Читайте также:
|
Помощь ✍️ в написании учебных работ
|
Предположим, например, что частица, двигаясь по какой-то сложной кривой (рисунок), имеет в момент t1 скорость v1, а несколько позже, в момент t2 скорость v2. Ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени. Для того, чтобы найти разность скоростей, векторы v1 и v2 перенесены параллельно и равны их двойникам на предыдущем рисунке. Ускорение равно Dv/Dt.
Удобно иногда разложить разность скоростей на две составляющие: Dv|| - вектор, параллельный касательной к траектории, и вектор Dv^, перпендикулярный к этой касательной. Касательное к траектории ускорение равно изменению длины вектора, т.е. изменению величины скорости v:
а|| = dv/dt.
Другую, поперечную составляющую ускорения можно вычислить пользуясь рисунками. За короткое время Dt изменение угла между v1 и v2 равно малому углу Dq. Если величина скорости равна v, то:
Dv^= vDq, а ускорение равно а^= vDq/Dt
Для того, чтобы найти Dq/Dt, можно приблизительно заменить участок траектории окружностью радиуса R (радиус кривизны). Поскольку за время Dt частица пройдет расстояние s = vDt, изменение угла равно
;
следовательно, а^= .
Более абстрактный, но строгий способ разложения ускорения на составляющие параллельные и перпендикулярные касательной к траектории состоит в следующем. Введем единичный вектор t, связанный с движущейся точкой А и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты l (дуговая координата (l - расстояние вдоль траектории от выбранного начала отсчета О). Очевидно, что t - переменный вектор: он зависит от l. Вектор скорости v точки А направлен по касательной к траектории, поэтому его можно представить так:
v = vt t,
где vt = dl/dt - проекция вектора v на направление вектора t, причем vt - величина алгебраическая. Кроме того,
Продифференцируем последнее выражение для скорости по времени:
Затем преобразуем второе слагаемое этого выражения:
Определим приращение вектора t на участке dl (рисунок). Можно строго показать, что при стремлении точки 2 к точке 1 отрезок траектории между ними стремится к дуге окружности с центром в некоторой точке О. Эту точку называют центром кривизны траектории в данной точке, а радиус r соответствующей окружности - радиусом кривизны траектории в той же точке.
Как видно из рисунка, угол da = dl/r = ïdtï/1 , откуда
ïdt/dlï = 1/r, причем при dl ® 0 dt ^ t. Введя единичный вектор n нормали к траектории в точке А, направленный к центру кривизны, запишем последнее равенство в векторном виде:
dt/dl = n/r.
Окончательно получим для ускорения:
a = t +
Здесь первое слагаемое называют тангенциальным ускорением, второе - нормальным ускорением. Таким образом, полное ускорение а материальной точки может быть представлено как векторная сумма тангенциального и нормального ускорений.
Тангенциальное ускорение показывает, с какой скоростью изменяется во времени модуль вектора скорости, т.е. численная величина скорости. Нормальное ускорение показывает, с какой скоростью изменяется во времени направление вектора скорости. Для того, чтобы лучше представить это, рассмотрим частный случай – движение тела по окружности.
Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рисунок). Длина дуги связана с углом поворота соотношением
Δl = R Δφ. |
При малых углах поворота Δl ≈ Δs.
При равномерном движении по окружности модуль вектора скорости (величина скорости) остается постоянной. Изменяется во времени только направление вектора скорости. Рассмотрим две близко расположенные точки круговой траектории А и В, перемещение между которыми соответствует малому интервалу времени . Изменение вектора скорости при этом составит
. Обозначим vB = vA = v. Из равнобедренного треугольника DBC находим
. При малой величине
синус можно заменить аргументом
. Угол поворота
можно представить как отношение длины дуги
к радиусу R окружности. Тогда приращение скорости составит
. Ускорение будет равно
. В пределе, при стремлении к нулю промежутка времени
последнее равенство переходит в точное. Направление вектора
при этом будет по радиусу к центру окружности (центр окружности в данном случае совпадает с центром кривизны траектории в каждой точке окружности), т.е. перпендикулярно к касательной траектории. Таким образом, при равномерном движении по окружности все ускорение является нормальным и величина его равна
. Ускорение определяется изменением во времени направления вектора скорости, но не ее величины.
![]() |
![]() |
Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 284 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Вектор скорости и ускорения | | | Кинематика вращательного движения |