Тангенциальное и нормальное ускорение

Предположим, например, что частица, двигаясь по какой-то сложной кривой (рисунок), имеет в момент t ₁ скорость v ₁, а несколько позже, в момент t ₂ скорость v ₂. Ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени. Для того, чтобы найти разность скоростей, векторы v ₁ и v ₂ перенесены параллельно и равны их двойникам на предыдущем рисунке. Ускорение равно D v /D t.

Удобно иногда разложить разность скоростей на две составляющие: D v _|| - вектор, параллельный касательной к траектории, и вектор D v _^, перпендикулярный к этой касательной. Касательное к траектории ускорение равно изменению длины вектора, т.е. изменению величины скорости v:

а _|| = dv / dt.

Другую, поперечную составляющую ускорения можно вычислить пользуясь рисунками. За короткое время D t изменение угла между v ₁ и v ₂ равно малому углу Dq. Если величина скорости равна v, то:

D v _^= v Dq, а ускорение равно а _^= v Dq/D t

Для того, чтобы найти Dq/D t, можно приблизительно заменить участок траектории окружностью радиуса R (радиус кривизны). Поскольку за время D t частица пройдет расстояние s = v D t, изменение угла равно

;

следовательно, а _^= .

Более абстрактный, но строгий способ разложения ускорения на составляющие параллельные и перпендикулярные касательной к траектории состоит в следующем. Введем единичный вектор t, связанный с движущейся точкой А и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты l (дуговая координата (l - расстояние вдоль траектории от выбранного начала отсчета О). Очевидно, что t - переменный вектор: он зависит от l. Вектор скорости v точки А направлен по касательной к траектории, поэтому его можно представить так:

v = v _t t,

где v _t = dl / dt - проекция вектора v на направление вектора t, причем v _t - величина алгебраическая. Кроме того,

Продифференцируем последнее выражение для скорости по времени:

Затем преобразуем второе слагаемое этого выражения:

Определим приращение вектора t на участке dl (рисунок). Можно строго показать, что при стремлении точки 2 к точке 1 отрезок траектории между ними стремится к дуге окружности с центром в некоторой точке О. Эту точку называют центром кривизны траектории в данной точке, а радиус r соответствующей окружности - радиусом кривизны траектории в той же точке.

Как видно из рисунка, угол da = dl /r = ï d t ï/1, откуда

ï d t / dl ï = 1/r, причем при dl ® 0 d t ^ t. Введя единичный вектор n нормали к траектории в точке А, направленный к центру кривизны, запишем последнее равенство в векторном виде:

d t / dl = n /r.

Окончательно получим для ускорения:

a = t +

Здесь первое слагаемое называют тангенциальным ускорением, второе - нормальным ускорением. Таким образом, полное ускорение а материальной точки может быть представлено как векторная сумма тангенциального и нормального ускорений.

Тангенциальное ускорение показывает, с какой скоростью изменяется во времени модуль вектора скорости, т.е. численная величина скорости. Нормальное ускорение показывает, с какой скоростью изменяется во времени направление вектора скорости. Для того, чтобы лучше представить это, рассмотрим частный случай – движение тела по окружности.

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рисунок). Длина дуги связана с углом поворота соотношением

Δl = R Δφ.

При малых углах поворота Δl ≈ Δs.

При равномерном движении по окружности модуль вектора скорости (величина скорости) остается постоянной. Изменяется во времени только направление вектора скорости. Рассмотрим две близко расположенные точки круговой траектории А и В, перемещение между которыми соответствует малому интервалу времени . Изменение вектора скорости при этом составит . Обозначим v _B = v _A = v. Из равнобедренного треугольника DBC находим . При малой величине синус можно заменить аргументом . Угол поворота можно представить как отношение длины дуги к радиусу R окружности. Тогда приращение скорости составит . Ускорение будет равно . В пределе, при стремлении к нулю промежутка времени последнее равенство переходит в точное. Направление вектора при этом будет по радиусу к центру окружности (центр окружности в данном случае совпадает с центром кривизны траектории в каждой точке окружности), т.е. перпендикулярно к касательной траектории. Таким образом, при равномерном движении по окружности все ускорение является нормальным и величина его равна . Ускорение определяется изменением во времени направления вектора скорости, но не ее величины.

Дата добавления: 2015-07-07