Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вектор скорости и ускорения

Читайте также:
  1. Абсолютного ускорения точки
  2. Аксиомы векторного пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости.
  3. Асчет ходовой скорости движениЯ грузовых и пассажирских поездов
  4. Вектор ab
  5. Вектор власти
  6. Вектор классификации слов и понятий
  7. Вектор переміщення. Швидкість.

Термин «скорость» имеет в физике более широкий смысл, чем в обыденной жизни. Это не просто некоторое ко­личество метров в секунду, т. е. абсолютная величина скоро­сти, но и направление перемещения в каждый момент времени. Математически мы можем описать и величину, и направление скорости, если будем задавать изменение координат тела с течением времени. Пусть, например, в некоторый момент тело движется так, как это показано на рисунке. Тогда за малый промежуток времени Dt оно пройдет некоторое расстояние Dх в направлении оси х,, Dу в направлении оси у и Dz в на­правлении оси z. Результатом же этих изменений координат будет перемещение Ds вдоль диагонали параллелепипеда со сторонами Dx, Dу, Dz, которые следующим образом связаны с составляющими скорости и интервалом:

Dx = vxDt, Dy = vyDt, Dz = vzDt.

Таким образом, мы разложили скорость на составляющие (компоненты), которые говорят нам, насколько быстро продвигается тело в направлениях х, у, z. Скорость будет полностью определена как в отношении ее направления, так и абсолютной величины, если задать числовые направления трех ее компонент:

vx = /dt; vу = /dt; vz = dz/dt

При этом абсолютная величина скорости равна

Если координаты точки равны х,у,z, то компоненты ее скорости равны /dt, /dt, dz/dt. Вектор ли это? Легко увидеть из законов преобразования (1), что величины /dt, /dt, dz/dt преобразуются по тому же закону, что и х,у,z. Таким образом, скорость есть вектор. Выражение для скорости можно записать в виде:

Векторная разность положений частицы равна вектору Dr = r2 - r1 (рисунок), расположенному вдоль направления движения. Вектор Drназывают вектором перемещения. Если разделить этот вектор на промежуток времени Dt = t2 - t1 , то мы получим вектор «средней скорости» за промежуток времени от t1 до t2 (среднее значение функции всегда определяется в каком-то интервале значений аргумента):

Под вектором мгновенной скорости, или просто под вектором скорости, мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам t + Dt и t, деленной на Dt при Dt, стремящемся к нулю:

Таким образом, мгновенная скорость это предел, к которому стремится средняя скорость в промежутке времени, стремящемся к нулю.

Скорость есть вектор, поскольку она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что составляющие этого вектора /dt, /dt, dz/dt преобразуются по правильному закону.

Вектор ускорения равен производной по времени вектора скорости, причем легко показать, что его составляющие равны вторым производным х,у и z по t:

 

Таким образом, зная зависимость r(t), можно найти скорость v и ускорение а точки в каждый момент времени.

Возникает и обратная задача: можно ли найти v(t) и r(t), зная зависимость от времени ускорения a(t)?

Оказывается, для получения однозначного решения этой задачи одной зависимости a(t) недостаточно, необходимо еще знать начальные условия, а именно скорость v0 и радиус-вектор r0 точки в некоторый начальный момент t = 0. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим простейший случай, когда в процессе движения ускорение точки а = const.



Сначала определим скорость точки v(t). Из выражения следует, что за промежуток времени dt элементарное приращение скорости dv = a dt. Проинтегрировав это выражение по времени от t = 0 до t, найдем приращение вектора скорости за это время:

.

Но величина Dv – это еще не искомая скорость v. Чтобы найти v, необходимо знать скорость v0 в начальный момент времени. Тогда v = v0 + Dv, или

v = v0 + at.

Аналогично решается вопрос и о радиусе-векторе r(t) точки. За промежуток времени dt элементарное приращение радиус-вектора dr = vdt. Интегрируя это выражение с учетом найденной зависимости v(t), определим приращение радиус-вектора за время от t = 0 до t:

.

Для нахождения самого радиус-вектора r(t) необходимо знать еще положение точки r0 в начальный момент времени. Тогда r = r0 + v0t + at2/2.

Рассмотрим, например, движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью v0. Если считать, что камень движется с постоянным ускорением a = g, то его положение относительно точки бросания (r0 = 0) определяется радиус-вектором

Загрузка...

r = v0t + gt2/2,

т.е. в данном случае r представляет собой сумму двух векторов, что показано на рисунке.

Итак, для полного решения задачи о движении точки – определения ее скорости v и положения r в зависимости от времени – недостаточно знать зависимость a(t), но еще необходимо знать и начальные условия, т.е. скорость v0 и радиус-вектор r0 точки в некоторый начальный момент времени.

Актуальной является также задача расчета пути , пройденного телом в заданный интервал времени , если известна зависимость скорости тела от времени v(t). Разобьем весь путь на бесконечно малые участки. Длина каждого из этих участков составит . Полный путь равен сумме длин всех бесконечно малых его участков. В математики такая сумма вычисляется с помощью интеграла:

.

Важно не путать длину пути с модулем вектора перемещения. Длина пути это длина в общем случае криволинейного участка траектории, а модуль вектора перемещения это длина прямой, соединяющей концы рассматриваемого участка траектории.

 

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 694 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: МЕХАНИКА | Высказывания о времени | Большие времена | Большие расстояния | Малые расстояния | Векторы | Сведения из векторной алгебры | Кинематика вращательного движения |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Скалярное произведение векторов| Тангенциальное и нормальное ускорение

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.048 сек.)