Теоретико-множественные представления

(ТМП) здесь рассматриваются как класс методов формализован­ного представления систем (см.). Символически отображение си­стемы в виде множества, состоящего из совокупности подмно­жеств, показано на рис. 1.

Теоретико-множественные представле­ния базируются на понятиях множество, эле­менты множества, отношения на множе­ствах.

Система может быть представлена сово­купностью множеств или подмножеств раз­нородных компонентов.

Понятие «множество» относится к числу интуитивно постигаемых понятий, которым

трудно дать определение. Это понятие содержательно эквивален­тно понятиям «совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллек­ция», «семейство», «класс» и другим обобщающим понятиям.

Один из основоположников теории множеств* Георг Кантор определял множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Множества могут задаваться следующими способами:

1) списком, перечислением (интенсиональным путем), например,

Ц},где/= 1...Л, (1)

или

<а_х,а₂,...,а;,...,а_п>, (l_fl)

где cij e A, e - знак вхождения элементов в множество;

2) путем указания некоторого характеристического свойства
А (экстенсионально). Например, «множество натуральных чисел»,
«множество рабочих данного завода», «множество планет сол­
нечной системы», «множество А» и т.д

В основе теоретико-множественных преобразований лежит принцип перехода от одного способа задания множества к дру­гому:

А = <a_l,a₂,...,a_j,...,a_n>, (2)

или

<я,, а₂,..., я,,..., а_п> ->А. (2а)

Переход от интенсионального способа задания множества к экстенсиональному называют принципом свертывания.

В множестве могут быть выделены подмножества. Вхождение элементов в любое множество или подмножество описывается зна­ком принадлежности е, а вхождение подмножества в множество записывается В а А. Это означает, что все элементы подмноже­ства В являются одновременно элементами множества А:

Ь_{е В Ь_}еА

6₂ € В b₂e A

-*B<zA
b„e В Ь„еА

П п

""Независимо от Г. Кантора математическую теорию бесконечных мно­жеств создал чешский ученый Б. Больцано, основной труд которого опубли­кован много лет спустя после его смерти.

Важным является понятие пустое множество - множество, в котором в данный момент нет ни одного элемента: D - 0.

При использовании ТМП в соответствии с концепцией Кан­тора можно вводить любые отношения. В случае уточнения этих отношений применительно к множествам удобно пользоваться наглядными диаграммами Эйлера-Венна, примеры которых для операции объединения (и), пересечения (& или п), дополнения (отрицания, обозначаемого знаком «-» над именем множества либо знаком «-л» перед именем множества или его элемента) приведены на рис. 2.

Теории, развивавшиеся на базе ТМП, первоначально исполь­зовали отношения, подобные функциям алгебры логики, и в пер­вую очередь - бинарной алгебры логики Буля (см. Математи­ческая логика).

В большинстве работ [1, 2, 3, 7,12 и др.] ТМП излагаются на приме­ре теории чисел, для развития которой достаточно основных элемен­тарных отношений е, С, с, <х, Q, u, n, -i.

По мере приложения ТМП к более сложным проблемам отношения начинают заимствоваться из математической лингвистики (которую те­ория множеств, в свою очередь, помогает развивать), а при отображе­нии особо сложных проблемных ситуаций с неопределенностью разра­батываемую или исследуемую систему отображают множествами с отношениями произвольного типа (так, например, в случае применения ТМП в ситуационном моделировании используются отношения «быть над», «быть под», «находиться рядом» и т.п., которые допустимо обо­значать в разрабатываемом на этой основе языке моделирования про­извольными символами, удобными ЛПР).

Особого внимания заслуживает преобразование множеств путем установления взаимоотношений между элементами разных

исходных множеств.

Из двух или нескольких множеств можно сформировать ус­тановлением отношений между элементами этих множеств новое множество. Это новое множество, как правило, следует рассмат­ривать как состоящее из принципиально новых элементов.

Например, объединяя элементы из множества «конденсаторы С» и множества «катушки индуктивности L», получим новое множество «ко­лебательные контуры КК» (если, конечно, введенное отношение между исходными элементами отображает необходимые действия по объеди­нению соответствующих выводов конденсаторов и катушек индуктив­ности). Аналогично можно отобразить процесс бракосочетания: из мно­жеств «женихи У» и «невесты G» в ЗАГСе путем соответствующей

операции (процедуры регистрации брака) формируется множество «Се­мьи С», элементы которого^ = ^<y_ir_kg_J^>, где у,е Y,gjE G,r_ke R_e,R„~ множество взаимоотношении между людьми, имеющих принципиаль­но новый смысл для общества.

При этом важно отметить, что не только установление како­го-либо вида специальных отношений, как в приведенных при­мерах, но и формирование элементов нового множества путем простого «помещения рядом» элементов исходных множеств по­зволяет получать эффект появления нового смысла, что обеспе­чивается доосмыслением взаимоотношений человеком на осно­ве его предшествующего опыта. Это важно при моделировании ситуаций с большой исходной неопределенностью, когда неизве­стен характер взаимоотношений между элементами разных групп

(подмножеств), выявленных для отображения системы, проблем­ной ситуации.

Данный эффект используется при моделировании процесса автоматизации формирования и анализа структур целей и функ­ций (см.), в теории морфологического моделирования (см. Мор­фологический подход).

При использовании таких преобразований необходимо предвари­тельно оценивать перебор. При получении нового множества из элемен­тов 2, 3 или более исходных подмножеств с математической точки зрения имеет место операция размещения с повторениями, при использо­вании которой число получаемых компонентов

K = k_lxk₂x... xk_n, (3)

где Л_р к₂,..., к_п - количества элементов в подмножествах M_v М_г,... М_п, что дает существенно меньший перебор, чем формирование со­четаний (число которых С_п^т = пУт\(п-т))).

Между теоретико-множественными описаниями разных систем или их частей можно устанавливать соответствия. Для характеристики сход­ства множеств (подмножеств) можно использовать понятия гомоморфиз­ма (см.), изоморфизма (см.), автоморфизма, отношения рефлексивности, симметричности, транзитивности (см. Семиотические представления), заимствованные теорией множеств из других разделов математики.

Для отображения систем важными понятиями являются понятия ор­динарного и экстраординарного множеств. Если множество сформиро­вано из геометрических фигур, например треугольников, и принято ус­ловие, что формирование нового множества осуществляется в той же плоскости, то полученное новое множество будет также плоской гео­метрической фигурой, а, возможно, даже и треугольником. Такие мно­жества относят к классу ординарных. Аналогично можно посмотреть на множество колебательных контуров, которые так же, как конденса­торы и катушки индуктивности, являются элементами радиотехничес­ких устройств.

Однако, учитывая принципиально новые свойства колебательного контура, можно эту же ситуацию трактовать как формирование экстра­ординарного множества с принципиально новыми свойствами элемен­тов. При формировании экстраординарного множества в примере с семьей изменяются не только свойства множества, но и суть и даже наи­менования исходных элементов («жених» —» «муж», «невеста» -» «жена»).

Важным понятием для освоения и использования ТМП явля­ется понятие континуума (от лат. continuum - непрерывный) -связного обобщающего множества (т.е. как бы единого непре-

рывного пространства), в рамках которого осуществляются опе­рации над множествами (их изъятие, добавление новых, объеди­нение, пересечение и т.п.).

В простейших случаях континуум может быть задан грани­цей, которая не изымается даже в случае, если исключаемое мно­жество (подмножество) вплотную смыкается с этой границей (в примерах, приведенных на рис. 2, роль континуума играет пря­моугольник). Роль континуума может играть пустое множество, значительно больших потенциальных размеров, чем входящие в него подмножества. Но в более общем случае, особенно при ото­бражении открытой системы (см.), в которую могут постоянно включаться новые подмножества с непредсказуемыми граница­ми, континуум формируется как внешняя граница всех пересека­ющихся или другим образом взаимодействующих подмножеств, с помощью которых отображается система.

Понятно, что в случае моделирования развивающихся систем континуум постоянно видоизменяется, и его изменения, в том числе сохранение связности, нужно постоянно уточнять.

Благодаря тому, что в соответствии с первоначальной кон­цепцией Кантора в случае применения теории множеств допус­тимо введение любых произвольных отношений, ТМП стали использоваться как обобщающий язык при сопоставлении раз­личных направлений математики и других дисциплин, явились основой для возникновения новых научных направлений или раз­вития существующих.

В частности, ТМП получили широкое распространение для уточнения ряда математических направлений (первой теорией, для которой на основе этих представлений были получены важ­ные новые результаты, была теория чисел); сыграли большую роль в становлении комбинаторики, топологии, в разработке теории «размытых» множеств Л. Заде [6]; на их основе стали создаваться первые информационно-поисковые языки, языки автоматизации моделирования; на ТМП базируется вариант математической теории систем М. Месаровича [9].

Использование ТМП при моделировании систем позволяет организовать взаимодействие и взаимопонимание между специ­алистами различных областей знаний. С их помощью можно за­писать различные определения системы и выбрать из них то, ко­торое в наибольшей степени отражает концепцию исследователей, проектировщиков.

,**■.. "f ■

Конкретная система при первоначальном описании может быть отображена теоретико-множественной формулой, включа­ющей наборы различных элементов (например, А, В, Q, отноше­ний между ними (R), которые могут быть также разделены на подмножества (Л,, R₂, Я₃ и т.д), свойств элементов (£>_д, Q_b, Q_c) и свойств отношений (Q_r); могут быть учтены множества входных воздействий X и выходных результатов Y [3]:

S = <А, В, С, R, Q_Q,Q_b, Q_c> Q_r, X, Y>. (4)

Затем, по мере накопления сведений о системе, теоретико-мно­жественная формула (4) может измениться и отразить взаимоот­ношения между группами множеств:

5=<{^}Л₁{_й/.}Л₂{Ь_А}Л₃{с_(/}>, (5)

а в дальнейшем описание может уточняться: могут быть введены подмножества и отношения между ними и их элементами; деле­ние на подмножества может быть повторено неоднократно, и таким образом с помощью ТМП может быть отображена много­уровневая структура; отношения могут быть уточнены в виде набора правил преобразования множеств или подмножеств.

Как уже было отмечено, при использовании ТМП в принци­пе можно вводить любые отношения. Однако при произвольных отношениях в формализованном с их помощью описании про­блемной ситуации довольно быстро могут обнаружиться нераз­решимые противоречия - парадоксы, апории или антиномии, что не позволяет оперировать с получаемыми теоретико-множествен­ными моделями таким же образом, как с классическими матема­тическими соотношениями, гарантируя достоверность получае­мых результатов,

В качестве примеров парадоксов приводят обычно: парадокс лжеца (нельзя дать положительного ответа на вопрос: «Ты лжешь?»), парадокс парикмахера, которому отдано распоряжение «брить всех мужчин в полку, которые не бреются сами».

Действительно, если попытаться формально записать ситуа­цию парадокса парикмахера, то возникает неразрешимое проти­воречие: парикмахер X принадлежит множеству одновременно мужчин А/,, которые не бреются сами и которых по распоряже­нию он обязан брить, и множеству тех мужчин М₂, которые бре­ются сами и которых согласно распоряжению он брить не дол-

жен, и эти множества М _{ и М₂ не пересекаются и не входят одно в другое, т.е. должно иметь место: Хе M_v Хе М₂, M_i = M_lnM₂ = 0, что невозможно.

С примерами антиномий можно познакомиться б популярной брошюре Н.Я. Виленкина [2], в которой наряду с известными па­радоксами приводятся ситуации возможности получения в слу­чае применения ТМП «безразмерных гостиниц» лемовского ге­роя Иона Тихого*.

Примеры парадоксов легко можно найти во многих высказы­ваниях неформализованного текста, например, «Ты должен сам любить меня» (если «должен», то «не сам»; если «сам», то никому ничего «не должен»).

На этом свойстве текстов основаны некоторые психологичес­кие тесты.

Эта принципиальная особенность текстов не позволяет одно­значно отразить с их помощью проблемные ситуации и требует перевода текстов в формализованные описания с использовани­ем специализированных знаковых систем, языков, в которых по возможности устранены парадоксы. Для разработки таких язы­ков могут быть использованы ТМП, которые позволяют выяв­лять и устранять парадоксы, ограничивая при этом свободу вы­бора отношений, т.е., строго говоря, огрубляя качественное описание, уменьшая его полноту.

Такие ограничения в случае применения ТМП можно делать осознанно, фиксировать и пересматривать при необходимости. При разработке языков моделирования полезно ознакомиться с конструктивной теорией множеств (см., например, в [7]).

• 1. Бурбаки Н. Теория множеств / Н. Бурбаки. - М.: Мир, 1965. 2. В и -ленки н Н.Я. Рассказы о множествах / Н.Я. Виленкин. - М.: Наука, 1969. 3. Волкова В.Н. Методы формализованного представления (отображе­ния) систем: текст лекций / В.Н. Волкова, Ф.Е. Темников. - М.: ИПКИР, 1974. 4. Волкова В.Н. Методы формализованного представления систем: учеб. пособие/ В.Н. Волкова, А.А. Денисов, Ф.Е. Темников. -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1993. 5. Волкова В.Н. Основы теории систем и системного ана­лиза / В.Н. Волкова, А.А. Денисов. - СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997. - С. 102-109. 6. Заде Л. Теория линейных систем /Л. Заде, Г. Дзоер. - М.: Наука, 1970. 7. Карри X. Основания математической логики / X. Карри. - М.: Мир, 1969. 8. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженеров / О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон-Вельский. - М.: Энергоатомиздат, 1988. 9. Месарович М. Общая теория систем: математические основы / М. Месарович, И. Такахара. -М.: Мир, 1978. 10. Сигорский В.П. Матема-

*Лем С. Звездные дневники Иона Тихого. - Собр. соч. - Т. 7. - 1994.

46-1159

тический аппарат инженера / В.П. Сигорский. - Киев: Техшка, 1977. П.Си-
схемный анализ в экономике и организации производства: учеб. для
вузов/Под ред. С.А. Валуева, В.Н. Волковой. - Л.: Политехника, 1991.
12. Черч А. Введение в математическую логику / А. Черч.-М.: Иностр. лит.,
1960. - С. 66-80. В.Н, Волкова

ТЕОРИЯ ИГР (ТИ) - раздел современной математики, изучаю­щий математические модели конфликтных ситуаций, т.е. таких, при которых интересы участников либо противоположны (эти модели называются антагонистическими играми), либо не совпа­дают, хотя и не противоположны {игры с непротивоположными интересами, неантагонистические игры).

Основоположниками ТИ являются Дж. фон Нейман и О. Мор-генштерн [14]. Они попытались математически описать характер­ные для экономики явления как некоторую игру. Например, они ставили задачу оптимизации поведения субъектов рынка.

В последующем ТИ стала рассматриваться как теория приня­тия решений, реализующих поставленные цели в условиях неопределенности информационной ситуации. Однако в ТИ рас­сматриваются и игры с полной информацией (т.е. в условиях оп­ределенной ситуации). Разумеется, ТИ, как и любая другая мате­матическая теория, не охватывает все разнообразные задачи в конфликтных ситуациях. Она рассматривает ситуации, характе­ризующиеся определенной системой правил-ограничений и име­ющих некоторую формальную структуру.

Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения (выбирает стратегию действий), которые, как он полага­ет, обеспечивают ему наибольший выигрыш или наименьший про­игрыш, причем этому участнику игры ясно, что результат зависит не только от него, но и от действий партнера (или партнеров).

Особое место среди условий, в которых приходится прини­мать решения, занимают условия конфликта. Конфликтом есте­ственно называть всякое явление, применительно к которому имеет смысл говорить, кто и как в этом явлении участвует, како­вы его возможные исходы, кто в этих исходах заинтересован и, наконец, в чем состоит эта заинтересованность.

В рамках ТИ принимаемые решения выступают как достаточ­но упрощенные и идеализированные схемы реальных явлений. ТИ есть теория математических моделей.

Для формального описания игры необходимо, чтобы были определены:

• множество возможных ходов М_х для каждого игрока Uj,

• платежная функция (функция полезности) F, определенная для заключительной ситуации Ъ или для каждой точки Ь_{ из мно­жества заключительных ситуаций;

• правила выделения множеств М.' из множества М₍.для каж­дой ситуации b_i и игрока и, (правила выбора ходов).

Наиболее развита теория матричных позиционных игр двух лиц, основные положения которой изложены, например, в [2-7, 10-17].

Геометрически такую игру можно представить на рисунке в виде «де­рева» игры. Узлы этого «дерева» соответствуют возможным ситуациям в игре, а заключительным ситуациям - «закрашенные» узлы. Номер иг­рока, делающего ход, при данной ситуации указан внутри каждого из узлов. Множества Л/, изображаются множеством ветвей, выходящих из данного узла. Около заключительных ситуаций написано распределе­ние выигрышей и проигрышей между игроками после окончания игры.

Любая последовательность ходов, сделанных игроками в процессе игры, определяет партию игры. Число различных партий равно числу заключительных ситуаций и является важным признаком при исследо­вании игр.

Выбор игроком u_t того или иного хода на данном шаге игры называ­ется ходовой альтернативной стратегией игрока, а набор указаний, ко­торый позволяет игроку в любой ситуации игры (точнее, при любой информации об игре) выбирать ход - полной стратегией игры, или про­сто стратегией игрока и_г

При обозначении ходовых стратегий на рисунке верхний индекс ука­зывает номер игрока, которому принадлежит эта стратегия, нижний -т

46*

порядковый номер ходовой стратегии в множестве стратегий данного игрока.

Пунктирной линией на рисунке обведены вершины «дерева», кото­рые игрок по правилам игры не может различать на данном шаге. На­пример, на третьем шаге игрок /, если он выбрал на первом шаге ход f,', знает, что игрок 2 может выбрать либо /,², либо i₂², но не может знать, какой именно из ходов выбрал игрок 2, т.е. игрок 1 не знает, в какой из этих двух возможных ситуаций, ограниченных пунктиром, находится в данный момент игра. Совокупность ситуаций, попавших внутрь пунк­тирной линии, называется информационным множеством. В играх с пол­ной информацией такие множества состоят из одной ситуации.

Стратегия выбирается игроком на основе некоторой решающей фун­кции, определенной на множестве стратегий. Эта функция может быть представлена, например, в виде платежной матрицы, которая называет­ся матрицей игры. Для игры, «дерево» которой приведено на рисунке, матрица имеет вид таблицы, где S_t '«i,¹, i,¹^' ⁼ (Л 'У'^з' ^=l2¹'^Ii^,'^4^{l =} = i₂^l, i₂^] - последовательности ходов игрока u,; Sf = /,²; 5₂² = i₂² - после­довательности ходов игрока и_т

Положительные элементы матрицы соответствуют выигры­шам игрока н_р отрицательные - выигрышам игрока м₃-

Действия игрока направлены на поиск стратегии, при кото­рой его выигрыш максимален. Для игрока и_х полная стратегия оптимальна при

щх{тта_у}, (1)

где а₍, - элементы матрицы игры; i = 1, 2,..., l;j - 1,2,... m; / - число полных стратегий игрока и₍.; m - число полных стратегий игрока и₂.

Оптимальная стратегия для игрока и₂ будет достигнута при

min{maxa».},
У '
где (= 1,2. /;./'= 1,2,... т.

Эти оптимальные стратегии называются максиминной и ми­нимаксной соответственно.

Если выполняется равенство (теорема о минимаксе)

maxlmina^} = minlmaxa,'.}, (2)

i j ^J j i

то говорят, что игра имеет седловую точку, и элемент матрицы, определяемый на основании (2), называется ценой игры.

Игры с седловой точкой называются играми с чистыми стра­тегиями.

Такие игры заканчиваются, как только игроки, произведя полный анализ матрицы игры, выберут свои оптимальные стра­тегии.

Однако в матрице игры может не быть седловой точки.

Например, для игры с матрицей ⁺Jjj ~⁵

max{mina-.} = -5; min{maxa»} = 5. (3)

i j ^J j i

В этих случаях игрокам при выборе стратегии следует избе­гать какой-либо закономерности, так как на основе анализа его игры противник может разгадать принятую закономерность и пользоваться случайным набором полных стратегий (выбор мо­жет определяться законом распределения полных стратегий). Иными словами, игры, в матрице которых нет седловой точки, не могут быть описаны в рамках аналитических представлений, для их описания требуется привлекать вероятностные оценки.

Стратегия, определяемая последовательным выбором полных стратегий на основе закона распределения этих стратегий, назы­вается смешанной. В отличие от нее стратегии, рассмотренные ра­нее, называют чистыми стратегиями.

Цена игры в играх со смешанными стратегиями определяется в виде математического ожидания, которое характеризует мак-симинную смешанную стратегию игрока и, и минимаксную сме­шанную стратегию игрока ы₂.

Возможность минимаксных и максиминных стратегий (чис­тых и смешанных) определяется фундаментальной теоремой ТИ, доказанной Дж. фон Нейманом в 1928 г., - теоремой о мини­максе [14]:

«Для антагонистических игр двух лиц всегда существуют оп­тимальные смешанные стратегии для игроков и_{ и и₂, и оптималь-

ная смешанная стратегия для и₁ является его смешанной мини­максной стратегией».

Смысл принципа минимакса можно выразить следующим образом: стремление «противника» максимизировать наши ми­нимальные потери равнозначно нашему стремлению минимизи­ровать наши максимальные потери.

В наиболее простом случае речь идет о противоборстве толь­ко двух противников (например, двух конкурентов, борющихся за рынок сбыта). В более сложных случаях в игре участвуют мно­гие, причем они могут вступать между собой в постоянные или временные коалиции, союзы.

Игра двух лиц называется парной. Когда в игре участвуют N игроков - это игра N лиц, а в случае образования коалиций игра называется коалиционной.

Имеются исследования, распространяющие основные поло­жения классической матричной ТИ двух лиц на игры с числом участников больше двух.

В частности, в 1951 г. Дж. Нэш доказал аналогичную теореме Дж. фон Неймана для матричных игр теорему о существовании ситуаций равновесия в смешанных стратегиях для безкоалицион-

ных игр.

Однако общей теории для игр с произвольным числом участ­ников N, большим, чем 2, не существует.

Наиболее развиты для игр с большим числом игроков мето­ды коалиционных игр, в которых участники в процессе игры мо­гут образовывать временные или постоянные коалиции с дого­ворным распределением выигрыша.

Здесь принимающему решения субъекту приходится считать­ся не только со своими собственными целями, но также с теми целями, которые ставят перед собой его партнеры. Помимо это­го он должен учитывать, кроме известных ему обстоятельств кон­фликта, еще и те решения, которые принимают его противники и которые ему самому неизвестны.

Формальную модель для этого класса игр можно представить

следующим образом.

Формальная модель конфликта. Пусть принимающие участие в конфликте стороны суть элементы некоторого абстрактного множества (их принято называть игроками, а подмножества иг­роков, которые являются действующими сторонами в конфлик­те, - коалициями действия (обозначим их Эу.

Каждая из коалиций действия К принимает некоторое реше­ние из некоторого множества S_k доступных для нее решений. Элементы множества S_k называются стратегиями коалиции К. Выбор каждой из коалиций действия некоторой стратегии опре­деляет то, что естественно назвать исходом конфликта. Допусти­мо, чтобы тот или иной из этих исходов был множеством явле­ний с вероятностной мерой на нем. Кроме того, некоторые комбинации выбранных коалициями действия стратегий могут оказаться несовместимыми и потому неосуществимыми.

Все исходы конфликта называются ситуациями. Ситуации со­ставляют некоторое множество S, являющееся подмножеством множества всех комбинаций стратегий коалиций действия, т.е. декартова произведения множества стратегий:

^5с П V (4)

Заинтересованные в исходах конфликта стороны называются коалициями интересов (обозначим их 9^).

Во многих реальных конфликтах могут встречаться коалиции действия, не являющиеся коалициями интересов, и наоборот.

Рассмотрим форму выражения заинтересованности для коа­лиции интересов. Эта заинтересованность проявляется в том, что каждая из этих коалиций предпочитает одни исходы конфликта другим. Это описывается в виде некоторого отношения предпоч­тения - абстрактного бинарного отношения >- на множестве всех ситуаций. Тот факт, что коалиция интересов К предпочитает си­туацию х ситуации^, обозначается как х>у.

Вообще говоря, никаких свойств у отношения J (кроме его бинарности) не предполагается,,хотя обычно оно считается тран­зитивным (т.е. из х>у и y>-z следует *£^г). В частности, не тре-

к к ^к

буется, чтобы отношение было линейным, т.е. любые две ситуа­ции были сравнимы одна с другой.

На множестве ситуаций S определяется функция Н_ю прини­мающая вещественные значения и называемая функцией выигры­ша коалиции интересов К, Ее значение Н^х) понимается как вы­игрыш, который коалиция К получает в ситуации д:. Естественно

принять, что ху у, если Н^х) > Hjfy). к

Итак, формальное описание конфликта состоит в задании системы

Г = [*ЛЗД,_е^>%>}„е<0* (5)

где перечисленные в квадратных скобках множества и отноше­ния связаны между собой, как это было уже описано. Такая сис­тема является формальной моделью конфликта, которая и назы­вается игрой.

Формализация принятия решения. Рассмотрим два аспекта это­го вопроса. Необходимо представлять, в каком смысле и до какой степени коалиция в состоянии отличать свои стратегии как одну от другой, так и от иных объектов, не являющихся ее страте­гиями. Если множество стратегий у коалиции действия конечно, то такого рода различения для нее потенциально осуществимы и эта сторона вопроса о выборе стратегии отпадает. В противном же случае некритические представления о неограниченных возмож­ностях выбора стратегии приводят к слишком большой свободе в конструировании самих игр и, как следствие этого, - к построе­нию игр, анализ которых приводит к парадоксальным явлениям.

Понятие оптимальности принимаемого решения расширяет­ся до понятия компромиссного решения и поддается формализа­ции значительно труднее, чем понятия конфликта и принятия решения.

Пусть необходимо максимизировать значение функции/, ко­торая задана на некотором множестве М и принимает веществен­ные значения. При этом будем предполагать, что в нашей власти выбрать любую точку или любые точки множества М.

Поставленную задачу можно сформулировать несколькими эквивалентными способами. Например:

• найти точки х, в которых значение функции/не меньше ее значений в каких-либо других точках M:f(x) >/(у), у е М;

• найти такие точки х, что любое отклонение от них в преде­лах множества М не увеличивает значение функции /;

• найти такое множество точек R, что для произвольных х, уе Дне может быть/(х) >/(у), а для любой точки z e R найдется такая точка хе R, что/(х) >/(г).

Если вместо максимизации значения функции будем занимать­ся поисками наиболее предпочтительной точки в множестве М в условиях линейного отношения предпочтения на этом множестве,

то эти формулировки останутся эквивалентными. Но если отно­шение предпочтения нелинейно, то приведенные формулировки перестают быть эквивалентными.

Классификация игр. Формальное определение игры оставляет широкую свободу выбора конкретных возможностей для компо­нентов, составляющих игру. Налагая на эти компоненты те или иные ограничения, можно получать различные классы игр.

В качестве первого классификационного признака выступает множество коалиций интересов 9?^ Если это множество пусто, то конфликт вырождается в явление, в исходах которого никто не заинтересован. Если множество 9^ состоит из единственной коалиции интересов, то также утрачивается конфликт в обычном смысле этого слова. Собственно ТИ начинается тогда, когда мно­жество "Ry насчитывает не менее двух заинтересованных сторон.

Следующим признаком классификации является число коали­ций действия. Рассмотрение игр с пустым множеством коалиций лишено смысла. Если же в игре имеется хотя бы одна коалиция действия К, то исследование игры становится содержательным. В этом случае имеется единственное множество стратегий S_K, a множество всех ситуаций является его подмножеством S e S. Для таких игр стратегии совпадают с ситуациями. Их принято называть нестратегическими. К числу таких игр относятся коо­перативные игры, их обобщения, а также так называемые арбит­ражные схемы, теория угроз и схемы рыночного типа (одна из них - модель рынка по Эджворту).

Общая схема нестратегической игры состоит в следующем. Некоторое действующее начало (единственная коалиция дей­ствия) способно породить любую ситуацию из заранее заданно­го множества. Заинтересованные начала (коалиции интересов) на основании имеющихся для них отношений предпочтения для си­туаций предъявляют к ситуациям те или иные требования. Сово­купность этих требований имеет значение принципа оптималь­ности: ситуация, удовлетворяющая им, называется оптимальной.

Нестратегическим играм противостоят игры, в которых уча­ствуют более одной коалиции действия. Эти игры называются стратегическими. В большинстве работ по ТИ рассматриваются стратегические игры, в которых множества коалиций действия и коалиций интересов совпадают (как те, так и другие коалиции называются в этом случае игроками), множество ситуаций совпа­дает с декартовым произведением множества стратегий:

^5=; Ц ^Sk' (6)

а отношения предпочтения (для игроков) определяются соответ­ствующими функциями выигрыша. Такие игры называют бескоа­лиционными. Безкоалиционная игра может быть задана в виде системы

Г = |/, W.fe/, {H_thie Л, (7)

где / - множество игроков;

S. - множество стратегий игрока i;

Н_{ - его функция выигрыша, т.е. функция, заданная на множестве всех ситуаций и принимающая вещественные значения.

Важным частным случаем безкоалиционной игры является уже рассмотренная игра с двумя игроками, в которой значения функций выигрыша в любой ситуации равны по величине и про­тивоположны по знаку:

Д,(5)=-Я₁₁(5). (8)

Такие игры называются антагонистическими, или играми двух лиц с нулевой суммой. Процесс протекания безкоалиционной игры следующий: каждый из игроков независимо от остальных выби­рает некоторую стратегию; после того как сформировалась не­которая ситуация, каждый игрок получает выигрыш, равный зна­чению своей функции выигрыша в этой ситуации.

Принцип оптимальности в безкоалиционных играх называ­ют принципом осуществимости цели. В случае антагонистической игры этот принцип превращается в принцип максимина, а ситуа­ции равновесия становятся седловыми точками.

Отсутствие у игр решений достаточно успешно преодолева­ется введением «смешанных стратегий».

В ТИ используются разного рода редукции одних игр к дру­гим, более просто устроенным. Например, сведение многошаго­вых игр к матричным, а также введение редуцированной формы кооперативных игр. Простейшими исчислениями игр можно в известном смысле считать игры на выживание, стохастические, рекурсивные и дифференциальные игры. Каждая их этих игр пред­ставляет собой семейство однотипных игр с фиксированным на­чальным состоянием. Процесс многошаговой игры оказывается

определенным образом устроенной системой переходов от одной такой игры к другой.

Перспективными являются следующие направления ТИ:

• теория дифференциальных игр [1], представляющая собой многошаговые процессы принятия решений, развертывающиеся во времени, при наличии логической связи между шагами. Эти игры в качестве аппарата исследования используют классичес­кие средства математического анализа - дифференциальные урав­нения;

• теория модельных игр, базирующаяся на экспериментах, которые могут осуществляться с помощью моделирования алго­ритма на вычислительных машинах; игры человека с моделью или моделей между собой могут помочь усовершенствовать алгоритм. Модельные игры являются наиболее перспективным средством исследования при принятии решений в условиях неопределен­ности;

• теория рефлексивных игр [8,9], которая рассматривает ими­тацию рассуждений противника в процессе игры как компоненту собственного мыслительного процесса принятия решений.

Применение ТИ возможно в любой области человеческой де­ятельности. Имеются приложения ТИ к военно-техническим за­дачам, к социально-экономическим проблемам (поведение фир­мы на рынке), к анализу технических систем и других ситуаций, в которых имеет место конфликт или принятие решений в услови­ях неопределенности.

При этом следует иметь в виду, что практическая реализация теоретико-игровых моделей часто затруднительна, поскольку выявление предпочтений, вычисление значений функции выиг­рыша не всегда объективно возможно, связано с проблемой из­мерений величин, особенно в социально-экономических системах с активными элементами, обладающими непредсказуемым пове­дением. В то же время качественные выводы, даваемые ТИ на основе приближенных или даже условных данных и имитацион­ного моделирования, могут принести большую пользу при реше­нии конкретных задач.

• 1. Айзеке Н. Дифференциальные игры / Н. Айзеке. - М.: Мир, 1967. 2. Вентцель Е. С. Элементы теории игр/ Е.С. Вентцель.-М.: Физматгиз, 1961. 3. Волкова В.Н. Методы формализованного представления (ото­бражения) систем: текст лекций / В.Н. Волкова, Ф.Е. Темников. - М.: ИПКИР, 1974. - С. 16-17,95-99.4. Воробьев Н.Н. Теория игр / Н.Н. Воро-

бьев. - М: Знание, 1976. 5. Воробьев Н.Н. Теория игр: лекции для эконо­
мистов-кибернетиков / Н.Н. Воробьев. - Л.: ЛГУ, 1974. 6. Дюбин Г-Н.
Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин, ВТ. Суздаль. - М: На­
ука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 7. Кар-
л и н С. Математические методы в теории игр, программировании и эконо­
мике / С. Карлин. - М.: Мир, 1964. 8. Лефевр В.А. Конфликтующие
структуры / В.А. Лефевр. - М.: Высшая школа, 1967. 9. Л е ф е в р В.А. Алгеб­
ра конфликта / В.А. Лефевр, Г.Л. Смолян. - М.: Знание, 1968.10. Л ь ю и с Р.Д.
Игры и решения / Р.Д. Льюис, X. Райфа. ~ М.: Иностр. лит., 1961. 11. Мак-
К и н с и Дж. Введение в теорию игр / Дж. Мак-Кинси. - М.: Физматгиз, 1960.
12. Математика и кибернетика в экономике: словарь-справочник. -М.:
Экономика, 1975. -С. 570-573.13. Матричные игры/Сб. переводов под
ред. Н.Н. Воробьева.-М.: Физматгиз, 1961. 14. Нейман Дж. фон.Теория
игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн: пер. с
англ.-М.: Наука, 1970. 15. Оуэн Г. Теория игр/Г. Оуэн.-М.: Мир, 1971.
16. Позиционные игры/Сб. переводов под ред. Н.Н. Воробьева. -М.:
Наука, 1967. 17. Поспелов Д.А. Игры и автоматы/Д. А. Поспелов. - М.:
Энергия, 1967. СВ. Широкова

ТЕОРИЯ МНОГОУРОВНЕВЫХ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИС­ТЕМ предложена в работе М. Месаровича, Д. Мако и И. Такаха-ра [1]. Основу теории составляют иерархические структуры осо­бого вида, для названия которых предложены специальные термины страты (см.), слои (см.) и эшелоны (см.).

Предлагая теорию, авторы стремились найти компромисс между простотой построения или отображения системы, позво­ляющей составить и сохранять целостное представление об ис­следуемом или проектируемом объекте, и детализацией описа­ния, позволяющей отразить многочисленные особенности конкретного объекта и его компонентов.

В качестве пути решения этой проблемы авторы предлага­ют задание системы многоуровневыми структурами, каждый уровень которых имеет характерные особенности, законы и принципы, с помощью которых описывается поведение систе­мы на этом уровне.

Каждый из видов предложенных многоуровневых структур имеет свои особенности. Но общим для иерархических структур (систем) такого вида является отсутствие в них принципов стро­гого подчинения и управления, единоначалия и единства распо­рядительства, характерных для древовидных иерархических структур, являющихся основой традиционных математических моделей и организационных структур управления.

Понятие многоуровневой иерархической структуры введено в [1] следующим образом: система представляется в виде относи­тельно независимых, взаимодействующих между собой подсис­тем (страт, слоев, эшелонов); при этом некоторые (или все) под­системы имеют права принятия решений, а иерархическое расположение подсистем определяется тем, что нижележащие страты или компоненты эшелонированной структуры находятся под влиянием или в какой-то мере управляются вышестоящими.

Основной отличительной особенностью многоуровневых си­стем является предоставление подсистемам всех уровней опреде­ленной свободы в выборе их собственных решений, причем эти решения могут быть (но не обязательно) не теми решениями, ко­торые бы выбрал вышестоящий уровень.

В [1] показано, что предоставление свободы действий в при­нятии решений компонентам иерархических многоуровневых систем повышает эффективность их функционирования.

Подсистемам предоставляется определенная свобода и в вы­боре целей. Поэтому, в частности, многоэшелонные структуры называют также Многоцелевыми. В таких системах могут быть использованы разные способы принятия решений.

При предоставлении подсистемам прав самостоятельности в принятии решений могут возникать противоречащие одна дру­гой («конфликтные») цели и решения, что затрудняет управле­ние, но является в то же время одним из условий повышения эф­фективности функционирования системы.

Разрешение конфликтов достигается путем вмешательства вышестоящего эшелона. При этом воздействия вышестоящего уровня осуществляются не в форме жестких управляющих воз­действий (как в древовидных иерархических структурах), а в фор­ме координации.

Так, при применении моделей типа слоев или уровней сложно­сти, определяющих для уменьшения неопределенности ситуации совокупности последовательно решаемых проблем, выделение этих проблем осуществляется таким образом, чтобы решение вышележащей проблемы определяло бы ограничения (допусти­мую степень упрощения) при моделировании на нижележащем уровне, т.е. снижало бы неопределенность нижележащей пробле­мы, предоставляя самостоятельность в ее решении нижележаще­му уровню, но без утраты замысла решения общей проблемы.

В случае стратифицированного и эшелонированного пред­ставления систем в [1] разделены понятия собственно «управле­ния» и «координации». Последняя может иметь разную силу воз­действия («вмешательства») и осуществляется в разной форме. В связи с этим теорию многоуровневых систем М. Месаровича иног­да называют теорией координации. В этой теории рекомендуется, чтобы в процессе принятия решений подсистемы не всегда стре­мились бы отстаивать свои интересы, доводя дело до конфликт­ных ситуаций, а вступали бы в коалиции.

Для обеспечения целостности системы, представленной мно­гоуровневой структурой, наряду с координирующими воздействи­ями вышестоящих уровней на нижележащие используется поиск коалиций в пределах одного уровня. Такой способ управления дает основы для развития теории коалиций.

В зависимости от принятых принципов {конфликты или коа­лиции), силы и форм вмешательства вышестоящих в дела нижеле­жащих процесс.принятия решения может происходить по-разно­му, т.е. по-разному может быть организована система управления принятием решений, поэтому многоуровневые иерархические структуры называют также организационной иерархией.

Отношения, подобные принятым в многоуровневых структу­рах, реализуются в практике управления в форме корпораций и холдингов. Правила взаимоотношений между фирмами, банками, торговыми домами и другими организациями, входящими в кор­порацию или холдинг, оговариваются в соответствующих дого­ворах и других нормативно-правовых и нормативно-технических документах.

• ЬМесарович М. Теория иерархических многоуровневых систем /
М. Месарович, Д. Мако, И. Такахара. - М.: Мир, 1973. В.Н. Волкова

Дата добавления: 2015-11-04