Сведения из векторной алгебры

Опишем законы, или правила, регулирующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего, изучим сумму двух векторов. Пусть векторы а и b задаются в какой-нибудь системе координат составляющими a_x, a_y, a_z и b_x, b_y, b_z. Предположим, что кому-то пришло в голову составить три числа a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z. Получим ли мы в результате вектор? Вектор образуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы должны связать заданные нам три числа с координатной системой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа преобразовывались по описанным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z, если известно, что при изменении системы координат числа a_x, a_y, a_z переходят в , а b_x, b_y, b_z переходят в ? Получим ли мы после поворота координатных осей числа ? Ответ, конечно, будет утвердительным потому, что уравнения для закона преобразования (1) линейны. «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получим новый вектор с. Мы запишем это так:

c = а + b.

Вектор с обладает свойством:

с = b + a;

это легко проверить, написав составляющие вектора с. Кроме того,

a + (b + c) = (a + b) + c.

Векторы можно складывать в любом порядке.

Каков геометрический смысл a + b? Как будет выглядеть вектор с, если мы, скажем, изобразим a и b с помощью стрелок? Ответ на этот вопрос дает рисунок. Мы видим, что прибавить составляющие вектора b к составляющим вектора а проще всего, приложив соответствующим образом прямоугольник, определяемый составляющими b, к такому же прямоугольнику, определяемому составляющими а. Поскольку а и b хорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что поставить вектор b «ногами» на «голову» вектору а. Стрелка, соединяющая «ноги» вектора а и «голову» вектора b, и будет вектором с. Можно поступить иначе: поставить «ноги» а на «голову» b. Вспомнив геометрические свойства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор с. Заметим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей.

Предположим, что мы умножили вектор а на число a. Что нужно понимать под таким произведением? Договоримся понимать под этим вектор с компонентами a a_x, a a_y, a a_z. Легко увидеть из законов преобразования (1), что это действительно вектор.

Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором (- b). Результат буде тот же.

Вычитание векторов показано на рисунке. На этом чертеже изображено d = a – b.

Дата добавления: 2015-07-07