Основы теории принятая статистических решений 1051 57 страница

С другой стороны, замкнутые методы требуют незначительных априорных знаний о параметрах канала; эти знания помогут снизить время, требуемое для достижения синхронности, но они не обязательно должны быть такими точными, как в случае от­крытых методов. Замкнутые методы включают измерения точности синхронизации передач от оконечных устройств, поступающих на центральный узел, и возврата ре­зультатов этих измерений посредством обратного канала связи. Таким образом, замк­нутые методы требуют обратного канала, обеспечивающего отклик на передачу, воз­можности распознавания, на что был этот отклик, и возможности соответствующей модификации характеристик передатчика, основываясь при этом на полученном от­клике. Из этих требований вытекает необходимость довольно значительной обработки в реальном времени, производимой на оконечном устройстве, и двустороннего канала связи каждого оконечного устройства с центральным узлом. Итак, недостатком замк­нутых методов является требование значительной обработки в реальном времени, производимой на оконечном устройстве, двусторонний канал связи каждого оконеч­ного устройства с центральным узлом и то, что получение синхронизации требует от­носительно длительного промежутка времени. Преимущество состоит в том, что для работы системы не требуется внешнего источника знаний, а отклик по обратному ка­налу связи позволяет системе быстро и легко приспосабливаться к изменению гео­метрии системы и условий связи.

10.3.1. Открытая синхронизация передатчиков

Открытые системы можно разделить на те, которые используют информацию, полу­ченную по каналу обратной связи, и те, которые не используют подобной информа­ции. Последние являются наиболее простыми из возможных (с точки зрения требова­ний к обработке в реальном времени), но качество связи в этом случае весьма сильно зависит от устойчивости характеристик канала.

Во всех схемах синхронизации передатчиков предварительно пытаются скорректи­ровать отсчет времени и частоту передачи сигнала так, чтобы сигнал прибывал на приемник с ожидаемой частотой и в ожидаемый момент времени. Итак, для предва­рительного согласования времени передатчик делит расстояние до приемника на ско­рость света (что дает время передачи), после чего прибавляет к полученной величине время действительного начала передачи. При своевременной передаче сигнал посту­пит на приемник в соответствующее время. Время поступления сигнала определяется следующим выражением:

Т_А=Т, +—. (10.84)

с

В данном случае Т, — действительное время начала передачи, d — расстояние переда­чи, с — скорость света. Подобным образом для предварительного согласования часто­ты передачи передатчик должен вычислить доплеровское смещение, происходящее вследствие относительного движения передатчика и приемника. Угловая частота пере­дачи должна определяться следующим образом:

V\

1 J со₀. (10.85)

Здесь с — скорость света, V — относительная скорость (больше нуля при уменьшении расстояния между приемником и передатчиком), а иь — номинальная угловая частота передачи.

К сожалению, на практике ни предварительное согласование времени, ни предва­рительное согласование частоты точно выполнить невозможно. Даже спутники на геостационарных орбитах несколько изменяют свое положение относительно точки на земной поверхности, а поведение временных и частотных эталонов на оконечном уст­ройстве и центральном узле невозможно предсказать идеально точно. Следовательно, всегда будет существовать некоторая ошибка предварительного согласования частоты и времени. Временные сбои можно записать следующим образом:

T_e=^- + At. (10.86)

с

В данной ситуации г_е — ошибка в определении расстояния, а Ш — разность между эталонным временем терминала и эталонным временем приемника. Ошибку по час­тоте можно выразить следующим образом:

ю_е = V^ + Дсо. _(Ш87)

с

Здесь V_e — ошибка в измеренной или предсказанной относительной скорости пере­датчика и приемника (доплеровская ошибка), а Дсо — разность между эталонными частотами приемника и передатчика. Помимо указанных, существует множество дру­гих источников временных и частотных ошибок, но, как правило, они менее важны. В работе [20] приводится полный список источников временных и частотных ошибок для спутниковых систем.

Члены At и Дсо обычно возникают вследствие случайных флуктуаций эталонных частот. Эталонное время для передатчика или приемника обычно получается посред-

1П *3 PfaTfaRaa гмнуппни'Зж ii/ia
ством подсчета периодов частотного эталона, так что ошибки точности измерения времени и частоты взаимосвязаны. Флуктуации эталонной частоты очень сложно опи­сать статистически, хотя спектральная плотность мощности флуктуаций аппроксими­руется последовательностью степенных сегментов [15]. Частотные эталоны часто ха­рактеризуются максимальным относительным изменением частоты за день.

5 =----- Герц/(Герц за день)

“о

Типичные значения 5 находятся в диапазоне от 1СГ⁵ до Ю⁴⁵ для недорогих кварцевых ге­нераторов, от 1СГ⁹ до Ю~^и — для высококачественных кварцевых генераторов; до 10'¹² — для рубидиевых и 1СГ¹³ — для цезиевых. Следствием задания системного эталона частоты через максимальную относительную частоту является то, что при отсутствии внешнего воздействия номинальная частота соц может линейно расти со временем.

г

Асо(Т) = со₀ j*8 dt + Д?(0) = со₀8Г + Дсо(0) Герц

о

Для эталонного времени, определяемого подсчетом периодов, суммарный сдвиг времени связан с суммарной фазовой ошибкой эталонной частоты.

(10.90)

Следовательно, при отсутствии внешнего воздействия ошибка эталонного времени может квадратично расти со временем. Для систем открытой синхронизации передат­чиков данный квадратичный рост временной ошибки часто определяет, насколько часто должна поставляться информация извне для обновления знаний оконечного устройства о ходе времени в приемнике или для сброса эталонного таймера приемни­ка и передатчика до номинальных значений. Рост квадратичной ошибки часто означа­ет, что ошибка синхронизации — это большая проблема, чем частотные ошибки, хотя, вообще-то, это зависит еще и от структуры системы.

Если передатчик не обладает информацией об измерениях, поступающей по кана­лу обратной связи, сдвиги частоты и времени, моделируемые согласно уравнени­ям (10.86)—(10.90), позволят разработчику системы определить максимальную дли­тельность времени между сеансами передачи информации извне. Повторная калиб­ровка временного и частотного эталонов часто представляет собой обременительную процедуру; она должна выполняться как можно реже.

Если оконечное устройство имеет доступ к обратному каналу от центрального узла и возможность проводить сравнительные измерения локального эталона и параметров поступающего сигнала, промежуток времени между повторными ка­либровками можно сделать больше. Большие станции управления спутниками могут измерять и моделировать параметры орбит геостационарных спутников с
точностью до нескольких сантиметров в пространстве и до нескольких метров в секунду по скорости относительно наземного терминала. Таким образом, для важного частного случая синхронных спутников первым слагаемым правой части уравнений (10.86) и (10.87) обычно можно пренебречь. Если это справедливо, разность между параметрами поступающего сигнала и сигнала, генерируемого с использованием эталонных частоты и времени терминала, будет приблизительно равна At и Дсо. Данные векторы ошибок, измеряемые в обратном канале, могут применяться для вычисления соответствующей коррекции передачи в прямом ка­нале. С другой стороны, если известно, что частотный и временной эталоны точ­ны, но под вопросом находится геометрия канала — возможно, потому что око­нечное устройство мобильно или спутник находится не на геостационарной орби­те — некоторые измерения в обратном канале могут использоваться для определения неопределенности по скорости или координате. Данные измерения расстояния или относительной скорости могут затем применяться для предвари­тельной коррекции частоты и отсчета времени в канале “оконечная станция- центральный узел”.

Если оконечное устройство может использовать измерения, произведенные над сигналом из обратного канала, это иногда называется квазизамкнутой синхронизаци­ей приемника. Квазизамкнутые системы, очевидно, обладают большей способностью приспосабливаться к неопределенностям в системе связи, чем открытые. Для кор­ректной работы чистые открытые системы требуют полного априорного знания всех важных параметров канала связи. Непредвиденных изменений в канале допускать нельзя. Квазизамкнутые системы, с другой стороны, требуют априорного знания всех (кроме одного) важных параметров как для синхронизации времени, так и для син­хронизации частоты, а оставшийся параметр можно определить из наблюдения обрат­ного канала. Это как усложняет оконечное устройство, так и позволяет адаптировать­ся к некоторым типам незапланированных изменений в канале, что может значитель­но снизить частоту требуемых калибровок системы.

10.3.2. Замкнутая синхронизация передатчиков

Замкнутая синхронизация передатчиков включает передачу специальных синхронизи­рующих сигналов, которые используются для определения временной или частотной ошибки сигнала относительно желаемой частоты или отсчета времени поступления сигнала на приемник. Затем полученные результаты по обратной связи подаются на передатчик. Определение ошибок синхронизации может быть явным или неявным. Если центральный узел имеет достаточные возможности для обработки, он может вы­полнять действительное измерение ошибки. Результатом подобного измерения может быть указание величины и направления сдвига или, возможно, только направления. Данная информация будет отформатирована и возвращена на передатчик по обратно­му каналу. Если центральный узел имеет недостаточные возможности для обработки, особый синхронизирующий сигнал может просто возвращаться на передатчик по об­ратному каналу. В этом случае интерпретацией сигнала занимается передатчик. Отме­тим, что генерация специального синхронизирующего сигнала, который легко и одно­значно интерпретировать, может оказаться довольно сложной задачей.

Относительные преимущества и недостатки замкнутых систем обоих типов связа­ны с расположением средств обработки сигнала и эффективностью использования канала. Основным преимуществом обработки на центральном узле является то, что

1П Я РРТРЯЯЯ ГИНУППНМ'ЗЯ! 1ИЯ
результатом измерений ошибки, произведенных на узле, может быть короткая цифро­вая последовательность. Подобное эффективное использование обратного канала мо­жет быть важным, если обратный канал является единственным на большое количест­во терминалов, использующих уплотнение с временным разделением. Еще одно по­тенциальное преимущество состоит в том, что средство измерения ошибки на центральном узле может совместно использоваться всеми терминалами, которые свя­зываются через этот узел. Это, в свою очередь, может значительно снизить потребле­ние ресурсов системы. Принципиальным потенциальным преимуществом обработки на терминале является то, что связь с центральным узлом не всегда является легкой задачей, а из соображений надежности, возможно, центральный узел должен быть максимально простым. Описанная ситуация — это, например, использование в роли центрального узла космического спутника. Еще одним потенциальным преимущест­вом обработки на терминале является то, что результат может быть получен быстрее, поскольку при использовании центрального узла всегда имеется некоторая задержка. Это может быть важно, если параметры канала меняются очень быстро. Основные не­достатки заключаются в неэффективном использовании обратного канала и в том, что обратные сигналы может оказаться сложно интерпретировать. Сложность возникает, когда центральный узел является не просто ретранслятором, а выполняет функцию принятия решения относительно значений символов и передает эти решения по об­ратному каналу. Возможность принятия решения относительно значений символов может значительно снизить вероятность появления ошибки при передаче между тер­миналами; кроме того, это усложняет процедуру синхронизации. Это объясняется тем, что сдвиги частоты и отсчета времени неявно присутствуют в обратном сигнале, т.е. постольку, поскольку они влияют на процесс принятия решения относительно значения символов. Рассмотрим в качестве примера передачу сигналов в модуляции BFSK на центральный узел, принимающий некогерентные двоичные решения. Реше­ния будут зависеть от энергии детектируемого сигнала в детекторах метки и паузы. (Напомним, что “метка” (mark) — это название двоичной единицы, а “пауза” (space) — двоичного нуля.) Если переданный сигнал — это последовательность чере­дующихся меток и пауз, сигнал на центральном узле можно смоделировать следую­щим образом:

sin t(co₀ + со _s + Дсо)? + 0] 0<t<At sin [(co₀ + Дсо)/ + 0] At <t<T

Здесь Т — интервал передачи символов, соь — частота одного символа, (иь + со,) — частота другого символа, Дсо — ошибка по частоте на центральном узле, At — ошибка времени по­ступления сигнала на центральный узел, а 0 — произвольная фаза. Теперь, если

(10.92)

и

(10.93)

TnaRain Пмнхпонизаиия

представляют квадратурные компоненты детектора, то энергию детектируемого сигна­ла можно записать следующим образом:

(10.94)

+

2Д(о(со₅ + Дсо)7'²

В частном случае нулевой ошибки времени At уравнение (10.94) упрощается до сле­дующего вида:

При нулевой ошибке по частоте, получаем следующее:

(10.96)

Относительно выражений (10.94)—(10.96) следует сделать одно важное замечание: лю­бая ошибка времени, частотный сдвиг или их комбинация снизит энергию принятого сигнала в детекторе, согласованном с истинным сигналом, и увеличит энергию в другом детекторе. Это приведет к уменьшению эффективного расстояния между сиг­налами в сигнальном пространстве и повышению вероятности ошибки. В то же время измерения вероятности ошибки (единственное, что доступно по обратному каналу) не позволяют определить, вызвана ли ошибка в результате сбоя времени или частоты (или их комбинации). Следовательно, передача обычных сигналов не дает отклика, который можно было бы использовать для синхронизации.

Полезным методом точной предварительной коррекции частоты для нашего при­мера передачи сигналов с модуляцией BFSK является передача постоянного тона, час­тота которого равна среднему от двух символьных частот. Подобный тон должен соз­давать случайную двоичную последовательность в обратном канале с равным числом меток и пауз. Смещение частоты со среднего значения приведет к доминированию пауз или меток. Нахождение центральной частоты описанным методом позволяет провести точную предварительную коррекцию частоты сигналов. После нахождения точной частоты передатчик может передавать последовательность чередующихся пауз и меток с целью определения точного отсчета времени. Изменяя отсчет времени при передаче (в пределах половины интервала передачи символа), передатчик может ис­кать отсчет времени, дающий максимальное число ошибок. Если передача поступает на центральный узел со смещением относительно истинного отсчета времени на по­ловину интервала передачи символа, оба детектора получают равную энергию и по­следовательность в обратном канале будет случайной. Определив время, когда пере­данные и полученные сигналы декоррелируют, передатчик вычисляет точное время передачи. Отметим, что данная процедура дает лучшие результаты, чем попытка найти точку с минимальным числом ошибок. Любая качественно разработанная система будет обладать достаточной энергией передачи, допускающей незначительные погрешности синхронизации времени; так что безошибочный обратный сигнал может быть получен и при неидеальной синхронизации. Фактически, чем больше отношение сигнал/шум,
тем хуже работает процедура нахождения оптимума. В то же время процедура нахож­дения наихудшего варианта будет хорошо работать в любой качественной системе, а ее потенциальная точность повышается с увеличением отношения сигнал/шум. Это можно понять интуитивно, поскольку увеличение отношения сигнал/шум позволяет системе справляться с большими погрешностями синхронизации; так что уменьшение вероятности ошибки при уменьшении погрешности отсчета времени от половины времени передачи символа будет более быстрым при большом отношении сиг­нал/шум. Таким образом, это позволит точнее определить смещение отсчета времени на половину интервала передачи символа.

10.4. Резюме

В данной главе рассмотрены фундаментальные проблемы и вопросы, связанные с синхронизацией в цифровой связи. Компромиссы обычно заключаются между стои­мостью и сложностью, с одной стороны, и вероятностью ошибки, с другой. В главе обсуждались синхронизация приемника и контуры фазовой автоподстройки частоты (phase-lock loop — PLL, ФАПЧ), в частности. Обычно более активную роль в обеспе­чении синхронизации канала связи играет именно приемник. Даже в тех случаях, когда предполагается, что более активную роль играет передатчик, как в некоторых спутниковых каналах связи, процесс часто облегчается за счет обратного канала, по которому терминал получает информацию с приемника. Таким образом, более важное значение имеет синхронизация приемника. Контуры ФАПЧ и их разновидности — это основные схемы управления, используемые для сопровождения (отслеживания) изменений фазы поступающего сигнала. Математическое описание реакции контура ФАПЧ на данный входной сигнал включает решение нелинейного дифференциаль­ного уравнения. Было показано, впрочем, что при стационарных условиях линеаризо­ванная модель дает достаточно хорошее приближенное описание системы. Для случая, когда линеаризованная модель неприменима, были представлены результаты Витерби (Viterbi) [8], полученные для контуров первого порядка. Строго, данные результаты справедливы только для контуров первого порядка, но было показано [5], что и для контуров более высоких порядков они являются полезным приближением.

В этой главе был рассмотрен крайне важный частный случай схем подавления не­сущей. Данные схемы необходимы для сопровождения фазы входного сигнала, не имеющего средней энергии на несущей частоте. Распространенный пример подобного сигнала — модулированный с использованием обычной антиподной схемы BPSK. В данной ситуации гармоника подавления несущей создается посредством применения нелинейности и далее отслеживается.

Следующий уровень синхронизации — символьная. Здесь были рассмотрены ос­новные классы символьной синхронизации. Открытые синхронизаторы работают не­посредственно с модулированным сигналом, отмечая символьные переходы. Замкну­тые синхронизаторы используют управляющий контур обратной связи для нахожде­ния и сопровождения символьных переходов.

Наивысший из рассмотренных уровней синхронизации — кадровая. Для получения данных в удобной форме приемник должен определить, какие символы и к каким кад­рам принадлежат. Данное знание эквивалентно наличию кадровой синхронизации, что обычно выполняется путем включения в поток информации о некоторой характерной последовательности битов, известной приемнику. Приемник исследует входные данные,

пока не обнаружит данную последовательность. Проверка синхронизации — это, на­пример, проверка периодичности появления данной последовательности.

В данной главе были обозначены основные важные проблемы, вопросы и резуль­таты, связанные с синхронизацией систем цифровой связи. Читатель, интересующий­ся данным вопросом, может обратиться к представленной ниже литературе, где об­стоятельно описываются все важные моменты.

Литература

1. Peterson W. W. and Weldon Е. J. Error-Correcting Codes. The MIT Press, Cambridge, Mass., 1972.

2. Lee E. A. and Messerschmitt D. G. Digital Communications. Kluwer Academic Publications, Boston, 1988.

3. Mengali U. and D’Andrea A. N. Synchronization Technique for Digital Receivers. Plenum Press, New York, 1997.

4. Meyr H., Moeneclaey M. and Fechtel S. A. Digital Communication Receivers. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998.

5. Gardner F. M. Phaselock Techniques. 2nd ed., John Wiley & Sons, Inc., New York, 1979.

6. Davenport W. B. and Root W. L. Random Signals and Noise. McGraw-Hill Book Company, New York, 1958.

7. Papoulis A. Probabillity, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Book Company, New York, 1965.

8. Viterbi A J. Principles of Coherent Communications. McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.

9. Lindsey W. C. Synchronization Systems in Communication and Control. Prentice-Hall, Inc., Engle­wood Cliffs, N. J., 1972.

10. Lindsey W. C. and Simon М. K. Detection of Digital FSK and PSK Using a First-Order Phase- Locked Loop. IEEE Trans. Commun., vol. COM25, n. 2, February, 1977, pp.200—214.

11. Develet J. A., Jr. The Influence of Time Delay on Second-Order Phase Lock Loop Acquisition Range. Int. Telem. Conf., London, 1963.

12. Johnson W. A. A General Analysis of the False-Lock Problem Associated with the Phase-Lock Loop. The Aerospace Corp., Rep. TOR-269(4250-45)-1, NASA Accession N64-13776, 1963.

13. Tausworthe R. C. Acquisition and False-Lock Behavior of Phase-Locked Loops with Noise Inputs. Jet Propulsion Laboratory, JPL SPS 37—46, vol. 4, 1967.

14. Franks L. E. Synchronization Subsystems: Analysis and Design; in K. Feher, Digital Communications, Satellite/Earth Station Engineering, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1981, Chap. 7.

15. Simon М. K. and Yuen J. H. Receiver Design and Performance Characteristics', in J. H. Yuen, ed., Deep Space Telecommunications Systems Engineering, Plenum Press, New York, 1983.

16. Gardner F. M. Hang-up in Phase-Lock Loops. IEEE Trans. Commun., COM25, October 1977.

17. Blanchard A. Phase-Locked Loops. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1976.

18. Holmes J. K. Coherent Spread Spectrum Systems. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1976.

19. Lindsey W. C. and Simon М. K., eds. Phase Locked Loops and Their Applications. IEEE Press, New York, 1977.

20. Spilker J. J., Jr. Digital Communications by Satellite. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1977.

21. Wintz P. A and Luecke E. J. Performance of Optimum and Suboptimum Synchronizer. IEEE Trans. Commun. Technol., June, 1969, pp.380-389.

22. Anderson J. B., Aulin T. and Sundberg С. E. Digital Phase Modulation. Plenum Press, New York, 1986.

23. Laurent P. A. Exact and Approximate Construction of Digital Phase Modulations by Superposition of Amplitude Modulated Pulses. IEEE Trans. Commun., COM-34, n. 2, pp. 150-160, February, 1986.

24. Lui G. L. Threshold Detection Performance of GMSK Signal with ВТ = 0.5. IEEE MILCOM 98 Pro­ceedings, vol. 2, Boston, October, 18-21, 1998, pp. 515-519.

25. Kaleh G. Differentially Coherent Detection of Binary Partial Response Continuous Phase Modulation with Index 0.5. IEEE Trans. Commun., COM-39, pp. 1335-40, September, 1991.

26. Barkey R. H. Group Synchronization of Binary Digital Systems', in W. Jackson, ed., Communication Theory, Academic Press, Inc., New York, 1953.

1П A Ppqihmp

27. Willard M. W. Optimum Code Patterns for PCM Synchronization. Proc. Natl. Telem. Conf., 1962, paper 5-5.

28. Newman F. and Hofman L. New Pulse Sequences with Desirable Correlation Properties. Proc. Natl. Telem. Conf., 1971, pp. 272-282.

29. Wu W. W. Elements of Digital Satellite Communications. Vol. 1, Computer Science Press, Inc., Rockville, Md., 1984.

Задачи

10.1. Передатчик (маяк) посылает смодулированный тон постоянной энергии к удаленному приемнику. Приемник и передатчик движутся друг относительно друга так, что d(t) = D[ 1 - sin (mt)] + Do, где d(t) — расстояние между передатчиком и приемником (данное выражение может, например, описывать самолет, выписывающий “восьмерки” над на­земной станцией), a D, т и Do — некоторые константы. Данное относительное движение приведет к доплеровскому смещению принятой частоты передатчика

co_QV(r)

Дсо₀(0 = —,

с

где Дсо₀ — доплеровское смещение, Сйо — номинальная несущая частота, V(t) = d(t) — от­носительная скорость приемника относительно передатчика, а с — скорость света. Пусть используется линеаризованное уравнение контура, а контур ФАПЧ приемника синхрони­зирован (нулевое рассогласование по фазе) в момент времени t = 0. Покажите, что контур первого порядка подходящей структуры может поддерживать синхронизацию по частоте.

10.2. Рассмотрим передатчик и приемник, движущиеся один относительно другого, как описа­но в задаче 10.1. Снова предположим, что используется линеаризованное уравнение кон­тура. Определите (при таком предположении) рассогласование по фазе контура ФАПЧ как функцию времени для широкополосного фильтра и фильтра нижних частот (см. форму­лы (10.13) и (10.14)). Покажите, что правомочность использования уравнений линеаризо­ванного контура зависит от значения коэффициента Ко.

10.3. Высокоэффективный летательный аппарат передает немодулированный несущий сигнал на на­земный терминал. Изначально терминал синхронизирован с сигналом. Аппарат выполняет ма­невр, динамика которого описывается значением ускорения a(t) = А?, где А — константа. Предполагая использование линеаризованного уравнения контура, определите минимальный порядок контура ФАПЧ, необходимого для сопровождения сигнала от данного аппарата.

10.4. Покажите, что ширина полосы контура ФАПЧ первого порядка записывается в виде B_L = K(JA, где К₀ — коэффициент усиления контура.

10.5. Контур ФАПЧ второго порядка содержит следующий фильтр нижних частот:

¹: •

/СО + СО |

Коэффициент усиления контура равен Ко- Предполагая, что Ко S С0|/4, покажите, что ши­рина полосы контура ФАПЧ определяется выражением B_L = АУ8. (Подсказка

f dx к cos (/г / 2)

I — = - для 4ас > Ь,

•* Р 2cq sin/г

—оо

где R = а + fct² + сх^А, q = Hal с и cos h = — Ы2*[ас).

10.6. Контур ФАПЧ первого порядка с усилением Ко возмущается аддитивным белым гауссо­вым шумом с нормированной (на энергию единичного сигнала) двусторонней спектраль­ной плотностью мощности N₀/2 Вт/Гц. Определите требуемое соотношение между спек-

¹ Gradshteyn I. S. and Ryzhik I. M. Table of Integrals, Series and Products. New York: Academic Press, 1965, 2.161.1.

тральной плотностью мощности шума и коэффициентом усиления контура, если про­скальзывание цикла происходит не чаще одного раза в сутки.

10.7. Витерби [8] показал, что функция плотности вероятности выходной фазы контура ФАПЧ первого порядка, возмущенная белым гауссовым шумом, описывается следую­щим выражением:

ехр (р cos ф).,

р⁽Ф)= V:,. _л,1ф|^,р>о-

2я/₀(р)

Покажите, что приведенное выше р(ф) действительно является функцией плотности ве­роятности, и вычислите среднее и дисперсию ф.

10.8. Компьютерное моделирование и лабораторные измерения показали, что времена между проскальзываниями цикла распределены экспоненциально, т.е. функция распределения времени между проскальзываниями цикла Т выглядит следующим образом:

Р(Т) = 1 - ехр (—.

V Лл'

Используя данную функцию распределения, найдите среднее время между проскальзы­ваниями цикла и дисперсию как функцию от Т_т. Если среднее между проскальзыва­ниями цикла равно 1 день, чему равна вероятность проскальзывания цикла менее чем через час после предыдущего? Более чем через 3 дня?

10.9. Рассмотрим контур ФАПЧ второго порядка с фильтром нижних частот.

/СО Ч- СО |

В процессе принудительной синхронизации желательно, чтобы контур сканировался по всей области неопределенности (1000 радиан) за 1 с. Соотношение между усилением контура и константой фильтра постоянно, Ко = 2c0i. Определите требуемое соотношение между усилением контура и односторонней спектральной плотностью мощности адди­тивного белого гауссова шума, N₀. Найдите максимальное приемлемое значение No-

10.10. Рассмотрим работу открытого символьного синхронизатора; ширина полосы полосового фильтра этого синхронизатора равна 0,1/Т Герц, где Т — период передачи символа. Ес­ли отношение энергии бита к спектральной плотности мощности шума (ErfNa) равно 10 дБ, чему приблизительно будут равны среднее и дисперсия относительной ошибки сопровождения? Вычислите верхнюю границу вероятности того, что ошибка сопровож­дения превышает утроенное приближенное относительное среднее. (Подсказка: рас­смотрите неравенство Чебышева [7].)

10.11. Система связи используется для передачи команд со скоростью 100 бит/с. Каждая ко­манда предваряется ^V-битовым заголовком, идентифицирующим ее в потоке данных. Предполагая, что (возможно, за исключением заголовка) биты появляются случайным образом [Р(1) = Р(0) = 1/2], определите минимальную длину заголовка, при которой ожидаемая частота ложных тревог — одна за год. Предполагая, что вероятность ошибки в канальном бите равна 10^-5, определите вероятность пропуска заголовка. Чему равна вероятность пропуска, если вероятность ошибки в канальном бите равна 2 X 10~²? Если система изменяется так, что разрешает использование заголовка с двумя ошибками, че­му равна минимальная требуемая длина заголовка, дающего ожидаемую частоту ложных тревог — одну за год? Чему равна вероятность пропуска заголовка в этой новой системе при вероятности ошибки в канальном бите 2 X 1СГ²?

Дата добавления: 2015-10-28