Загальний випадок

Покажемо,що способом прикладу 2) можна отримати інтерполяційний поліном. Нехай задані попарно різні точки x_i,y_i, i =1,n, де y_i=f(x_i).

Покажемо, що будь-який поліном степені n-1 можна представити в вигляді:

1)Обчислимо розділену різницю першого порядку в точках x, x₁ причому x ≠ x_1,

P(x) є поліномом степеня n -1, розділена різниця першого порядку

P(x, x₁) = [P(x) – P(x₁)]/(x – x₁) буде поліномом степені n -2, поділ полінома

P(x) – P(x₁) на (x – x₁) виконується націло (теорема Безу).

Отже з P(x, x₁) = (P(x) – P(x₁))/(x – x₁) випливає P(x) = P(x₁)+P(x, x₁)*(x – x₁).

2)Аналогічно, з P(x, x₁, x₂) = [P(x, x₁) – P(x₁, x₂)]/(x – x₂) отримаємо:

P(x, x₁) = P(x₁, x₂)+(x–x₂)*P(x, x₁, x₂). Степінь полінома P(x, x₁, x₂) дорівнює n -3.

Підставимо P(x, x₁) = P(x₁, x₂)+(x–x₂)*P(x, x₁, x₂) в P(x) = P(x₁)+P(x, x₁)*(x – x₁):

P(x) = P(x₁) +P(x₁, x₂)*(x – x₁)+ P(x, x₁, x₂)*(x – x₁)*(x – x₂).

3)Далі діємо аналогічно, остання не нульова різниця буде P(x,x₁, x₁, x₁,…, x_n-1), це поліном степені нуль, тобто константа бо у кожній наступній розділеній різниці степінь полінома знижується на 1, а поліном P(x) є поліномом степеня n -1. Отже, всі наступні кінцеві різниці дорівнюють нулю. Отримаємо тотожність:

4) P(x,x₁, x₁, x₁,…, x_n-1)= P(x₁, x₁, x₁,…, x_n-1, x_n) – вони дорівнють константі, це випливає з теореми. Піставивши це в нашу тотожність, остаточно отримаємо:

Всі скінчені різниці P(x₁) = y₁, P(x₁, x₂) = (P(x₂)–P(x₁))/(x₂ – x₁) = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁) і так далі являють собою відомі величини.

Побудуємо інтерполяційний поліном P(x) для точок x_i, y_i (i =1, n) будь-яким способом.

Запишемо його в вигляді поліному Ньютона. Інтерполяційний поліном, записаний у такому виді, називається інтерполяційним поліномом Ньютона. Цей поліном відрізняється від інтерполяційного полінома Лагранжа тільки за формою запису.

Приклад 4. Нехай задані n =4, f (x₁) = y ₁ , f (x₂) = y ₂ , f (x₃) = y ₃ , f (x₄) = y ₄ , де точки x_i (i =1,4) попарно різні.

Нехай P(x)=(x+1)³,x₁=-1,y₁=P(x₁)=0, x₂=0,y₂=P(x₁)=1, x₃=1,y₃=P(x₃)=8, x₄=2,y₄=P(x₄)=27

Побудуємо інтерполяційний поліном третього порядку.

Для цього зручно записати дані у вигляді трикутної таблиці:

y ₁ y ₂ y ₃ y ₄

y ₁₂ y ₂₃ y ₃₄

y ₁₂₃ y ₂₃₄

y ₁₂₃₄

Тут позначені:

1) y ₁₂ =(y ₂ – y ₁)/(x ₂ – x ₁)=(1-0)/1=1,

y ₂₃ =(y ₃ – y ₂)/(x ₃ – x ₂)=(8-1)/1=7,

y ₃₄ =(y ₄ – y ₃)/(x ₄ – x ₃) =(27-8)/1=19

скінчені різниці першого порядку,

2) y₁₂₃=(y₂₃ – y₁₂)/(x₃ – x₁)=(7-1)/(1+1)=3,

y ₂₃₄=(y₃₄ – y ₂₃)/(x ₄ – x ₂) =(19-7)/(2-0)=6

скінчені різниці другого порядку

3) y ₁₂₃₄ =(y ₂₃₄ – y ₁₂₃)/(x ₄ – x ₁)=(6-3)/(2+1)=1

скінчена різниця третього порядку(одна).

Інтерполяційний поліном третього порядку має вигляд:

P(x) = y ₁ + y ₁₂*(x – x ₁) + y ₁₂₃*(x – x ₁)*(x – x ₂) + y ₁₂₃₄*(x – x ₁)*(x – x ₂)*(x – x ₃),

або P(x) = 0+1*(x +1)+3*(x +1)*x +1*(x +1)*x*(x –1)=x+1+3x²+3x+x³-x=

=x³+3x²+3x+1=(x+1)³.

Зверніть увагу, що ми використовували тільки виділенні скінчені різниці.

Цей же поліном можна було записати і так:

P(x) = y ₄ + y ₃₄*(x – x ₄) + y ₂₃₄*(x – x ₄)*(x – x ₃) + y ₁₂₃₄*(x – x ₄)*(x – x ₃)*(x – x ₂).

Такі поліноми були б тотожно рівні!

Дійсно,

P(x) = 27+19*(x–2)+6*(x–2)*(x–1) + 1*(x –2)*(x –1)*x=

=27+19*x-38+6*x²-18*x+12+x³-3*x²+2*x=x³+3*x²+3*x+1.

Для побудови інтерполяційного полінома можна використовувати будь-які скінчені різниці за таким правилом: першу різницю потрібно брати з першого рядка, другу з другого, але тільки сусідню для різниці першого рядка й т.д.

Наприклад, для побудови інтерполяційного полінома можна взяти скінчені різниці y2, y23, y234, y1234. Однак не можна брати y4, y12, y234, y1234, тому що скінчені різниці y4, y12 не є сусідами по таблиці, те ж можна сказати й про скінчені різниці y12, y234.

Дата добавления: 2015-07-08