Скалярное произведение векторов

Легко понять, что длина шага в пространстве одинакова во всех координатных схемах. Следовательно, если какому-то шагу r соответствуют составляющие х, у, z в одной системе координат и составляющие в другой системе, то расстояние одно и тоже в обеих системах:

Легко доказать с помощью законов преобразования (1), что эти расстояния равны. Удобней сравнивать квадраты расстояний:

.

Незаметно мы получили новый тип величин. Мы можем построить функцию координат х, у, z, называемую скалярной функцией, - величину, которая не имеет направления, и одинакова во всех системах координат. Из вектора можно построить скаляр. Правило для этого мы уже нашли: нужно возвести в квадрат каждую из составляющих вектора и сложить их. Определим теперь новую величину, которую обозначим а × а. Это не вектор, а скаляр; это число, одинаковое во всех координатных системах и определяемое как сумма квадратов трех составляющих вектора:

(2)

Вы спросите: «В какой системе координат?» Но раз это число не зависит от системы координат, то ответ одинаков в любой системе координат. Мы имеем дело с новым видом величины, с инвариантом, или скаляром, полученным «возведением вектора в квадрат». Если теперь определить, исходя из векторов a и b, величину

(3)

то можно убедиться, что эта величина совпадает в штрихованной и нештрихованной системах координат. Чтобы доказать это, заметим, что это верно для величин а × а, b × b, c × c, где c = a + b. Мы уже знаем, что инвариантом является сумма квадратов:

Раскроем скобки в обеих сторонах этого уравнения. Перекрестные произведения дадут нам выражения типа (3), а суммы квадратов составляющих a и b – выражения типа (2). Инвариантность слагаемых типа (2) приводит к инвариантности перекрестных произведений типа (3).

Величина называется скалярным произведением двух векторов a и b и имеет много интересных и полезных свойств.

Например, легко доказать, что

Есть еще очень простой геометрический способ вычисления , при котором не надо определять составляющих векторов; просто есть произведение длин векторов a и b на косинус угла между ними. Почему? Предположим, что мы выбрали такую систему координат, в которой вектор а направлен вдоль оси х; в этом случае вектор а имеет единственную ненулевую составляющую а_х, которая равна длине вектора а. Таким образом, уравнение (3) сводится в этом случае к , что равно произведению длины вектора а на составляющую вектора b по направлению а, которая в свою очередь равна b cosq, т.е.

.

Таким образом, в этой частной системе координат мы доказали, что есть произведение длин векторов a и b на косинус угла между ними. Но если это верно в одной системе координат, то это верно и во всех системах, потому что не зависит от выбора системы координат.

Что хорошего может дать нам эта новая величина? Нужно ли физику скалярное произведение? Да, оно необходимо ему постоянно. С примерами этого мы неоднократно столкнемся. Скалярное произведение широко используется не только в физике и математике, а и во многих других науках.

Дата добавления: 2015-07-07