О способах решения логических равенств. 6 страница

В заключение вопроса об исключении классов заметим, что если какой-нибудь из результатов исключения сводится на тождество 1=1, то это надо понимать не в том смысле, будто между данными классами, кроме исключенных, нет никакого отношения. Совсем наоборот, это укажет только на отсутствие определенного отношения, т.е. какого-либо ограничения всевозможных отношений, а след. при этом все альтернативы составленные из помянутых классов, равно возможны. Пусть, напр., имеем равенство: 1=M(a.b.c.)=b(a+c₁)+b₁(a₁+c). Исключая a, получаем тождество: 1=M(a.b.c)=b(1+c₁)+b₁(1+c)=b.1+b₁.1=b+ +b₁=1. Это значит, что, независимо от a, класс b содержится частью в классе c, частью же в классе c₁, и обратно часть c встречается в классе b, другая часть в классе b₁.

§ 13. Определение из посылок, каких угодно функций по приёму Шредера и нашему приём. Всевозможные формы каждого отдельного равенства

Доселе мы занимались определением простых классов (и их отрицаний) из равенства 1=M. Переходим к определению функций из того же равенства, или из отвечающего ему равенства 0=N.

Шредер решает этот вопрос след. образом. Пусть из равенства 0=N(a.b.c.d…) надо определить какую-нибудь данную функцию напр. F(b.d) через a и c. Все прочие классы c,f,g,h… он прежде всего исключает. Получается отношение 0=π(a.b.c.d). Потом функцию F он называет одной буквой u и равенство u=F, приведенное к нулевой форме, складывает с равенством 0=π. Получается равенство: 0=φ(u.a.b.c.d). Из этого равенства, откуда надо определить u через a и c, Шредер исключат лишние классы b и d. Получает равенство: 0=θ(u.a.c), и отсюда по своей формуле для функции u находит: u=θ(1)[u+θ₁(0)].

В этом способе, помимо го сложностей, есть следующий очень сомнительный пункт. А именно, где ручательство, что исключая из равенства 0=φ(u.a.b.c.d) классы b и d, функциею которых служит класс u, мы не исключим сведений, существенных для определений u? Мы знаем только правило полного исключения классов. Здесь же Шредер пользуется им для неполного исключения b и d, потому что при этом он не исключает u, служащего функцией этих классов. В виду недоразумения, возбуждающего таким приемом, я должен был искать другого приема, свободного от помянутого недостатка, и пришел к построение следующего способа определения функцией, представляющего (как и быть должно) обобщение способа, найденного мною для определения простых классов.

В основание этого способа я кладу следующую теорему, которую удалось мне построить. Имея две какие угодно функции u и v, мы всегда может выразить одну из них посредством другой и ее отрицания. Желая, напр., выразить u через v и v₁, составляем тождество

u=uv+uv₁=v(uv)+v₁(uv₁)=Av+Bv₁.

Это и есть искомая формула. В ней коэффициенты A и B суть произведения развертываемой функции u на ту функцию v₁ в отношении которой делается разложение, и на ее отрицание V₁. Обратно, для разложения v в отношении u, мы имели бы: v=Cu+Du₁=(vu)u+(vu₁)u₁.

Найденная формула и есть (как это мы увидим ниже) обобщение известной формулы Буля для разложения какой угодно функции F(a.b.c…) вотношении простого класса a, т.е. формулы: F(a.b.c…)=aF(1.b.c…)+a₁F(0.b.c…).

Для примера разложить функцию u=ab+cd в отношении функции v=ac+bd, и обратно. В данном случае v₁=(a₁+c₁)(b₁+d₁)= =a₁b₁+a₁d₁+b₁c₁+c₁d₁. Следовательно, uv=(ab+cd)(ac+bd)=abc+ +abd+acd+bcd; uv₁=(ab+cd)(a₁b₁+a₁d₁+b₁c₁+c₁d₁)=a₁b₁cd+abc₁d₁. Разложение функции u будет: u=ab+cd=v[abc+abd+acd+bcd]+ +v₁[a₁b₁cd+abc₁d₁]. Для обратного разложения мы получим: u₁=a₁c₁+a₁d₁+b₁c₁+b₁d₁, uc=abc+acd+abd+bcd, vu₁=ab₁cd₁+a₁bc₁d и след. v=ac+bd=u[abc+acd+abd+bcd]+u₁[ab₁cd₁+a₁bc₁d]. Что эти разложения верны, легко убедиться, развернув скобки, после чего получились бы простые тождества u=u и v=v.

При употреблении формулы u=Av+Bv₁ может случится, что A (вычисленное чрез умножение u на v) имеет вид A’v. В таком случае Av=A’v, и предыдущая формула принимает более простой вид: u=A’v+Bv₁. Точно также, может случиться, что B (т.е. произведение uv₁) имеет вид B’v₁. Тогда вместо нашей формулы мы имели бы: u=Av+B’v₁. Наконец, если бы одновременно выполнялись условия: A=gv, B=hv₁, то мы имели бы формулу: u=dv+hv₁. В этом последнем виде мы и будем употреблять нашу формулу, т.е. для вычисления g и h мы должны составить произведения uv и uv₁ и опустить из первого произведения множитель v, а из второго множитель v₁, в случае если бы оказалось, что первое произведение, будучи выполнено на самом деле, принимает вид gv, а второе вид hv₁.

Что указанные случаи возможны, в этом нас убедят следующие 3 примера.

1) Пусть надо разложить функцию u=ab+cd в отношении функции v=ad. В данном случае: v₁=a₁+d₁; A=uv=(ab+cd)ad=abd+ +acd=ad(b+c)=v(b+c); g=b+c; B=(ab+cd)(a₁+d₁=a₁cd+abd₁; h=B, и след. U=ab+cd=v(b+c)+v₁(a₁cd+abd₁). В этом примере A имеет вид gv. 2) Пусть теперь u=ab+cd, v=b₁+c₁. В этом случае: A=uv=abc₁+ +b₁cd; g=A; B=uv₁=abc+bcd=bc(a+d)=v₁(a+d); h=a+d, и разложение будет: u=v[abc₁+b₁cd]+v₁(a+d). В этом примере B имеет вид hv₁. 3) Пусть наконец u=ab+cd, v=c. В этом случае: A=uv=abc+cd=v(ab+d); g=ab+d; B=abc₁=v₁(ab); h=ab, и разложение будет: u=ab+cd=v(ab+d)+v₁(ab). В этом случае A имеет вид gv и B имеет вид hv₁. Интересно, что в этом же случае v есть простой класс c и формула Буля доставляет нам: ab+cd=c(ab+d)+c₁(ab), т.е. совершенно тоже, что и у нас, потому что v=c [32].

Возвращаясь к общему случаю, можем сказать, что в нашей формуле u=dv+hv₁ коэффициент g есть или самое произведение uv, или отличается от него отброшенным множителем v; точно также коэффициент h таков, что или само h=uv₁, или же hv₁=uv₁.

Желая воспользоваться этой формулой для определения функции v из равенства 1=M, заменяющего все посылки задачи, мы положим в ней u=M, и получим:

1=M=dv+hv₁,

где g или равно Mv, или отличается от него множителем v, и h или равно Mv₁, или отличается от него множитель v₁. А затем утверждаем, что полное определение функции v заключается как в паре формул:

v=gv, v₁=hv₁,

так и в одной формуле

v=gv+h₁v₁.

В самом деле, в единичной форме упомянутая пара формул будет такова: 1=v₁+g, 1=v+h. След. одно равенство, тождественное с этой парой, есть: 1=(v₁+g)(v+h)=gv+hv₁+gh=gv+ +hv₁+ghv+ghv₁=gv+hv₁=M. Точно также единичная форма формулы v=gv+h₁v₁ есть 1=v(gv+h₁v₁)+v₁(g₁v+hv₁)=gv+hv₁=M. Предложение доказано сполна. Как видим, получается указание на две функции: на функцию g, в которой содержится данная функция v, и на функцию h₁, которую она сама в себе содержит. Кроме того, воспроизводятся все сведения задачи. А потому действительно определение v двумя формулами: v=gv, v=v+h₁, или одной формулой: v=gv+h₁v₁ должно быть признано полным. Имея же полное определение, можно перейти от него к точному: v=g(v+h₁), а также к определению, аналогичному с определением простых классов у Джевонса v=gv.

Надо еще заметить следующее. Бывают случаи, когда B=uv₁=Mv₁ не имеет непосредственно вида B=hv₁, но отрицание этой функции, т.е. B₁ имеет вид h₁+v. В таких случаях вместо h₁+v должно быть взято h₁ в формулах: v=gv, v=v+h₁, v=gv+h₁v₁, т.е. за функцию, содержащуюся в v, должно быть принимаемо не v+h₁, но только h₁.

Так определяется каждая данная функция v из равенства 1=M посредством всех данных классов, входящих в функцию M. А если бы некоторые из классов надо было исключить, то можно поступить двояко: 1) или исключить эти классы, замещая их и их отрицания единицами, из равенства 1=M, и из результата такого исключения выводить определение v совершенно также, как прежде мы его выводили из первоначального равенства 1=M, и из результата такого исключения выводит определение v совершенно также, как и прежде мы его выводили из первоначального равенства 1=M; или 2) сначала определить сполна v всеми классами посредством пары формул: v=gv, v₁=v₁h, и потом уже отсюда исключить все лишние классы, замещая эти классы и их отрицания единицами.

Понятно, что в формуле полного (схематического) определения: v=gv+h₁v₁ второй член есть логический нуль (потому что логически v не может выражаться через v₁), т.е. эта формула (что мы уже и без того знаем) тождественна с парой формул: v=gv, h₁v₁=0 и след. v=v+h₁. но и в этой паре формул есть логический нуль, именно: h₁ должно логически содержаться в g, т.е. h₁g₁ есть логический нуль, и подлинно значение h₁ есть h₁g₁. После устранения этого логического нуля мы получаем пару формул точного определения: v=gv, v=v+h₁g. Легко убедиться, что эта пара вполне тождественна с одной формулой: v=g(v+h₁), аналогичный известной формуле Шредера для определения простых классов. Наконец, и в точном определении v есть логический нуль; именно h₁g, содержась в v, не может содержаться в v₁, след. h₁gv₁=0, и подлинное значение члена h₁g есть h₁gv. Исключая этот логический нуль из точного определения, мы получаем формулу: v=gv+gvh₁=gv, аналогичную с определением простых классов по Джевонсу.

Формула v=gv+h₁v₁, будучи тождественной с формулой 1=M=gv+hv₁, представляет только одну из форм этой последней. Прежде мы видели, что каждая система посылок об n классах: a,b,c,d…, может быть тождественно заменена одним равенством в каждой из следующих 2n+2 форм: 1) единичная и нулевая формы, 2) n форм полного (схематического) определения каждого из классов a,b,c,d… и 3) n форм полного определения отрицаний a₁,b₁,c₁,d₁,… мы не прибавляем p формул определения отрицаний помянутых функций, потому что отрицания функций суть тоже функции и уже содержатся в числе p всех возможных функций.

Надо заметить, что число различных логических функций, какие только могут быть составлены из данных n классов, т.е. упомянутое выше число p, далеко не бесконечно велико, а напротив всегда ограничено. Так, из одного класса a нельзя составить ни одной функции, кроме его антипода a₁, и это по той простой причине, что a+a=a и a.a=a. От двух классов a и b всевозможные двухклассные функции суть: a+b, a+b, a₁+b, a₁+b₁, ab, ab₁, a₁b и a₁b₁, т.е. только 8 функций. И т.д.

Несколько выше доказано, что формула: v=gv+h₁v₁ есть только обобщении нашей же формулы: a=aM(1)+a₁M₁(0), служащей для определения простых классов. Если так, то, действительно, изложенный здесь способ определения функции представляет только обобщение нашего способа определения простых классов.

Добавим, что указанное нами мнемоническое правило для перехода от формулы 1=M=aM(1)+a₁M(0) к формуле a=aM(1)+ +a₁M₁(0) (и обратно) сохраняется в полной силе и для перехода от формулы 1=M=gv+hv₁ к формуле v=gv+h₁v₁ (и обратно).

Понятно, что и при определении функции должен иметь место вариант общего метода, основанный на определении их из каждой посылки порознь и на соединении ряда полученных определений в одно определение по приему, вполне аналогичному с тем, который был указан нами в § 11.

Обратимся к примеру. Пусть дано равенство:

1=M(a.b.c.d)=ab+cd

и требуется определить из него функцию v=ad. В этом случае: A=vM=(ab+cd)ad=abd+acd=ad(b+c); g=b+c; B=c₁M=(a₁+d₁)(ab+cd)= =abd₁+a₁cd; B₁=(a₁+b₁+d)(a+c₁+d₁)=ad+(ab₁+a₁c₁+b₁c₁+c₁d+a₁d₁+ +b₁d₁); h₁=ab₁+a₁c₁+b₁c₁+c₁d+a₁d₁+b₁d₁. Для полного определения ad будем иметь пару формул: v=ad=v(b+c); v=ad=v+(ab₁+a₁c₁+ +b₁c₁+c₁d+a₁d₁+b₁d₁), или одну формулу:

v=ad=v(b+c)+v₁(ab₁+a₁c₁+b₁c₁+c₁d+a₁d₁+b₁d₁).

Функция, содержащая v, есть b+c; функция, содержащаяся в v, есть: ab₁+a₁c₁+b₁c₁+c₁d+a₁d₁+b₁d₁. Описание функции v этими признаками вполне воспроизводить все сведения задачи. Однако, логическая многие члены функции h₁ суть нули, потому что они не могут тождественно содержаться в функции v, а логически должны в ней содержаться. Для устранения этих нулей (остаются еще другие нули), мы должны вместо h₁ взять gh₁. В данном случае: gh₁=(b+c)(ab₁+a₁c₁+b₁c₁+c₁d+a₁d₁+b₁d₁)= =a₁bc₁+bc₁d+a₁bd₁+ab₁c+a₁cd₁+b₁cd₁. Точное определение функции ad, доставляемое формулою: v=g(v+h₁)=gh₁+vg, будем:

V=ad=[a₁bc₁+bc₁d+a₁bd₁+ab₁c+a₁cd₁+b₁cd₁]+v(b+c).

А именно, к функции v=ad относятся: 1) все, что в пределах задачи входит в состав функции, заключенной в последней формуле в прямые скобки, и 2) часть суммы (и+с). Вот то определение, которое в данном случае должен был бы получить Шредер. (Подобное же определение он получал бы и во всех прочих случаях, если бы он поставил правильнее вопрос об исключении классов при определении функций. Впрочем, мы здесь не имеем в виду оценивать степень точности получаемого Шредером определения функций помощью предложного им способа).

Но и в последней формуле есть также логические нули, потому что только та часть функции gh, отлична от нуля, которая может тождественно входить в функцию v=ad. След. для освобождения от этих нулей (последних) надо заменить gh₁ через gh₁ad. Будем иметь: vgh₁=ad[a₁bc₁+bc₁d+a₁bd₁+ab₁c+a₁cd₁+ +b₁cd₁]=abc₁d+ab₁cd=ad(bc₁+b₁c). таким образом, функция, содержащаяся в ad, освобожденной от всяких логических нулей, будет:

V=ad=v(b+c)+v₁(bc₁+b₁c)v=v(b+c).

Вот определение, которое мог бы получить Джевонс, если бы он когда-нибудь надумал определять функции и сумел бы последовательно развить свои взгляды до такой степени, чтобы получить средство для решения такого, сравнительно сложно, вопроса.

§ 14. Общее сравнения нашего способа со способами Шредера и Джевонса. Перечень предложенных нами приёмов и правил

В предыдущих §§ вопрос о решении логических равенств разработан нами до мельчайших подробностей. Так как на этом собственно и оканчивается теоретическая сторона первой части настоящей статьи, то мы посвятим здесь несколько слов краткому резюме всего доселе изложенного.

Как мы видели, в вопросе о решении логич. равенств надо различать два отдельных вопроса: 1) вопрос о тождественном замещении данных посылок одним равенством м 2) вопрос об определении из этого последнего данного простого класса или данной функции (всеми или некоторыми из прочих классов).

Для замещения посылок одним равенством Шредер указывал способ, приводящий к такому равенству, которое, по нашей терминологии, должно быть названо полным логическим нулем задачи. Нельзя не признать этого приема Шредера не вполне натуральным. Исчерпывать объем значения каждой посылки и всей совокупности посылок логическими нулями, т.е. перечислением отношений, несовместимых с данной посылкой или с данной системой посылок, это значит только косвенным образом указывать те действительные отношения, которые устанавливаются между данными классами в силу посылок задачи. Гораздо натуральнее вычислить для этой цели логические единицы отдельных посылок и всей задачи, потому что прямо указываются все отношения, за исключением тех, которые противоречат какой-либо из посылок. В этом отношении постановка вопроса у Джевонса вполне безупречна. К сожалению, Джевонс для исключения из полного (универсального) мира речи невозможных альтернатив предложить только или примитивное средство, поражающее своею сложностью, или же механический прием, выполняемый его «логической машиной». Нам удалось оценить правильность исходной точки зрения Джевонса и пополнить оставленный им пробел, указав теоретический способ для вычисления логических единиц, минуя непосредственное исключение из мира речи логических нулей задачи.

Затем, мы доказали, что посылки задачи могут быть тождественно замещены не только полным логическим нулем или полной логической единицей, но еще 2n+p равенствами (n число классов, входящих в посылки, p число различных функций, какие только можно составить из n классов), а именно: полным определением каждого из n данных классов, каждого из n отрицаний этих классов и каждой из p возможных функций. Кроме того, мы указали и весьма простые правила для построения этих равенств на самом деле.

Что касается определения классов то, пользуясь для этой цели полным логическим нулем задачи, Шредер рассуждал не над полным логическим нулем задачи, Шредер рассуждал не надо тем, что есть, а надо тем, чего нет. Такое суждение и ненатурально, и в известных отношениях даже опасно. Рассуждая над логическими нулями, всегда подвергаешься опасности отбросить некоторые из них в силу только того, что они нули. Отбросить же какой-либо их логических нулей значит оставить без внимания ту часть сведений задачи, которая выражается этим нулем. Джевонс и в этом отношении имеет преимущество перед Шредером: из того, что могло бы существовать вообще, он исключает то, чего нет в данном случае, и рассуждает только над тем, что остается после такого исключения.

Касательно самого процесса определения классов надо заметить, что Шредер построил свою формулу чисто формальным путем, без объяснения логических его оснований. Он не указал также ни логического значения коэффициентов в своей формуле, ни того, в чем заключается зависимость полученного им определения от результата исключения в данных посылок определяемого класса. Предложить свою формулу в двух (и даже четырех) вариантах, он не указал ни логического отличия одного варианта от другого, ни того, какому из них надо отдать преимущество. Наконец, упустив из виду различие между понятиями «неопределенного» и «произвольного», он дал своей формуле такое толкование, которое по всей справедливости может быть названо только крайне ошибочным.

С другой стороны, Джевонс, определяя данный класс из логического мира речи задачи, упустил из виду зависимость между этим классом и его отрицанием, а потому полученное им определение всегда односторонне, состоит в указании на то, к каким классам относится определяемый класс, без всякого указания на классы, в нем содержащиеся. Хотя такое определение в известных случаях и может быть считаемо достаточным; однако, если две категории случаев, когда оно должно быть признано решительно недостаточным, а именно: случаи когда M(1) есть тождественная единица, и случаи, когда M(1) есть отрицание M(0) и обратно. В первых случаях определение Джевонса всегда есть замаскированное тождество a=a, т.е. ничего не выражает; а во вторых случаях определение Джевонса есть a=aM(1), тогда как на самом деле истинное определение для этого случая есть a=M(1)=M₁(0). Независимо от полноты, определение Джевонса имеет еще тот недостаток, что оно всегда имеет сложную форму однородной функции n -го измерения.

Признав определение Джевонса неполным, мы указали на необходимость двукратного определения каждого класса из логической единицы: 1) непосредственного по приему Джевонса (облеченному в математическую форму, нами для него построенную) и 2) через отрицание непосредственного определения отрицания того же класса. Этот второе определение может состоять только в указании на классы, содержащиеся в определяемом классе. Совокупность таких двух определений обнимает все, что только может быть сказано о данном классе на основании данных посылок, и представляет цельную, полную и рельефную картину роли этого класса в ряду всех прочих. Затем мы доказали, что пара формул полного определения: a=aM(1), a=a+M₁(0) вполне тождественна как с основным равенством 1=M, так и с построенной нами общей формулой: a=aM(1)+a₁M₁(0), где M(1) есть функция, в которой a содержится, M₁(0) функция, которую само a в себе содержит. Отсюда само собою открывается, что полное определение выражает не только те сведения посылок, которые прямо касаются класса a, но и все прочие сведения задачи. Если так, то в большинстве случаев задач (за исключением тех, когда все сведения задачи прямо касаются класса a) в составе полного определения a должны встречаться члены, логически невозможные при условиях той или другой данной задачи. Так оно и должно быть, потому что если полное представляет такую общую норму определений, которая должна быть применима ко всем случаям, даже к редким и исключительным, то вообще такое определение должно содержать в себе излишества, т.е. логические нули. Исключая последовательно из полного определения две заключающиеся в нем группы логических нулей, мы получили сперва определение, полученное Шредером, а потом уже и определение, отвечающее идеям Джевонса[33]. Этого мало; так как формула, в левой части находится только a и которая тождественно заменяет всю совокупность посылки задачи, то можно утверждать, что если бы, кроме Шредера и Джевонса, кто-нибудь построил еще какое-нибудь новое определение a, то определение это может быть только частным случаем нашего общего определения; другими словами, всевозможные определения a могут и должны быть только следствиями нашей общей формулы a=aM(1)+a₁M₁(0).

При исключении полного определения тех членов, которые в известных случаях задач могут оказаться лишними (нулями), мФ построили результат исключения a из данных посылок на основании чисто логических соображений (Буль и Шредер выводили его формальными прочесами) и указали, что он имеет троякое логическое значение: 1) он выражает, что функция M₁(0) логически подчинена функции M(1), 2) он есть продукт устранения частного противоречия, встречающегося во всех случаях, кроме указанного выше, между обоими отделения a, и 3) в нем собраны все те сведения посылок, которые прямо не касаются самого a.

Далее, в вопросе об исключении классов нам удалось указать замечательно простой прием, далеко оставляющий за собою крайне сложные приемы Буля и Шредера. При этом мы объяснили, что прием этот применим не только к единичным формам равенств, но и к формулам вида a=aM(1), а след. также к обеим формулам полного определения, если их употреблять в форме: a=aM(1), a₁=a₁M(0). Оказалось также, что незначительного усложнения этого приема вполне достаточно для исключения классов из общей формулы: a=aM(1)+a₁M₁(0).

Потом мы построили общее правило для тождественного замещения ряда полных или неполных определений одного и того же класса одним определением, и на основании этого правила указали второй общий способ определения данного класса из ряда посылок, требующий полного определения этого класса из каждой посылки порознь (даже из тех посылок, которые не зависят от этого класса).

Наконец, в вопросе об определении функций мы построили формулу, еще более общую, чем указания выше, именно формулу: u=yv+h₁v₁, после чего весь способ определения функций оказался простым обобщением способа определения простых классов. Для возможности такого обобщения нам пришлось установить формулу: u=Av+Bv₁=(uv)v+(uv₁)v₁, представляющую обобщение формулы Буля: F(a.b.c…)= =aF(1.b.c…)+a₁F(0.b.c…).

Не мешает заметить также и то, что в самое построение посылок и приведение их к нулевой и единичной форме нам удалось ввести упрощения благодаря тому, что мы, отказавшись от употребления неопределенных классов, не имели надобности в исключении сих последних, и могли предложить простые правила для приведения к нулевой и единичной формам посылок вида a=ab, а также вида c=c+d.

Наконец, подчеркиваем также и то обстоятельство, что окончательная редакция формул a=aM(1) и a=M(1)[a+M₁(0)], приписываемых нами соответственно Джевонсу и Шредеру, принадлежит собственно нам. Джевонс не мог и не умел построить никакой формулы, отвечающей его идеям, и нам понадобилось для облегчения его идей в математич. форму значительно развить и видоизменить эти идеи. Что же касается формулы, предложенной Шредером, то мы внесли в нее существенное усовершенствование, доказав, что класс u, фигурирующий в этой формуле, не есть не только произвольный, но даже и неопределенный, и что подлинное его значение есть u=a.

В заключение этого перечня позволим себе выразить надежду, что, после всех, исчисленных выше, предложенных нами нововведений и упрощений, кажется, уже можно сказать не без основания, что мы владеем простым, общим и удобным методом решения логических равенств.

§ 15. Логическая машина Джевонса. Её оценка

В своем месте нами было сказано, что Джевонс не видя возможности теоретического построения упрощенного логического алфавита, т.е. полной логической единицы задачи, непосредственно из данных посылок, более 10 лет затратил на механическое решение этой задачи. Целью го изысканий было создать механические приемы для первоначального логического алфавита (т.е. универсальной единицы данных классов) всех тех альтернатив, которые делаются нелепыми по мере того, как нам предлагают ряд посылок. На пути к этой цели он последовательно изобретал логическую доску, логические счеты и наконец логическую машину. Последняя решает всевозможные логические задачи о 4-х классах, но решает их, конечно, в том одностороннем направлении и неполном смысле, в каком сам творец ее понимает определение классов. Подробное описание этой машины можно найти в Philosophical Transactions (1870, t. 160, p. 497). Здесь же достаточно сказать следующее.

Дата добавления: 2015-07-08