Векторы

Физические законы обладают двумя свойствами, которые называют инвариантностью (или симметрией) относительно перемещений и поворотов координатных осей. Эти свойства так важны, что для учета их при изучении физических законов была разработана специальная математическая техника, называемая векторным анализом.

Важно различать физические величины двух типов. Величины первого типа характеризуются только численным значением (например, температура, количество предметов и т.д.) - это скаляры. Другие величины - векторы - характеризуются не только численным значением, но и направлением в пространстве. Численные значения физических величин и их направление в каждой точке пространства не зависят от выбора системы координат. Например, перемещение из начала координат в точку Р (х, у, z) (шаг в пространстве, который имеет определенную длину и направление).

Вектор определяется тремя числами - его проекциями на координатные оси. Например, перемещение из начала координат в точку Р (х, у, z) можно описать тремя числами х, у, z. Но можно использовать для этой цели один - единственный символ r (радиус-вектор). Символ r задается не только тремя числами х, у, z, но и числами в другой системе координат. Т.е. мы используем один и тот же символ в качестве представителя трех чисел в одной системе координат и делаем его представителем второго набора чисел, если захотим сменить систему координат. Это удобно потому, что не придется изменять форму уравнений при изменении системы координат. Очевидно, что проекции вектора при изменении системы координат должны измениться по строго определенным законам, таким же, как и тройки чисел х, у, z и . Только в этом случае, проекции вектора отображают один и тот же объект во всех системах координат. Для шага в пространстве нам очевидно, что это один и тот же объект во всех системах координат (шаг имеет определенную длину и направление в пространстве не зависящие от выбора системы координат). А бывают случаи, когда требуется специальное исследование, устанавливающее, по каким законам изменяются тройки чисел, характеризующие величину, при изменении системы координат, заранее это не очевидно. Если эти законы такие же, как и для тройки чисел х, у, z, то величине присваивается статус вектора (объекта, не зависящего от выбора системы координат).

Определим вектор математически как величину, определяемую тремя числами, которые преобразуются при изменении системы координат так же, как и координаты. То, что физические соотношения между какими-то величинами можно выразить в форме векторных уравнений отражает тот факт, что эти соотношения верны в любой системе координат.

Часто бывает удобно изобразить вектор в виде стрелки, указывающей направление. Стрелка преобразуется при изменении системы координат по тем же законам, что и шаг в пространстве. Изобразив ее, не нужно заботиться о координатных осях.

Дата добавления: 2015-07-07