Кинематика вращательного движения. Угловые скорости и ускорение

Все точки абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси ОО, движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Радиус-вектор каждой точки за время Δt поворачивается на один и тот же угол Δφ. Поворот тела на некоторый угол φ можно задать в виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадает с осью, вокруг которой совершен поворот. Для того чтобы указать, в какую сторону совершается поворот вокруг данной оси, условились связывать направление поворота и изображающего его отрезка так называемым правилом правого винта. Согласно этому правилу, направление отрезка должно быть таким, чтобы, глядя вдоль этого направления, мы видели поворот совершающимся по часовой стрелке (так, как происходит при вращении винта с правой нарезкой резьбы). Векторы, направление которых связывается с направлением вращения, называют аксиальными (в отличие от векторов перемещения, скорости, ускорения, относящихся к полярным векторам).

Величина: является модулем угловой скорости тела. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в сторону, которая определяется правилом правого винта (рис. 9).

Рис. 9. Направление вектора угловой скорости твердого тела. ОО – ось вращения

Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным, при этом . Таким образом, при равномерном вращении значение ω показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. Равномерное вращение можно характеризовать периодом обращения Т, под которым подразумевается время, за которое тело совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол . Поэтому выполняется: (36) откуда: (37).

Число оборотов в единицу времени (частота вращения) равно: (38).

Вектор угловой скорости может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (в этом случае он изменяется по величине), так и за счет поворота оси – вращения в пространстве (в этом случае изменяется по направлению). Пусть за время Δt вектор получает приращение . Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется величиной: (39), которую называют угловым ускорением. Вектор , как и , является аксиальным.

Когда направление вращения оси в пространстве остается постоянным, угловая скорость изменяется только по величине, следовательно, . Используя (39), получим модуль углового ускорения: (40).

Поскольку в этом случае вектор параллелен вектору , то формула (40) может быть записана так: (41).

В этой формуле β – алгебраическая величина, которая положительна, если угловая скорость увеличивается со временем (в этом случае векторы и параллельны), и отрицательна, если угловая скорость уменьшается (направления векторов и противоположны).

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой из точек, направленная по касательной к соответствующей окружности, непрерывно изменяет свое направление. Покажем, что величина скорости определяется угловой скоростью вращения тела ω и расстоянием R от рассматриваемой точки тела до оси вращения. Пусть за малый промежуток времени Δt тело повернулось на угол Δφ (рис. 10).

Точка, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, проходит при этом путь Δs, равный: (42).

По определению, линейная скорость МТ равна: (43).

Следовательно, взаимосвязь между угловой скоростью вращения тела ω и линейной скоростью МТ имеет вид: (44).

Итак, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем с большей линейной скоростью

она движется.

Найдем линейное ускорение точек вращающегося тела. Подставляя в выражение для модуля нормального ускорения (27) линейную скорость (44), получим: (45).

Используя выражение для модуля тангенциального ускорения (33) и (44), имеем: (46).

Следовательно, между тангенциальным и угловым ускорением есть взаимосвязь: (46а).

Таким образом, как нормальное, так и тангенциальное ускорение растет линейно с увеличением расстояния от МТ до оси вращения тела.

Найдем взаимосвязь между векторами и с помощью векторного произведения. Пусть тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью (рис. 11).

Рис. 11. Связь между векторами угловой и линейной скорости

Пользуясь определением векторного произведения, видим, что векторное произведение на радиус-вектор представляет собой вектор, совпадающий по направлению с вектором и имеющий модуль, равный . Таким образом, векторное произведение и по направлению, и по модулю равно вектору : (47).

Вопросы

1. Материальная точка.

2. Траектория.

3. Движение бывает.

4. Пройденный путь.

5. Перемещение.

6. Траектория и перемещение материальной точки.

7. Векторы перемещения материальной точки.

8. Суммарное перемещение.

9. Результат сложения векторов.

10. Скаляры.

11. Радиус-вектор материальной точки в зависимости от времени.

12. Скорость МТ.

13. Мгновенная скорость.

14. Скорость как секущая траектории материальной точки.

15. Путь, пройденный МТ за промежуток времени от t₁ до t₂.

16. Геометрическая интерпретация пути.

17. Равномерное движение.

18. Ускорение.

19. Скорость при равноускоренном движении.

20. Направление вектора скорости при прямолинейном движении.

21. Равномерное движение по окружности радиуса R.

22. Нормальное ускорение.

23. Рисунок к определению полного ускорения.

24. Тангенциальное ускорение.

25. Модуль вектора полного ускорения.

26. Правило правого винта.

27. Аксиальные вектора.

28. Модуль угловой скорости тела.

29. Направление вектора угловой скорости твердого тела.

30. Угловая скорость.

31. Период обращения.

32. Частота вращения.

33. Угловое ускорение.

34. Взаимосвязь между угловой скоростью вращения тела ω и линейной скоростью МТ.

35. Взаимосвязь между тангенциальным и угловым ускорением.

36. Рисунок к расчету взаимосвязи угловой и линейной скорости.

37. Взаимосвязь между векторами и .

Дата добавления: 2015-07-07