Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Визначення. Розділеними різницями першого порядку називається відношення

Читайте также:
  1. Відбувся політ в космос першого космічного туриста
  2. Годівля свиноматок холостих і першого періоду поросності
  3. Діяльність щодо організації роботи з документами називається...
  4. Заинтересованность в совершении акционерным обществом сделки и требования к порядку заключения сделки, в совершении которой имеется заинтересованность
  5. Закон оберненого співвідношення між змістом та обсягом поняття.
  6. Захист прав судами загальної юрисдикції Вирішення справ у порядку цивільного судочинства.
Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Інтерполяційний поліном Ньютона

Форма запису інтерполяційного полінома, відмінна від поліному Лагранжа, належить Ньютону.

 

Поліном записується за допомогою розділених різниць і є узагальненням формули Тейлора.

 

Нехай задані попарно різні точки xi , yi ,i =1,n, де yi=f(xi).

Визначення. Розділеними різницями першого порядку називається відношення

f(xi, xj) = [f(xi) - f(xj)]/(xi - xj), де i ¹ j. Зауважимо, що f(xi, xj) = f(xj, xi)

 

Будемо розглядати розділені різниці в сусідніх вузлах:

f(x1, x2) = [f(x1) – f(x2)]/(x1 – x2), f(x2, x3) = [f(x2) – f(x3)]/(x2 – x3),

f(x3, x4) = [f(x3) – f(x4)]/(x3 – x4) і т.д.

По розділеним різницями першого порядку можна побудувати розділені різниці другого порядку: f(x1, x2, x3) = [f(x1, x2) – f(x2, x3)]/(x1 – x3),

f(x2, x3, x4) = [f(x2, x3) – f(x3, x4)]/(x2 – x4) і т.д.

Аналогічно визначаються розділені різниці більш високого порядку.

 

Якщо відомі розділені різниці k-го порядку f(xj, xj+1, …, xj+k), f(xj+1, xj+2, …, xj+k+1), то розділена різниця (k+1)-го порядку визначається як:

f(xj, xj+1, …, xj+k, xj+k+1) = [f(xj, xj+1, …, xj+k) – f(xj+1, xj+2, …, xj+k)]/(xj – xj+k+1).

Значення функції f(xi) вважаються розділеними різницями нульового порядку.

Теорема. Розділена різниця k-го порядку визначається через значення функції f(x) в точках xj, xj+1, …, xj+k:

Приклад 1. Нехай . Будемо використовувати точки:

х1=1, y1=P(х1)=3,х2=2, y2=P(х2)=7, х3=3, y3=P(х3)=13.

1)Обчислимо розділену різницю першого порядку в х,х1,

це буде многочлен від х:

P(x,x1)=[P(x)-P(x1)]/(x- x1)=(x2+x+1-3)/(x-1)= (x2+x-2)/(x-1)=(x+2).

2)Обчислимо розділену різницю першого порядку в х12:

P(x1,x2)=[P(x1)-P(x2)]/(x1-x2)=(3-7)/(1-2)=4.

3)Обчислимо розділену різницю першого порядку в х23:

P(x2,x3)=[P(x2)-P(x3)]/(x2-x3)=(7-13)/(1-2)=6.

4)Обчислимо розділену різницю другого порядку в х12, х3:

P(x1,x2,x3)=[P(x1,x2)-P(x2 ,x3)]/(x1-x3)=(4-6)/(1-3)=1.

5)Обчислимо розділену різницю другого порядку в х,х1, х2:

P(x, х1,x2)=[P(x,х1)-P(х1, x2)]/(x-x2)=(х+2-4)/(x-2)= 1.

6)Обчислимо розділену різницю третьго порядку в х,х123:

 

P(x, х1,x2, х3)=[P(x,х12)-P(х1, x2, х3)]/(x-x3)=(1-1)/(x-3)=0.

Для будь-якого многочлена другого степеня P(x, х1,x2, х3)=0 тому що, степінь полінома понижується на одиницю для кожної нової розділеної різниці:

1)Розділена різниця першшого порядку – поліном першої степені;

2)Розділена різниця другого порядку – поліном нульової степені (константа);

3)Розділена різниця третього порядку – нуль;

Приклад 2. Нехай P(x) – будь-який поліном другого порядку, задані х1,y1=P(х1),х2, y2=P(х2), х3, y3=P(х3), точки х123 попарно не співпадають.

Доведемо, що P(x)=P(x1)+(x-x1)* P(х1, x2)+(x-x1)*(x-x2)*P(x12,x3), це тотожність.

1)З P(x,x1)=[P(x)-P(x1)]/(x-x1) отримаємо: P(x)=P(x1)+P(x,x1)*(x-x1);

2)З P(x, х1,x2)=[P(x,х1)-P(х1, x2)]/(x-x2) отримаємо: P(x,x1)= P(х1, x2)+ P(x,х1,x2)*(x-x2);

3)З P(x, х1,x23)=[P(x,х12)-P(х1, x23)]/(x-x3) отримаємо:

P(x,x12)= P(х1, x23)+P(x,х1,x23)*(x-x3), але P(x,х1,x23)=0 для будь-якого многочлена другого степеня. Отже P(x,x12)= P(х1, x23).

4)Підставимо P(x,x1)= P(х1, x2)+ P(x,х1,x2)*(x-x2) в P(x)=P(x1)+P(x,x1)*(x-x1),

отримаємо P(x)=P(x1)+(x-x1)*[ P(х1, x2)+P(x,х1,x2)*(x-x2)]=

=P(x1)+(x-x1)* P(х1, x2)+(x-x1)*(x-x2)*P(x,х1,x2), тепер згадаємо, що P(x,x12)= P(х1, x23).

Отже P(x)=P(x1)+(x-x1)* P(х1, x2)+(x-x1)*(x-x2)*P(x12,x3).

 

Підставимо значення розділених різниць для приклада 1):

P(x)=P(x1)+ (x-x1)*P(х1,x2)+ (x-x1)*(x-x2)*P(x12, x3)=3+4*(x-1)+1*(x-1)*(x-2)=

=3+4*x-4+x2-3*x+2=x2+x+1. Отримали тотожність.

Приклад 3. Нехай P(x) – будь-який поліном другого порядку, задані:

х1,y1=P(х1),х2, y2=P(х2), х3, y3=P(х3). Точки х123 попарно не співпадають.

Позначимо Q(x)=P(x1)+(x-x1)* P(х1, x2)+(x-x1)*(x-x2)*P(x12,x3).

Треба довести безпосередньо, що y1=P(х1)=Q(x1), y2=P(х2)=Q(x2), y3=P(х3)=Q(x3).

1)Підставимо Q(x1)=P(x1)+(x1-x1)*P(х1, x2)+(x1-x1)*(x1-x2)*P(x12,x3)= P(x1).

2)Підставимо Q(x2)=P(x1)+(x2-x1)*P(х1, x2)+(x2-x1)*(x2-x2)*P(x12,x3)=

P(x1)+(x2-x1)*P(х1,x2)= P(x1)+(x2-x1)*[P(x1)-P(x2)]/(x1-x2)= P(x1)- P(x1)+P(x2)=P(x2).

3)Підставимо Q(x3)=P(x1)+(x3-x1)* P(х1, x2)+(x3-x1)*(x3-x2)*P(x12,x3)=

P(x1)+(x3-x1)*P(х1,x2)= P(x1)+(x3-x1)* P(х1, x2)+ (x3-x1)*(x3-x2)*[P(x1,x2)-P(x2 ,x3)]/(x1-x3)=

=P(x1)+(x3-x1)* P(х1, x2)+(x3-x2)*[P(x2 ,x3)-P(x1,x2)]= P(x1)+ (x3-x1-x3+x2)* P(х1, x2)+

+(x3-x2)*P(x2 ,x3)= P(x1)+(x2 -x1)*P(х1, x2)+ (x3-x2)*[P(x3) - P(x2)]/ (x3-x2) =

= P(x1)+ (x2 -x1)*[P(х1)- P(х2)]/(x1 -x2)+ (x3-x2)*[P(x3) - P(x2)]/ (x3-x2)=

=P(x1)-P(х1)+P(х2)+P(x3)-P(x2)=P(x3)

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 297 | Нарушение авторских прав


 

 

Читайте в этой же книге: Внутренний мальчишка | И так всю жизнь... | Послесловие | И другие проблемы российской эмансипантки | Письмо в газету | Ответ для газеты | Ответ Виктору К. | Риск живых отношений, или Чего делать нельзя! | История третья | Собственное отражение... |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ПСИХОЛОГА| Загальний випадок

mybiblioteka.su - 2015-2022 год. (0.014 сек.)