Визначення. Розділеними різницями першого порядку називається відношення

Інтерполяційний поліном Ньютона

Форма запису інтерполяційного полінома, відмінна від поліному Лагранжа, належить Ньютону.

Поліном записується за допомогою розділених різниць і є узагальненням формули Тейлора.

Нехай задані попарно різні точки x_i, y_i,i =1,n, де y_i=f(x_i).

Визначення. Розділеними різницями першого порядку називається відношення

f(x_i, x_j) = [f(x_i) - f(x_j)]/(x_i - x_j), де i ¹ j. Зауважимо, що f(x_i, x_j) = f(x_j, x_i)

Будемо розглядати розділені різниці в сусідніх вузлах:

f(x₁, x₂) = [f(x₁) – f(x₂)]/(x₁ – x₂), f(x₂, x₃) = [f(x₂) – f(x₃)]/(x₂ – x₃),

f(x₃, x₄) = [f(x₃) – f(x₄)]/(x₃ – x₄) і т.д.

По розділеним різницями першого порядку можна побудувати розділені різниці другого порядку: f(x₁, x₂, x₃) = [f(x₁, x₂) – f(x₂, x₃)]/(x₁ – x₃),

f(x₂, x₃, x₄) = [f(x₂, x₃) – f(x₃, x₄)]/(x₂ – x₄) і т.д.

Аналогічно визначаються розділені різниці більш високого порядку.

Якщо відомі розділені різниці k-го порядку f(x_j, x_j+1, …, x_j+k), f(x_j+1, x_j+2, …, x_j+k+1), то розділена різниця (k+1)-го порядку визначається як:

f(x_j, x_j+1, …, x_j+k, x_j+k+1) = [f(x_j, x_j+1, …, x_j+k) – f(x_j+1, x_j+2, …, x_j+k)]/(x_j – x_j+k+1).

Значення функції f(x_i) вважаються розділеними різницями нульового порядку.

Теорема. Розділена різниця k -го порядку визначається через значення функції f (x) в точках x _j, x_{j +1}, …, x_j+k:

Приклад 1. Нехай . Будемо використовувати точки:

х₁=1, y₁=P(х₁)=3,х₂=2, y₂=P(х₂)=7, х₃=3, y₃=P(х₃)=13.

1)Обчислимо розділену різницю першого порядку в х,х₁,

це буде многочлен від х:

P(x,x₁)=[P(x)-P(x₁)]/(x- x₁)=(x²+x+1-3)/(x-1)= (x²+x-2)/(x-1)=(x+2).

2)Обчислимо розділену різницю першого порядку в х₁,х₂:

P(x₁,x₂)=[P(x₁)-P(x₂)]/(x₁-x₂)=(3-7)/(1-2)=4.

3)Обчислимо розділену різницю першого порядку в х₂,х₃:

P(x₂,x₃)=[P(x₂)-P(x₃)]/(x₂-x₃)=(7-13)/(1-2)=6.

4)Обчислимо розділену різницю другого порядку в х₁,х₂, х₃:

P(x₁,x₂,x₃)=[P(x_1,x₂)-P(x₂,x₃)]/(x₁-x₃)=(4-6)/(1-3)=1.

5)Обчислимо розділену різницю другого порядку в х,х₁, х₂:

P(x, х₁,x₂)=[P(x,х₁)-P(х₁, x₂)]/(x-x₂)=(х+2-4)/(x-2)= 1.

6)Обчислимо розділену різницю третьго порядку в х,х₁,х₂,х₃:

P(x, х₁,x₂, х₃)=[P(x,х₁,х₂)-P(х₁, x₂, х₃)]/(x-x₃)=(1-1)/(x-3)=0.

Для будь-якого многочлена другого степеня P(x, х₁,x₂, х₃)=0 тому що, степінь полінома понижується на одиницю для кожної нової розділеної різниці:

1)Розділена різниця першшого порядку – поліном першої степені;

2)Розділена різниця другого порядку – поліном нульової степені (константа);

3)Розділена різниця третього порядку – нуль;

Приклад 2. Нехай P(x) – будь-який поліном другого порядку, задані х₁,y₁=P(х₁),х₂, y₂=P(х₂), х₃, y₃=P(х₃), точки х₁,х₂,х₃ попарно не співпадають.

Доведемо, що P(x)=P(x₁)+(x-x₁)* P(х₁, x₂)+(x-x₁)*(x-x₂)*P(x₁,х₂,x₃), це тотожність.

1)З P(x,x₁)=[P(x)-P(x₁)]/(x-x₁) отримаємо: P(x)=P(x₁)+P(x,x₁)*(x-x₁);

2)З P(x, х₁,x₂)=[P(x,х₁)-P(х₁, x₂)]/(x-x₂) отримаємо: P(x,x₁)= P(х₁, x₂)+ P(x,х₁,x₂)*(x-x₂);

3)З P(x, х₁,x₂,х₃)=[P(x,х₁,х₂)-P(х₁, x₂,х₃)]/(x-x₃) отримаємо:

P(x,x₁,х₂)= P(х₁, x₂,х₃)+P(x,х₁,x₂,х₃)*(x-x₃), але P(x,х₁,x₂,х₃)=0 для будь-якого многочлена другого степеня. Отже P(x,x₁,х₂)= P(х₁, x₂,х₃).

4)Підставимо P(x,x₁)= P(х₁, x₂)+ P(x,х₁,x₂)*(x-x₂) в P(x)=P(x₁)+P(x,x₁)*(x-x₁),

отримаємо P(x)=P(x₁)+(x-x₁)*[ P(х₁, x₂)+P(x,х₁,x₂)*(x-x₂)]=

=P(x₁)+(x-x₁)* P(х₁, x₂)+(x-x₁)*(x-x₂)*P(x,х₁,x₂), тепер згадаємо, що P(x,x₁,х₂)= P(х₁, x₂,х₃).

Отже P(x)=P(x₁)+(x-x₁)* P(х₁, x₂)+(x-x₁)*(x-x₂)*P(x₁,х₂,x₃).

Підставимо значення розділених різниць для приклада 1):

P(x)=P(x₁)+ (x-x₁)*P(х₁,x₂)+ (x-x₁)*(x-x₂)*P(x₁,х₂, x₃)=3+4*(x-1)+1*(x-1)*(x-2)=

=3+4*x-4+x²-3*x+2=x²+x+1. Отримали тотожність.

Приклад 3. Нехай P(x) – будь-який поліном другого порядку, задані:

х₁,y₁=P(х₁),х₂, y₂=P(х₂), х₃, y₃=P(х₃). Точки х₁,х₂,х₃ попарно не співпадають.

Позначимо Q(x)=P(x₁)+(x-x₁)* P(х₁, x₂)+(x-x₁)*(x-x₂)*P(x₁,х₂,x₃).

Треба довести безпосередньо, що y₁=P(х₁)=Q(x₁), y₂=P(х₂)=Q(x₂), y₃=P(х₃)=Q(x₃).

1)Підставимо Q(x₁)=P(x₁)+(x₁-x₁)*P(х₁, x₂)+(x₁-x₁)*(x₁-x₂)*P(x₁,х₂,x₃)= P(x₁).

2)Підставимо Q(x₂)=P(x₁)+(x₂-x₁)*P(х₁, x₂)+(x₂-x₁)*(x₂-x₂)*P(x₁,х₂,x₃)=

P(x₁)+(x₂-x₁)*P(х₁,x₂)= P(x₁)+(x₂-x₁)*[P(x₁)-P(x₂)]/(x₁-x₂)= P(x₁)- P(x₁)+P(x₂)=P(x₂).

3)Підставимо Q(x₃)=P(x₁)+(x₃-x₁)* P(х₁, x₂)+(x₃-x₁)*(x₃-x₂)*P(x₁,х₂,x₃)=

P(x₁)+(x₃-x₁)*P(х₁,x₂)= P(x₁)+(x₃-x₁)* P(х₁, x₂)+ (x₃-x₁)*(x₃-x₂)*[P(x_1,x₂)-P(x₂,x₃)]/(x₁-x₃)=

=P(x₁)+(x₃-x₁)* P(х₁, x₂)+(x₃-x₂)*[P(x₂,x₃)-P(x₁,x₂)]= P(x₁)+ (x₃-x₁-x₃+x₂)* P(х₁, x₂)+

+(x₃-x₂)*P(x₂,x₃)= P(x₁)+(x₂ -x₁)*P(х₁, x₂)+ (x₃-x₂)*[P(x₃) - P(x₂)]/ (x₃-x₂) =

= P(x₁)+ (x₂ -x₁)*[P(х₁)- P(х₂)]/(x₁ -x₂)+ (x₃-x₂)*[P(x₃) - P(x₂)]/ (x₃-x₂)=

=P(x₁)-P(х₁)+P(х₂)+P(x₃)-P(x₂)=P(x₃)

Дата добавления: 2015-07-08