто равенствами, в противоположность тождествам.

Равенства (и тождества) можно между собою складывать и перемножать, и будут получаться верные равенства. Это очевидно само собой. Кроме того, отрицание обеих частей равенства всегда представляет новое равенство, не только верное, но и вполне равнозначное или тождественное с первоначальным. Это тоже очевидно.

Решить не тождественное логическое равенство (тождества не могут быть решаемы) значит вывести из него все или некоторые его логические следствия. Решения равенства будет полное или частное, смотря по тому, все или только некоторые его следствия нами найдены. Если найдено полное решение и представлено в виде одного равенства, то понятно, что это равенство будет только новою формою первоначального равенства, т.е. оба такие равенства тождественными между собою по своему логическому значению (т.е. касательно объема содержащихся в них сведении об отношениях между данными классами). Отсюда видим, что вопрос о нахождении новой его формы, т.е. о тождественном замещении его некоторым другим равенством. Чтобы судить о том, тождественны между собою, или нет, данные равенства, мы дадим особый критерий, а именно условимся признавать два равенства тождественными между собою, коль скоро первое есть следствие второго и, обратно, второе есть следствие первого. И вообще, две системы логических равенств мы будем считать между собою тождественными, коль скоро все равенства первой системы могут быть выведены из равенств второй (и обратно) при помощи известных нам логических операций (сложения, умножения, отрицания). Ниже мы найдем следующий ещё более удобный критерий: если логические единицы двух систем (или равенств) тождественны между собою или могут быть сведены одна на другую на основании законов поглощения, то такие системы (или равенства) тождественны между собою. Полезно прибавить, что ни полные, ни частные решения логического равенства вовсе не обладают свойством, будучи в него подставленными, обращать его в тождество.

Равенство может быть решаемо или относительно любого из входящих в него классов a,b,c…a₁,b₁,c_1.., или же относительно какой угодно функции и всех или некоторых из этих классов. Решить равенство сполна относя только класса a (или функции u) значит тождественно заменить его новым равенством, в левой части которого мы имели бы только a (или u), а в правой некоторую функцию данных классов a,b,c,d… Другими словами, решать равенство относительно класса a (или функции u) это значит искать определения этого класса (или функции). Когда найдено полное решение, то из него легко будет получить всевозможные частные. Независимо от полного решения, всякое решение мы будем называть частным, коль скоро оно имеет ту же форму a ( или u)=f(a,b,s,d…) и может быть выведено из первоначального равенства, но обратный переход от этого равенства к первоначальному считается невозможным. Другими словами, частное решение воспроизводит только часть логического содержания первоначального равенства.

Булю удалось установить, правда, в очень запутанной форме, некоторые истины, упростить которые, Шредер построил следующее простое правило для тождественного превращения логического равенства в новую форму, а именно: всякое логическое равенство A=B тождественно с равенством

0=AB₁+A₁B,

где A₁ есть отрицание A, а B₁ отрицание B[15]. Это правило представляет краеугольный камень всей территории решения логических равенств. Шредеру было известно также, что отрицание последнего равенства, т.е. равенство

1=AB+A₁B₁

Также тождественно с первоначальным равенством A=B. Для краткости и для отличия одной от другой, мы предлагаем называть эти две формы равенства A=B соответственно нулевою и единичною. Однако Шредер не пользуется второю, т.е. единичною формою равенств, и построил свой способ решения равенства на рассматривании исключительно нулевых их форм. Наоборот, в том способе, который я предлагаю от себя в настоящеё статье, я придерживаюсь исключительно единичных форм равенств.

А затем мне удалось сделать дальнейший шаг в рассматриваемом вопросе, шаг, после которого вопрос о тождественных формах всякого равенства можно считать исчерпанным. Именно, я нашел, что всякое равенство A=B, или что то же:

1=M(a,b,c,d….)

тождественно с равенством

a=aM(1.b.c….)+a₁M₁(0.b.c.d….),

а также с равенством

u=gu+hu₁,

где u какая угодно функция данных классов, g и h известным образом получаются из функции u и M.

Доселе мы рассматривали отдельные логические равенства. Если же имеем систему логических равенств, то ее всегда можно тождественно заменить одним равенством. Для этой цели достаточно обратить внимание на следующие две аксиомы, указанные Шредером: 1) сумма может быть равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое порознь= 0, и 2) произведение может быть= 1 только тогда, когда каждый сомножитель порознь= 1. На этом основании всякое равенство

0=P+Q+R+….

тождественно с системой

0=P, 0=Q, 0=R, ….,

и всякое равенство

1=K.L.M…

тождественно с системой

1=K, 1=L, 1=M,…

Если так, то всякая данная система

A=B, A’=B’, A’’=B’’, …

тождественна, во 1-х, с системой:

0=AB₁+A₁B, 0=A’B’₁+A’₁B’,….

а следовательно и с равенством

0=N(a.b.c.d….),

где N(a.b.c.d….)=(AB₁+A₁B)+(A’B’₁+A’₁B’)+…;

во 2-х, с системой,

1=AB+A₁B₁, 1=A’B’+A’₁B’₁,….

и следовательно с равенством

1=M(a.b.c.d….),

где M(a.b.c.d…)=(AB+A₁B₁)(A’B;+A’₁B’₁)….;

и наконец, в 3-х, с каждым из тех отдельных равенств, которыми я замещаю равенство 1=M(a.b.c.d….).

С неполным решением равенств тесно связан вопрос об исключении классов. А именно, может быть предъявлено следующее требование: имея данное равенство (или, что тоже, данную систему равенств), определить класс a (или функцию u) через все данные классы, кроме таких-то. (Понятно, что такое решение может быть только неполным). Все последние классы необходимо исключить. Правило исключения классов дано ещё Булем и принято Шредером без изменений. По этому правилу, для всякого равенства

0=N(a.b.c.d….),

результат исключений p классов содержит 2^P множителей, известным образом составленных; напр., результат исключения классов a и b есть

0=N(1.1.c.d….)N(1.0.c.d….)N(0.1.c.d….)N(0.0.c.d….).

И т.д.[16] Применение этого правила крайне затруднительно. Мне удалось построить следующее в высшей степени простое правило: для исключения из равенства

1=M(a.b.c.d….)

данных p классов, достаточно заменить в этом равенстве все исключаемые классы, а также их отрицания, единицами.

Чтобы покончить настоящее введение, скажу несколько слов о превращении посылок логических задач из словесной формы предложений в символическую форму логических равенств. Пусть дано предложение, в котором идет речь о предметах, характеризуемых присутствием или отсутствием качеств A,B,C,…, т.е. о классах a,b,c…. Или их отрицаниях. Разбивая предложение на две части: подлежащее (со всеми относящимися к нему частями предложения) и сказуемое (со всем тем, что к нему относится), надо из данных классов построить, руководясь смыслом предложения, с помощью операций сложения, умножения и отрицания, две функции, одна из которых изображала бы подлежащее, другая сказуемое. Пусть эти функции будут S и P. Затем надо обратить внимание на то, тождественны ли функции между собою в силу данного предложения, или же одна из них содержится в другой. В первом случае мы прямо получаем равенство S=P. Во втором случае для построения равенства достаточно взять во внимание, что содержимая функция, например S, должна быть тождественна с частью содержащей функции, т.е. vP, и равенство будет S=vP. (Если, наоборот, P содержится в S, то получается равенство P=vS). Спрашивается, как следует смотреть на класс v, фигурирующий в равенствах второй категории? Буль и Шредер полагают, что коль скоро S содержится в P, то S есть некоторая часть P, и потому v есть неопределенный логический символ. Наоборот, Джевонс утверждает, что, содержась в P, S представляет вполне определенную часть P, именно ту самую, которая есть S, т.е. равенства второй категории Джевонс пишет так: S=S.P (или, в обратном случае, P=P.S).по многим причинам, мы присоединяемся к мнению Джевонса. Выгоды, доставляемые таким способом изображения равенств, в случаях, когда S содержится в P, или обратно, обязательно будут указаны нами ниже. – Этим я и заканчиваю свое введение.

В заключение посвящу несколько слов литературе математической логики. Мне известны следующие 5 сочинений, относящихся к этому предмету:

1) G. Boole. An investigation of the lows thought. London. 1854. Первое и единственное капитальное сочинение по математической логике, отличающееся богатством содержания, оригинальностью предмета и смелостью исследования. В сочинении этом намечен и в известном смысле даже решен ряд вопросов, для вполне научной разработки которых все ещё нет твердых оснований. Благодаря Шредеру и Джевонсу, в математической логике идет речь пока только об одном из таких вопросов, теории умозаключений. Постановка и научная разработка прочих - дело будущего. С другой стороны, в этом же сочинении Буля мы видим, к сожалению, запутанность основных понятий, несовершенство обозначений и произвольность приемов. Недостатки эти столь велики, что сочинение Буля, заключающее в себе все данные построения новой отрасли знаний, произвело в науке впечатление блестящего курьеза и долгое время оставалось, так сказать, без результатов.

2) А. Macfarlane. Principles of the algebra of logic. Edinburgh, 1879. Сочинение это, не смотря на его значительный объем представляет только комментарии к Булю и, собственно говоря, не имеет особого значения в логике.

3) R. Gpassmann. Die Begriffslehre oder Logik. Stettin, 1872. Здесь очень недурно изложена, так сказать, азбука математических обозначений в логике, но и только; о логических равенствах и их решении нет и помину.

4) E. Schröder. Der Operationskreis des Logik-kalkuls. Leipzig, 1877. Сочинение это представляет первое строго научное изложение основ математической логики, отличается простотою обозначений и общностью способа решения логических равенств. Его недостаток – отвлеченность изложения и неуловимость логического значения предлагаемых здесь формальных приемов.

Наконец, 5) С. Джевонс. Основы науки. Перевод с английского. Спб. 1881 г. (Первое издание на английском языке относится к 1873 г.). В этом превосходном сочинении по формальной логике есть отдел, имеющий прямое отношение к логике математической, это именно теория умозаключений, облегченная до известных пределов в математическую форму. Предлагаемый автором прием для определения классов из посылок замечателен отчетливостью и определенностью идеи. К сожалению, прием этот вполне примитивен и подавляет читателя массою выкладок, потребных для достижения самых простых заключений.

Дата добавления: 2015-07-08