Вектор скорости и ускорения

Термин «скорость» имеет в физике более широкий смысл, чем в обыденной жизни. Это не просто некоторое ко­личество метров в секунду, т. е. абсолютная величина скоро­сти, но и направление перемещения в каждый момент времени. Математически мы можем описать и величину, и направление скорости, если будем задавать изменение координат тела с течением времени. Пусть, например, в некоторый момент тело движется так, как это показано на рисунке. Тогда за малый промежуток времени D t оно пройдет некоторое расстояние D х в направлении оси х,, D у в направлении оси у и D z в на­правлении оси z. Результатом же этих изменений координат будет перемещение D s вдоль диагонали параллелепипеда со сторонами D x, D у, D z, которые следующим образом связаны с составляющими скорости и интервалом:

D x = v_x D t, D y = v_y D t, D z = v_z D t.

Таким образом, мы разложили скорость на составляющие (компоненты), которые говорят нам, насколько быстро продвигается тело в направлениях х, у, z. Скорость будет полностью определена как в отношении ее направления, так и абсолютной величины, если задать числовые направления трех ее компонент:

v_x = dх / dt; v_у = dу / dt; v _z = dz / dt

При этом абсолютная величина скорости равна

Если координаты точки равны х, у, z, то компоненты ее скорости равны dх / dt, dу / dt, dz / dt. Вектор ли это? Легко увидеть из законов преобразования (1), что величины dх / dt, dу / dt, dz / dt преобразуются по тому же закону, что и х, у, z. Таким образом, скорость есть вектор. Выражение для скорости можно записать в виде:

Векторная разность положений частицы равна вектору D r = r ₂ - r ₁ (рисунок), расположенному вдоль направления движения. Вектор D r называют вектором перемещения. Если разделить этот вектор на промежуток времени D t = t ₂ - t ₁, то мы получим вектор «средней скорости» за промежуток времени от t ₁ до t ₂ (среднее значение функции всегда определяется в каком-то интервале значений аргумента):

Под вектором мгновенной скорости, или просто под вектором скорости, мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам t + D t и t, деленной на D t при D t, стремящемся к нулю:

Таким образом, мгновенная скорость это предел, к которому стремится средняя скорость в промежутке времени, стремящемся к нулю.

Скорость есть вектор, поскольку она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что составляющие этого вектора dх / dt, dу / dt, dz / dt преобразуются по правильному закону.

Вектор ускорения равен производной по времени вектора скорости, причем легко показать, что его составляющие равны вторым производным х, у и z по t:

Таким образом, зная зависимость r (t), можно найти скорость v и ускорение а точки в каждый момент времени.

Возникает и обратная задача: можно ли найти v (t) и r (t), зная зависимость от времени ускорения a (t)?

Оказывается, для получения однозначного решения этой задачи одной зависимости a (t) недостаточно, необходимо еще знать начальные условия, а именно скорость v ₀ и радиус-вектор r ₀ точки в некоторый начальный момент t = 0. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим простейший случай, когда в процессе движения ускорение точки а = const.

Сначала определим скорость точки v (t). Из выражения следует, что за промежуток времени dt элементарное приращение скорости d v = a dt. Проинтегрировав это выражение по времени от t = 0 до t, найдем приращение вектора скорости за это время:

.

Но величина D v – это еще не искомая скорость v. Чтобы найти v, необходимо знать скорость v ₀ в начальный момент времени. Тогда v = v ₀ + D v, или

v = v ₀ + a t.

Аналогично решается вопрос и о радиусе-векторе r (t) точки. За промежуток времени dt элементарное приращение радиус-вектора d r = v dt. Интегрируя это выражение с учетом найденной зависимости v (t), определим приращение радиус-вектора за время от t = 0 до t:

.

Для нахождения самого радиус-вектора r (t) необходимо знать еще положение точки r ₀ в начальный момент времени. Тогда r = r ₀ + v ₀t + a t²/2.

Рассмотрим, например, движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью v ₀. Если считать, что камень движется с постоянным ускорением a = g, то его положение относительно точки бросания (r ₀ = 0) определяется радиус-вектором

r = v ₀t + g t²/2,

т.е. в данном случае r представляет собой сумму двух векторов, что показано на рисунке.

Итак, для полного решения задачи о движении точки – определения ее скорости v и положения r в зависимости от времени – недостаточно знать зависимость a (t), но еще необходимо знать и начальные условия, т.е. скорость v ₀ и радиус-вектор r ₀ точки в некоторый начальный момент времени.

Актуальной является также задача расчета пути , пройденного телом в заданный интервал времени , если известна зависимость скорости тела от времени v (t). Разобьем весь путь на бесконечно малые участки. Длина каждого из этих участков составит . Полный путь равен сумме длин всех бесконечно малых его участков. В математики такая сумма вычисляется с помощью интеграла:

.

Важно не путать длину пути с модулем вектора перемещения. Длина пути это длина в общем случае криволинейного участка траектории, а модуль вектора перемещения это длина прямой, соединяющей концы рассматриваемого участка траектории.

Дата добавления: 2015-07-07