Об отношении математической логики к математике и логике.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Математическая логика по предмету своему есть логика, а по методу математика. Что она есть логика, с этим согласится каждый, если мы скажем, что главнейшая, может быть даже и единственная [1]), её задача заключается в построении теории умозаключений. А что её метод вполне аналогичен математическому методу алгебры и ни в каком отношении ему не уступает, это конечно, требует доказательства. Так как ни в настоящей нашей статье, ни во введении к ней, мы нигде прямо не проводим параллели между методами алгебры и математич. логики, то здесь, в предисловии, будет уместно коснуться этого вопроса, одинаково интересного как для логиков, так и для математиков[2]).

Если формы, изучаемые алгеброй, суть количественная, то, наоборот, те формы, с которыми имеет дело логика, суть качественная, т.е. существенно отличны от первых. Это различие от ближайших предметов изучения алгебры и логики делает невозможным прямое перенесения, т.е. непосредственное применение, принципов и приёмов алгебры к предмету логики. Однако, приспособления этих приёмов (с полным сохранением всей их точности) к изучению качественных форм вполне возможно. И замечательно, что, для достижения этой цели, приходится не столько усложнять, сколько, наоборот, существенно упрощать приёмы алгебры, применяя их на почве логики.

Если в алгебре необходимо отличать число от количества и иметь две системы символов: численную и буквенную, то в логике аналогичной необходимости нет, и она может ограничиваться одною, и притом простейшею из них: системою буквенных символов. Дело в том, что всевозможные категории качества суть понятия, совершенно независимые одно от другого. А потому формы, обладающие отдельными категориями качеств, сами по себе не могут находиться ни в каком отношении друг к другу. Форма каждой категории качества требует особого символа, и при том совершенно независимого от прочих символов. Таковы и суть буквенные символы a,b,c…

Однако рядом с этим весьма существенным упрощением распространённого на логику алгебраического символизма (упрощением, выражающимся в возможности обходиться без) того, что отвечало бы системе численной нумерации), оказывается необходимым и некоторое его усложнение. По отношению к каждой категории качества (и даже к каждому отдельному виду различных категорий) надо различать две формы: форму, обладающую данным качеством, и форму им не обладающую. Если мы означим формы первого рода, отвечающие различным качествам, буквами a,b,c… то для форм второго рода должны избрать те же самые символа a,b,c… с присоединением к ним каких либо значков, т.е. напр. Символов a₁,b₁,c₁… Итак, каждая пара соответственных символов a и a₁ означает соответственно формы, обладающие и не обладающие одним и тем же некоторым определённым признаком. Таким образом, различие признаков, характеризующих формы, мы будем выражать в различии букв a,b,c…, различие же в обладании и не обладании признаками будем выражать в употреблении букв или без значка ₁, или с присоединением этого значка.

Одним и тем же буквенными символами: a, a₁, b,b₁, и т.д. матем. Логика означает обладания или не обладание всевозможными качествами или признаками, будут ли качества простыми (напр. доброта, дешевизна и проч.) или составные, представляющие группы и даже целые системы качеств (каковы всевозможные реальные предметы: человек, дом и пр.). Итак, одни и те же символы: a, a₁, b,b₁… одинаково пригодны для обозначения не только абстрактных, но и конкретных качественных форм.

Доселе мы рассматривали формы обладания или не обладания одним каким-либо признакам. Переходим к формам совместного обладания несколькими признаками. Имея ряд символов a, a₁, b,b₁…, выражающих присутствие или отсутствия некоторых определённых качеств, условимся означать качественные формы совместного обладания одним из этих качеств при отсутствии других посредством простого помещения рядом (безо всякого особого знака) соответственных первоначальных символов a, a₁, b,b₁… Таким образом, символ ab будет означать новую качественную форму, представляющую совместное обладание двумя признаками, и притом теми самыми, обладание которыми выражается соответственно в формах a и b. Формы a₁b и a, b₁ должны выражать обладание одним из этих качеств при отсутствии другого. Форма a₁ b₁ будет означать отсутствие обоих этих качеств. Форма a₁bc₁d представляет обладания двумя определёнными признаками, соединённое с отсутствием других двух признаков. И т.д.

Вновь полученные качественные формы ab,a₁b,ab₁ и пр. можно рассматривать или ничем не связанными с прежними формами a,a₁b,b₁ и проч., или известным образом происходящими из этих последних. Это второе допущение и есть то, которое обуславливает для логики возможность не только символических обозначений, но и символических операций над формами качества. Таково начало символического метода логики, понимаемого в смысле некоторой последовательности известных символических операций.

Для возможности выводить качественные формы 2-ой категории (т.е. ,ab,ab₁ и проч.) из первоначальных форм (a, a₁, b,b₁ …), достаточно допустить, что обладание или не обладание одним признаком (или одними признаками) отнюдь не исключаются обладания или не обладания какими бы то ни было другими признаками. При таком допущении, формы а и а₁ означают простое констатирование фактов присутствия и отсутствия некоторого определённого признака, причём вопрос о всех прочих качествах этих форм остаётся без рассмотрения. Это и есть допущение, которое устанавливает зависимость между качественными формами. В самом деле, при сказанном допущении, всякая качественная форма 2-ой из указанной категорий, коль скоро символическое её изображение содержит, в ряду прочих букв, какую бы то ни было букву а, является подчинённою первичной форме а, т.е. её простым подклассом. Напр., если a и b две первичные качественные формы «белое» и «крупное», то, допуская, что эти формы не исключат никаких других признаков, легко понять, что производная качественная форма ab т.е. «белое-крупное» (напр. «белый, крупный» цветок) является частью как «белого», так и «крупного», и притом именно общею частью того и другого,

Подобным-же образом, более сложная форма ab₁cd₁ (т.е. например белое, некрупное, ценное и бесполезное), на основании сказанного допущения, окажется частью (подклассом) каждой из 4-х первичных форм a,b₁,c и d₁, и притом именно общею частью всех этих форм. Тоже и вообще. Такова зависимость между первичными и производными качественными формами.

Не формулируя пока этой зависимости более определённым и точным образом, заметим, что помянутое допущение (т.е. допущение, что а означает не исключительное обладание известным признаком) обусловливает также подчинённость всевозможных конкретных форм, обладающих одним и тем же определённым качеством (напр. белый дом, белая бумага, белое знамя), чисто абстрактной форме обладания этим качеством (форма «белое»), т.е. устанавливает связь между конкретными и абстрактными качественными формами.

Чтобы точным образом выразить наше согласие делать помянутое выше допущение, совершенно достаточно условиться каждый качественный символ (первой или 2-й категории, т.е. напр. a и ab₁c) читать с прибавлением слова «все». Таким образом, если а означает всё белое, b всё крупное, с всё ценное, то напр. ab₁c должно представлять всё такое белое, которое ценно, но не крупное, т.е. обнимать собою не только все предметы, имеющие эту характеристику, но и все чисто абстрактные формы, имеющею эту характеристику.

Обращаемся к точному формулированию зависимости производных форм (ab, ab₁ и проч.) от первичных (а,а₁, b,и₁ и проч.). Мы видели, что, напр., форма ab есть подкласс, как форма а, так и формы b, и в тоже время выражает всё, что есть общего между этими двумя формами. А потому форму ab можно производить: во-первых, из формы а посредством выделения из неё всего того, что обладает признаком, характеризующим форму b, и, во-вторых, из формы b посредством отобрания от неё всего того, что есть а. (Например «белое-крупное» может быть производимо, как из «белого», так и из «крупного»). Отсюда непосредственно заключаем, что, во-первых, простое помещение рядом двух (и более) букв a и b, безо всякого знака, следует рассматривать, как вполне определённую логическую операцию, состоящую в выборе из состава одного класса всего того, что относится к составу другого, или других классов, и во-вторых, операция эта должна обладать тем свойством, которое называется в алгебре перестановочностью (коммутативностью), и в силу которого форма ab должна быть вполне тождественна с формою ba. Легко показать также, что рассматриваемая операция обладает ещё и свойством собирательности (ассоциативности), т.е. форма (ab)c тождественна сформами (ac)b, (ba)c, (bc)a, (ca)b и (cb)a.

Для краткости и точности суждений нам необходимо избрать какое-нибудь определенное название для этой операции. Условимся хотя бы на время называть эту операцию реализированием качественных форм (на том основании, что применения одной этой операции вполне достаточно для превращения абстрактных качественных форм в формы реальные). Таким образом, форма ab есть реализирование формы a с помощью формы b,и обратно, или, ещё короче, это есть взаимное реализирование форм a и b. Сущность этой операции состоит в упомянутом выше выборе, а её существенные свойства перестановочность и собирательность. Наконец символический знак этой операции есть точка, поставленная или подразумеваемая между взаимно реализуемыми классами.

Дальнейшие свойства операции реализирования должны зависеть от её отношения к другим возможным логическим операциям. Какие же другие операции возможны в логике? Конечно, прежде всего должна существовать операция, обратная установленному выше реализированию качественных форм, т.е. операция перехода от подклассов к классам.

Имея две формы a и b можно представить новую качественную форму, происходящую от слияния форм a и b, такого слияния, при котором часть этой новой формы содержит все, что есть a, другая же часть, и притом остальная, обнимает все, что относится к b. Имея в виду впоследствии доказать, что эта новая операция слияния (так сказать, чисто механического, но отнюдь не химического) вполне противоположна операции реализирования качественных форм, условимся (на время) называть эту новую операцию абстрагированием форм a и b. Символическим знаком этой операции мы изберем (на время) знак вопросительный, т.е.? Таким образом, новая качественная форма, представляющая характеризованное выше слияние форм a и b, символически изобразится так: a?b. Легко понять, что, например, более сложная форма a?b₁?c?d₁ должна представлять качественную форму, состоящую из четырех отдельных частей, каждая из которых в отдельности есть: a,b₁,c и d₁, т.е. к этой форме относится: 1) все, что есть a, 2) все, что не есть b, и т.д. (А вот реальный пример: упраздняются чины прапорщика, ротмистра и подполковника)

Не трудно объяснить, что операция абстрагирования форм также обладает свойством перестановочности. В самом деле, характеризованное выше слияние a с b или, наоборот, b c a, должно нас приводить к одним и тем же итогам. А потому символ a?b должен означать совершенно тоже, что и символ b?a. Свойство собирательности также принадлежит к числу свойств абстрагирования, п.ч. символ a?b?c совершенно равнозначен с каждым из символов a?c?b, b?a?c, b?c?a, c?a?b и c?b?a.

А теперь сопоставим между собой операции реализирования и абстрагирования качественных форм. С этою целью мы принимаем одну из этих операций к продукту применения другой.

Возьмем форму a?b (продукт абстрагирования простых форм a и b) и сопряжем ее с помощью реализирования с простою формою c. Продукт этого сопряжения символически изобразится так: (a?b)c, где скобки поставлены только для отграничения формы a?b; отсутствие же всякого знака между этой формой и формою c есть указание (т.е. как бы знак) необходимости взаимного реализования форм (a?b) и c. Требуется развить, т.е. исследовать значение помянутого сложного продукта (a?b)c. Мы предполагаем доказать, что этот продукт совершенно равнозначен с качественною формою ac?bc, т.е. оправдать равенство:

(a?b)c=ac?bc.

Для определенности мы допустим, что a есть (все) белое, b (все) крупное, c (все) ценное. Заключения, сделанные на этом частном примере, будут иметь общее значение, п.ч. те же суждения могут быть применены и ко всевозможным другим примерам. Понятно, что ac означает белое-ценное, bc означает крупное-ценное, а потому символ ac?bc должен означить все то, что частью есть белое-ценное, частью же относится к крупному-ценному. Таково значение правой части предположенного равенства. В левой части символ a?b означает все, что частью бело, частью же крупно. И понятно, что мы должны получить: 1) все белое-ценное и 2) все крупное-ценное, т.е. как раз то, что означает правая часть равенства.

Отсюда видим, что операция реализирования качественных форм распределительна (дистрибютивна) по отношению к операции абстрагирования, т.е. первая относится ко второй совершенно так же, как в алгебре умножение относится к сложению. Аналогия указанных логических операций со сложением и умножением в алгебре ещё более увеличивается тем обстоятельством, что каждая из этих 2-х операций перестановочна и собирательна.

Наконец, известно, что сложение и умножение в алгебре обладают еще одним свойством, а именно, каждое из них имеет свой модуль, т.е. такое количество, которое, будучи сопряжено с помощью этой операции с произвольным количеством a, не изменяет этого последнего. Модули сложения и умножения в алгебре суть соответственно 0 и 1, для которых, при всяком a, имеем:

a+0=a, a×1=a.

Нетрудно определить модели реализирования и абстрагирования качественных форм. Условимся назвать качественную форму, не имеющую никакого содержания, т.е. обнимающую только то, что не существует, немыслимо, или невозможно (например «белое-не-белое» и пр.) логическим нулем, а противоположную предыдущей качественную форму, содержащую в себе в смысле подклассов всевозможные качественные формы (т.е. например как все белое, так и все не-белое), называть миром качественных форм есть 0, т.е. нуль, а символ второй пусть будет 1, т.е. единица. (Ниже мы приведем ещё одно соображение в пользу предпочтения символа 1 перед символом ∞ для изображения мира качественных форм). Легко понять, что качественные формы 0 и 1 и суть модули абстрагирования и реализирования соответственно, т.е. верны равенства:

a?0=a, a1=a.

Подводя итоги, мы можем резюмировать результаты сопоставления основных операций логики и алгебры в следующей таблице:

в логике:

a?b=b?a

ab=ba

(a?b)c=ac?bc

a?0=a

a1=a

в алгебре:

a+b=b+a

ab=ba

(a+b)c=ac+bc

a+0=a

a * 1=a

Отсюда мы вправе сделать следующее заключение. В логике операция, означаемая знаком?, должна быть подчинена всем правилам алгебраического сложения; другая же операция, знак которой состоит в неупотреблении никакого знака, должна быть подчинена законам алгебраического умножения с тем непременным условием, чтобы символ 1 означал весь мир качественных форм.

Легко понять, что абстрагирование качественных форм само по себе (т.е. помимо указанных процессуальных свойств) совершенно аналогично сложению количеств, п.ч. слияние качественных форм, выражаемое символом a?b, вполне однородно с тем внешним или механическим слиянием, которое мы имеем в алгебраической сумме a+b. Вот причины, по которым абстрагирование можно называть сложением классов[3] (т.е. качественных форм), а его знак? можно замещать знаком + и употреблять его совершенно на тех же правах, что и в алгебре.

Понятно, что вторую логическую операцию (реализирование классов), законы которой тождественны с законами алгебраические умножения, можно называть умножением классов.

Относительно логического умножения все известные нам авторы по математической логике единогласно утверждают, что умножение это, будучи подчинено всем законам алгебраического умножения, не представляет никакой аналогии с сим последним. В противоположность этому мнению, мы позволяем себе утверждать, что эти операции вполне аналогичны, т.е. по крайней мере настолько, что обе они легко подводятся под следующее общее им обеим определение: умножение есть такая операция, при которой произведение выводится из одного сомножителя, совершенно так, как другой сомножитель (понимаемый в смысле произведения всех прочих сомножителей, кроме первого) выводится из единицы. Чтобы под это определение подходило логическое умножение, совершенно достаточно потребовать, чтобы в логике единица означала весь мир классов. В самом деле, форма ab так точно получается из a, как b выводится из единицы, а именно: посредством выбора всего, что относится к b.

Кроме указанного выше общего сходства логических операций сложения и умножения с соответственными операциями алгебры, существует между теми и другими некоторое частное отличие. Так, если в алгебре a+a=2a и a.a=a², то в логике a+a=a и aa=a. (п.ч., напр., белое и белое есть белое, и общее между белым и белым есть белое). Однако, эти отличия (существенно упрощающие логические выкладки) отнюдь не умаляют достоинства логического сложения и умножения, п.ч. правила a+a=a и aa=a столь же точны и определены, как и правила a+a=2a и a.a=a².

Мало того; в логике имеют место ещё следующие два специальных правила: 1) a+ab=a (все белое и все белое крупное суть все белое) и 2) a(a+b)=a (общее между белым, с одной стороны, и белым или крупным, с другой, есть белое). Эти правила обнимают предыдущие, п.ч., для b=1, формула a+ab=a переходит в формулу a+a=a, и, для b=0, формула a(a+b)=a сводится на формулу aa=a.

Существуют ещё некоторые специальные правила сокращенного логического умножения в известных случаях, с которыми читатель ознакомится из нашего введения, но которые не вносят в эту операцию ничего ни произвольного, ни неопределенного. А потому мы считаем себя вправе сделать следующее замечание: логические операции сложения и умножения обладают всеми достоинствами (точностью, строгостью, общностью и пр.) алгебраических операций.

Аналогия между назначением (определением) логических и алгебраических операций сложения и умножения, в особенности одинаковость их основных свойств и общих их правил, может даже внушить мысль, будто математическая логика есть простой отдел алгебры. Чтобы опровергнуть эту мысль, мы доведем до конца начатое нами сопоставление операций математической логики с операциями алгебры.

Тем, что изложено выше, вполне исчерпывается сходство логических операций с алгебраическими, а затем остаются одни различия. И притом весьма существенные.

Если в алгебре сложение и умножение представляют пару прямых операций, которой соответствует пара операций обратных (вычитание и деление), то в логике сложение и умножение суть взаимно-обратные операции, а потому нет оснований для рассматривания и употребления в логике операций вычитания и деления[4]). В самом деле, имея класс a, умножим его на b, т.е. построим класс ab, и спросим себя: нельзя ли посредством сложения уничтожить предыдущую работу умножения, т.е. восстановить a? Наш ответ таков: для этого достаточно сложить ab с a, ибо ab+a=a. Наоборот, прибавив к a класс b, т.е. имея сумму a+b, достаточно умножить ее на a для восстановления a, п.ч. (a+b)a=a. Таким образом, в логике сложение уничтожает работу умножения, и обратно, т.е. эти две операции суть взаимно-обратные.

Здесь же мы можем усмотреть и другое существенное отличие логических операций от алгебраических. А именно, самая обратность операций выражается в логике и алгебре неодинаково. В самом деле, в алгебре работы превращения a в a+b, и в ab, сделанные с помощью сложения a с количеством b и умножения его на количество b, разрушаются вычитанием количества b из суммы и делением на количестве b произведения. В логике, наоборот, работы сложения a с классом b и умножения его на классе b уничтожаются с помощью умножения суммы не на b, но на a, и сложения с произведением не b, не a.

Если, таким образом, как мы доказали, сложение и умножение в логике суть вполне обратные операции, то делается вполне излишним приспособлять к логике совершенно для нее не нужные операции вычитания и деления. (Ниже же мы увидим, что эти операции в известном отношении даже опасны для логики).

Кроме сложения и умножения, логика имеет ещё одну операцию, совершенно отсутствующую в системе алгебраических операций; это именно – отрицание классов. Выше мы видели, что для каждого класса a, означает форму обладания определенным качеством, существуют противоположный ему класс a₁, означающий форму не обладания тем же самым качеством. Понятно, что классы a и a₁ следует считать зависящими друг от друга, а стало быть операцию перехода от одного из них к другому следует рассматривать как самостоятельную логическую операцию. Условимся называть эту операцию отрицанием классов, и тем же термином отрицание будем называть также и продукты, ею доставляемые. Таким образом a₁ есть отрицание a, и обратно. Понятно, что каждый логический класс, будет ли он простой или производный, должен иметь свое отрицание. Отсюда открывается необходимость установить правила для отрицания, как логической суммы, так и логического произведения.

Но предварительно необходимо точно формулировать зависимость между каждым классом a и его отрицанием a₁. Эта цель вполне достигается следующим формальным определением: всяческий класс x, который, будучи сопоставлен с a, удовлетворяет двум условиям:

a+x=1, ax=0,

называется отрицанием класса a, т.е. может быть означен через a₁. Словесно выраженные, обе существенные части этого определения суть: 1) отрицание класса дополняет этот класс до единицы (т.е. до класса мир) 2) отрицание класса не представляет ничего общего с этим классом. Поэтому, всякий класс y, удовлетворяющий только одному из написанных выше условий, но нарушающий другое, отнюдь не представляет отрицания класса a.

Помянутые два условия, т.е.

a+a₁=1, aa₁=0

не только представляют определение отрицания класса a, но и заключают в себе зародыш всех правил для отрицания классов в логике. Пользуясь этими условиями, легко доказать, что формула

(m+n)₁=m₁n₁

есть верная, т.е. отрицание суммы равно произведению отрицаний слагаемых. Для доказательства достаточно назвать сумму m+n одною буквою a, а ее предполагаемое отрицание, т.е. m₁n₁, через a₁, и подставит вместо a и a₁ эти их значения в левые части помянутых основных формул. Получим:

a+a₁=m+n+m₁n₁=m.1+n.1+m₁n₁=m(n+n₁)+n(m+m₁)+m₁n₁=mn++mn₁+mn+m₁n+m₁n₁=mn+mn₁+m₁n+m₁n₁=m(n+n₁)+m₁(n+n₁)=
=m.1+m₁.1+m+m₁=1

aa₁=(m+n)m₁n₁=mm₁n₁+m₁nn₁+0+0=0.

Заключаем: так как допущенная a=m+n, a₁=m₁n₁ повторяют оба условия a+a₁=1, aa₁=0, то нет сомнения, что m₁n₁ есть отрицание суммы m+n, и, наоборот, сумма m+n есть отрицание произведения m1n1. Вместе с тем видим, что, правило отрицания произведения должно быть таково: отрицание произведения равно сумме отрицаний сомножителей.

Существует еще одно специальное правило для отрицания разложения класса на другие классы. Но и это правило вполне подчинено основным условиям a+a₁=1, aa₁=0. Отсюда заключаем, что правила логического отрицания классов столь же точны, ясны и определены, как правила любой из алгебраических операций.

Если к тому, что нами уже доказано выше, мы прибавим, что кроме указанных трех элементарных операций, логика не имеет никаких других, то сделаются вполне бесспорными следующие два тезиса: 1) система элементарных логических операций представляется стоящей на одной высоте с системою алгебраических операций и 2) обе эти системы, при некотором между ними сходстве, существенно отличны одна от другой.

Доселе мы рассматривали операции над отдельными логическими классами. Остается рассмотреть операции над логическими равенствами. Только совокупность тех и других операций и составляет то, что может быть названо методом [5].

Равенством логических классов называется полная их тождественность, т.е. одинаковость их логического содержания, при чем все их различие может состоять только в способе их происхождения. Напр., равенство

(m+n)₁=m₁n₁

означает, что операция отрицания суммы доставляет результат, совершенно тождественный с результатом перемножения отрицаний слагаемых.

Основные свойства равенства таковы: равенство A=B не нарушается: 1) от прибавления к обеим его частям одного и того же класса C, 2) от умножения обеих его частей на один и тот же класс D и 3) через отрицание обеих его частей; т.е., если равенство A=B верно, то верны также и равенства: A+C=B+C, AD=BD и A₁=B₁. Это суть истины, непосредственно вытекающая из самого определения равенства, т.е. существенные части самого этого определения. Впрочем, эти же свойства можно оправдать соображения в роде следующих. Если, в пределах какой-либо задачи, белое вполне совпадает с ценным (т.е. a=b), то понятно, что 1) не-белое должно совпадать с не-ценным (a₁=b₁), 2) крупное-белое должно совпадать с крупным-ценным (ac=bc) и 3) белое или твердое должно совпадать с ценным или твердым (a+d=b+d).

Логические равенства могут быть: или тождествами, или уравнениями. Тождество есть такое равенство, в котором одна часть может быть превращена в другую без подобия каких-либо других равенств, а на основании одних общих правил основных логических операций. Например, равенства:

a=ab+ab₁ и (a+b)(a+b₁)=a

суть тождества, потому что 1) сумма ab+ab₁, если взять a за скобки, равно произведению a(b+b₁), в котором второй множитель равен единице, и 2) произведение (a+b)(a+b₁) равно сумме aa+ab₁+ab+bb₁, в которой первый член = a, сумма первого, второго и третьего тоже = a, а последний член равен нулю.

Наоборот, всякое логическое равенство есть уравнение, коль скоро одна его часть не может быть тождественно сведена на другую без подобия каких-либо других равенств. Например, взятое изолированно, равенство a=b+c есть уравнение, и притом уравнение, решенное относительно a. Но его же можно решать относительно b и c и отрицаний a₁,b₁, c₁, а также относительно каких угодно сложных классов, например, относительно ac₁, относительно a₁+b и пр. Вообще решение равенства есть новое равенство, служащее следствием первоначального. Например, умножая равенство a=b+c на c₁ и потом складывая его же с b₁, мы получим следующие два его следствия, т.е. решения:

ac₁=bc₁, a+b₁=1.

Первое из этих последних равенств есть решение исходного равенства относительно ac₁, второе же относительно a+b₁.

Решение равенства будет полное или частное, смотря по тому, вполне или отчасти первое исчерпывает второе. Выражаясь точнее, если не только решение представляется следствием первоначального равенства, но, и обратно, первоначальное равенство есть следствие решения, то решение будет полное. Если же второе из этих условий не удовлетворяется, то решение есть частное. Равенства, служащие следствиями друг друга, мы будем называть тождественными между собою. Например, два равенства

a=a+b и b=ab

вполне тождественны между собою, потому что умножение первого на b доставляет нам второе равенство, а сложение второго с a доставляет первое равенство.

Легко показать, что отрицание всякого равенства A=B представляет новое равенство A₁=B₁, вполне тождественное с первоначальным. В самом деле, если A₁ есть отрицание A и B₁ есть отрицание B, то повторяются две пары условий:

A+A₁=1, AA₁=0

B+B₁=1, BB₁=0.

Но, по условию, A=B, и след. первая пара принимает вид:

B+A₁=1, BA₁=0,

Т.е. прямо показывает, что A₁ есть отрицание B, или A₁=B₁. Таким образом, равенство A=B приводит нас, как к следствию, к равенству A₁=B₁. Обратно, второе из этих равенств, приводит нас к первому. В самом деле, если A₁=B₁, то первая из написанных выше двух пар условий доставляет нам:

A+B₁=1, AB₁=0,

т.е. прямо показывает, что A есть отрицание B, или A=B. Таким образом, два равенства A=B и A₁=B₁ взаимно друг друга обусловливают (служат следствиями одно другого), т.е. вполне тождественны между собою.

Но если отрицание отдельного равенства A=B всегда приводит к тождественному с ними равенству A₁=B₁, то, наоборот, вообще нельзя того сказать о сложении обеих частей равенства с каким-либо классом и об умножении обеих его частей на один и тот же класс. Получаемые при этом новые равенства суть только верные равенства, но вообще представляют не полные, а только частные решения (следствия) первоначального равенства. Например, равенства

a=am, a₁=a₁n,

получаемые из равенства

1=am+a₁n,

через умножение его на a и на a₁, суть только частные его следствия. Это видно из того, что сложение первых двух равенств доставляет нам третье, а след. ни одно из первых двух не в состоянии, без пособия другого, привести нас к третьему. Здесь мы имеем случай, когда пара равенств a=am, a₁=a₁n тождественна с одним равенством 1=am+a₁n. Приведенный пример относится к умножению равенства (1=am+a₁n) на отдельные классы (m и n). А вот пример на сложение. Сложение обеих частей равенства 1=am+a₁n сначала с классом am₁, а потом с классом a₁n₁ доставляет нам два равенства: 1=a+a₁n и 1=am+a₁, перемножение которых, обратно, приводит нас к исходному равенству. Таким образом, каждое из равенств 1=a+a₁n и 1=am+a₁ есть только частное следствие исходного равенства; совокупность же их вполне тождественна с этим равенством.

Надо заметить, что бывают случаи, когда сложение и умножение, примененные к отдельному равенству, не изменяют (т.е. не уменьшают) его логического значения, а приводят к равенству, тождественному с первоначальным. Например, равенство a=as, происходящее из равенства 1=a₁+s через умножение этого последнего на a, вполне с ним тождественно, потому что, обратно, сложение обеих частей равенства a=as с классом a₁ доставляет нам: 1=a₁+as=a₁(1+s)+as=a₁+a₁s+as= =a₁+s(a+a₁)=a₁+s, т.е. первое равенство. Это пример на умножение. А вот пример на сложение. Возьмем равенство 0=a₁q и сложим обе его части с a. Получим: a=a+a₁q=a(1+q)+ +a₁q=a+q(a+a₁)=a+q. Наоборот, умножая это последнее равенство на a₁, получим: 0=a₁q, т.е. исходное равенство. И так, сложение обеих частей равенства 0=a₁q с классом a изменяет только форму этого равенства, не изменяя его содержания.

Общее заключение относительно операций над отдельным равенством будет таково. Отрицание всякого равенства доставляет новое равенство, не только верное, но и тождественное с первоначальным; сложение же обеих частей равенства с одним и тем же классом, или умножение обеих его частей на один и тот же класс, вообще приводят нас только к верному равенству (поскольку верно исходное равенство) хотя в частности могут также получаться равенства, тождественные с исходными.

Переходим к операциям над системами равенств (т.е. совместными или совокупными равенствами). К соединению двух и более равенств в одно новое равенство пригодны только две логические операции: сложение и умножение отдельных частей равенств (причем предварительно каждое отдельное равенство может быть в случае надобности заменено его отрицанием). Это потому, что даже при операциях над отдельными классами отрицание выполняется без посредства каких-либо других классов; например, отрицание суммы a+b есть произведение a₁b₁, т.е. не требует посредства посторонних классов c,d и пр.

Относительно сложения и перемножения[6] нескольких равенств имеет место следующая истина: как сложение, так и перемножение равенств доставляют нам новые равенства, на столько же верные, на сколько верны исходные равенства; т.е. это суть совершенно верные заключения из исходных равенств. Эта истина вполне понятна сама собою, и не требует доказательства. – К сказанному мы прибавим, что вообще теория логических равенств неизмеримо проще теории равенств алгебраических, так как математическая логика доказывает (см. доказательство в нашем введении), что всякая система логических равенств тождественно замещается одним равенством и притом в весьма многих формах.

Вот мы имеем все данные, чтобы сделать общее заключение о методе математической логики. Так как (в логике, как и в алгебре) операции над равенствами представляют только употребление (с известными целями и с соблюдением известных правил) операций над отдельными классами (а в алгебре количествами), то и можем сказать вообще, что метод математической логики, состоящий в простом употреблении в каком бы то ни было порядке, трех элементарных операций: сложения, умножения и отрицания классов, следует рассматривать: 1) столь же совершенным, как и метод алгебры, и 2) существенно отличным в самых разных основаниях от этого последнего.

А теперь обратимся к ещё одному существенно-важному вопросу, а именно: что нового вносит математическая логика в логику умозрительную? Прежде всего, конечно, она вносит в нее залог возможного успеха – новый метод, неизмеримо более совершенный, чем простое умозрение. Превосходство первого метода перед вторым и важность для каждой науки иметь, возможно-совершенный метод, суть такие общеизвестные истины, останавливаться на которых даже как-то неловко. А во 2-х, математич. логика вносит в умозрит. логику целый ряд новых истин. Укажем некоторые из этих истин.

1) Система трех операций, вполне достаточная для построения полной теории качественных умозаключений, показывает нам, что мышление над качественными формами, основанное на этих трех операциях, не обнимает собою даже алгебраического мышления, не говоря уже о математическом мышлении вообще (имеющем такие сложные операции, как, напр., интегрирование и дифференцирование, связь которых с четырьмя основными операциями алгебры столь неуловима и чисто отвлечена, что смело может быть рассматриваема как бы вовсе несуществующею). А потому, если действительно все процессы логического мышления основаны на началах теории качественных умозаключений, то необходимо будет признать логическое мышление не только не общим, но, наоборот крайне специальным и притом вполне элементарным, так как оно может быть поставлено в параллель только с теми початками количественного мышления, которые соответствуют элементарной стороне алгебры.

2) В пределах самой теории качественных умозаключений, цели, преследуемые умозрительной и математической логикой, далеко не совпадают. По примеру математики, математическая логика полагает, что прямая задача каждой теории должна состоять в построении необходимых формул, т.е. отношений между классами, при чем самые приемы построения формул (т.е. мыслительные процессы) отодвигаются на задний план, потому что эти приемы могут быть весьма разнообразны, и все общее между ними может и должно состоять только в их одинаковой зависимости от основных операций. Наоборот, логика умозрительная утверждает, что главная задача теории умозаключений состоит в изучении процессов мысли, а не в изучении отношений между качественными формами. По нашему мнению, причина указанного различия между обеими логиками заключается в том, что изучение отношений между качеств. формами (в смысле точного указания зависимости окончательных форм от первоначальных) превышает силы умозрения, почему и приходится довольствоваться второстепенной целью – анализом процессов.

3) Хотя, таким образом, изучение мыслительных процессов и не составляет главной задачи логики (в смысле учения о качественных формах), однако некоторые материалы для этой цели получаются сами собою и, так сказать, попутно (т.е. между прочим). А именно, математическая логика может указать на правила трех ее основных операций как на основные законы, действительно управляющие всеми теми процессами мысли, какие только встречаются в теории качественных умозаключений. Что же касается тех истин, которые выставляет умозрительная логика под громким названием основных законов человеческого мышления вообще, (например, законы: тождества, отличия и пр.), то это суть только условия (или пределы) правильного мышления, но отнюдь не законы, потому, что в сколько-нибудь точных науках законами называются истины, заключающие в себе какое-либо определенное указание на самую природу изучаемого материала.

Наконец, 4) математическая логика вносит в умозрительную логику целый ряд впервые ею открытых специальных истин касательно тех отношений (т.е. формул) между качественными формами, какие получаются при процессах качественных умозаключений. Можно сказать без преувеличений что, разработанная по методу математической логики, теория качественных умозаключений вполне исчерпана в самых своих основаниях, а может быть даже и во всех своих подробностях. Математическая логика предлагает нам весьма простые и недлинные выкладки, приводящие нас от какой бы то, ни было системы посылок к какому угодно из них заключению, и указывает нам, каким образом формулы, представляющие умозаключения, получаются из формул, изображающих посылки. Мало того, математическая логика оборачивает задачу и показывает нам, как можно построить всевозможные посылки, из которых каждое данное суждение (предложение) выводилось бы в качестве умозаключения.- Далее, математическая логика указывает всевозможные формы, какие только может принять всякая данная посылка с полным сохранением всего объема ее логического значения.- Кроме того, математическая логика учит процессу разложения всякой задачи (состоящей из посылок) на элементарные посылки. Затем, она предлагает рецепт для составления сколь угодно сложных и замысловатых логических задач. Наконец, ее выкладки, каждый отдельный акт которых вполне нагляден и понятнее логически, могут быть рассматриваемы как действительное разоблачение тайны некоторых мыслительных процессов во всей их постепенности и обстоятельности, т.е. означают как бы введение нас в самую лабораторию человеческого ума.

С литературой и главными пунктами истории математической логики читатель может ознакомиться частью из нашего введения, частью же из нашего изложения и критической оценки способов Буля, Шредера и Джевонса (часть I, § 1, 2, 3 и 4).

Обращаясь к нашему сочинению, предлагаемому ныне на суд читателя, мы должны сказать, что: 1) оно заключает в себе первый опыт (не только в нашей, но и в иностранной литературе) построения полной и вполне законченной теории качественных умозаключений и 2) оно представляет собою (за исключением немногих страниц, посвященных изложению приемов других авторов) вполне самостоятельную работу, имеющую тем большее значение, что самые общие формулы и приёмы этой теории полученные впервые только нами, целая же часть этой теории (переход от умозаключений к посылкам) вполне и безраздельно принадлежит нам, как по приемам, так и по самой идее о возможности решения этой задачи.

В заключение считаю приятным долгом выразить искреннюю признательность профессору А. В. Васильеву, из бесед с которым я впервые узнал о существовании математической логики и парадоксальных формул a+a=a и aa=a, лежащих в ее основании, и который доставил мне возможность иметь в своем распоряжении весьма редкое сочинение Буля (первого автора по математической логике) Впрочем, во избежание недоразумений, я должен прибавить, что, за исключением вышеуказанного первого толчка к моим занятиям математической логикой, А. В. Васильев не имел никакого дальнейшего влияния на направление и ход настоящей моей работы.

П. Порецкий.

8 июля 1884 г.

Дата добавления: 2015-07-08