Основы теории принятая статистических решений 1051 47 страница

б) Поскольку буквы в английском языке (или каком-либо ином) появляются с различной частотой, ответ на п. а — это верхняя граница среднего количества информации на знак. Повторите п. а, считая, что буквы алфавита появляются со следующими вероятностями:

р = 0,10: для букв а, е, о, t

р = 0,07: для букв h, i, п, г, s

р = 0,02: для букв с, d, f, 1, m, р, и, у

р = 0,01: для буквЬ, g, j, k, q, v, w, х, z

Решение

а)

/ = 1

б) Н= -(4 х ОД log₂ 0,1 + 5 х 0,07 log₂ 0,07 + 8 х 0,02 logj 0,02 + 9 х 0,01 log₂ 0,01) = 4,17 бит/знак

Если 26 букв алфавита нужно выразить в некоторой двоичной схеме кодирования, то для каждой буквы требуется пять двоичных цифр. Пример 9.2 показывает, что дол­жен существовать способ кодирования английского текста в среднем меньшим числом двоичных цифр для одной буквы (среднее количество информации, содержащееся в каждом знаке, меньше 5 бит). Подробнее тема кодирования источника будет рассмот­рена в главе 13.

9.4.3. Неоднозначность и эффективная скорость передачи информации

Пусть по двоичному симметричному каналу (определенному в разделе 6.3.1) со скоро­стью 1000 двоичных символов/с происходит передача информации, а априорная веро­ятность передачи нуля или единицы одинакова. Допустим также, что помехи в канале

Q 4. Трппрмэ 11 louuru-ia-Yai
настолько значительны, что, независимо от переданного символа, вероятность приема единицы равна 1/2 (то же самое — для нуля). В таком случае половина принятых символов должна случайно оказаться правильной, и может создаться впечатление, что система обеспечивает скорость 500 бит/с, хотя на самом деле никакой информации не передается. Одинаково “хороший” прием дает и использование “информации”, по­ступившей из канала, и генерация этой “информации” методом подбрасывания пра­вильной монеты. Утраченной является информация о корректности переданных сим­волов. Для оценки неопределенности в принятом сигнале Шеннон [3] использует по­правочный коэффициент, который называет неоднозначностью (equivocation). Неоднозначность определяется как условная энтропия сообщения X, обусловленная данным сообщением У, или

H(X\Y) = -^>(X|r)log₂P(X|K) =

X, У

= -^P(^Y)^^P(^Xi^Y)tog₂^p(^xiY)’

где X — сообщение, переданное источником, У — принятый сигнал, Р(Х, Y) — совме­стная вероятность X и У, а Р(Х|У) — условная вероятность X при приеме У. Неодно­значность можно представить как неуверенность в передаче X при условии принятия У. Для канала без ошибок Н(Х\У) = 0, поскольку принятие сообщения У абсолютно точ­но определяет X. В то же время для канала с ненулевой вероятностью возникновения символьной ошибки Н(Х\У) > 0, поскольку канал вносит некоторую неопределенность. Рассмотрим двоичную последовательность X, для которой априорные вероятности ис­точника Р(Х = 1) = Р(Х - 0) = 1/2 и где, в среднем, в принятую последовательность из 100 бит канал вносит одну ошибку (Р_г=0,01). Исходя из уравнения (9.10), неодно­значность Н(Х\У) можно записать следующим образом:

m\Y) = -[(1 - Р_в) log₂ (1 -Р_в) + Рв log₂ Рв\ =

= -(0,99 log₂ 0,99 + 0,01 log₂ 0,01) =

= 0,081 бит/полученный символ.

Таким образом, в каждый принятый символ канал вносит 0,081 бит неопределенности.

Шеннон показал, что среднее эффективное количество информации Н_ш в приемнике получается путем вычитания неоднозначности из энтропии источника. Следовательно,

Н^=Н(Х)-Н(Х\У). (9.11)

Для системы, передающей равновероятные двоичные символы, энтропия Н(Х) равна 1 бит/символ. Если символы принимаются с Р_в = 0,01, неоднозначность, как показано выше, равна 0,081 битДпринятый символ). Тогда, используя уравнение (9.11), можем записать эффективную энтропию H_eff принятого сигнала.

//_efT = 1 - 0,081 = 0,919 бит/полученный символ

Иными словами, если, например, за секунду передается R = 1000 двоичных символов, то R_eff можно выразить следующим образом:

R_eff- RH_eff = 1000 символов/с х 0,919 бит/символ = 919 бит/с. (9.12)

Гпооо Q к'лклпгчлк/и^лли плм млпппи'зпааимм клгът/па! imm м ^ППИППИЯНМЯ

Используя формулы (9.12) и (9.11) при R= 1000 символов/с, получаем

R_efi= 1000 символов/с (1 - 1) = 0 бит/с,

что и следовало ожидать.

Пример 9.3. Кажущееся противоречие с пределом Шеннона

График зависимости Р_в or Еь/No обычно показывает плавный рост Р_в при увеличении Еь/No. Например, кривые вероятности появления битовых ошибок на рис. 9.1 показы­вают, что в пределе при Еь/No, стремящемся к нулю, Р_в стремится к 0,5. Таким обра­зом, кажется, что всегда (при сколь угодно малом значении Еь/No) имеется ненулевая скорость передачи информации. На первый взгляд это не согласуется с величиной пре­дела Шеннона Eb/N₀ = —1,6 дБ, ниже которого невозможна безошибочная передача ин­формации или ниже которого даже бесконечная полоса пропускания дает конечную скорость передачи информации (см. рис. 9.4).

а) Предложите способ разрешения кажущегося противоречия.

б) Покажите, каким образом коррекция неоднозначности по Шеннону может помочь раз­решить данное противоречие для двоичной системы с модуляцией PSK, если энтропия источника равна 1 бит/символ. Предположим, что рабочая точка на рис. 9.1, б соответст­вует Ej/No = 0,1 (-10 дБ).

Решение

а) Величина Е_ь, традиционно используемая при расчетах каналов в прикладных систе­мах, — это энергия принятого сигнала, приходящаяся на переданный символ. Однако Е_ь в уравнении (9.6) — это энергия сигнала, приходящаяся на один бит принятой информации. Для разрешения описанного выше кажущегося противоречия следует учитывать потери информации, вызываемые помехами канала.

б) На основе уравнения (4.79) для BPSK можно записать

P_B=Q(j2E_b/N₀)=Q(0,441),

где Q определено в формуле (3.43) и представлено в табличной форме в приложении Б (табл. Б.1). Из таблицы находим, что Р_в = 0,33. Далее находим неоднозначность и эф­фективную энтропию

mm=-[(1 - р_в) iog₂ (1 - р_в)+р_в iog₂ р_в] =

= -(0,67 log₂ 0,67 + 0,33 log₂ 0,33) =

= 0,915 бит/символ

H_cff=H(X)-H(X\Y) =

= 1-0,915 =

= 0,085 бит/символ

Q Л. Толпоила 11 louunuo.Yoi

' Ej,') _(Е_Ь/ No) джоуль на символ/ватт на символ _ _ч yV₀ У _eff Н_е{( бит/символ

_ ОД джоуль на бит _

0,085 ’ ватг/Гц

= 0,7 дБ.

Таким образом, эффективное значение EJNo равно 0,7 дБ на принятый информацион­ный бит, что значительно больше предела Шеннона -1,6 дБ.

9.5. Плоскость “полоса-эффективность”

С помощью уравнения (9.6) можно составить график зависимости нормированной полосы пропускания канала WIC (в Гц/бит/с) от E,/N₀, как показано на рис. 9.4. Здесь в качестве независимой переменной взято Ei/N₀ и можно видеть компромисс между активной мощностью и полосой пропускания, так сказать, в деле. Можно показать [5], что качественно спроектированные системы должны стремиться к работе в области излома кривой компромисса между полосой пропускания и мощностью для идеаль­ного (R = С) канала. Характеристики реальных систем часто отличаются от идеальных не более чем на 10 дБ. Наличие излома означает, что в системах, в которых предпри­нимается попытка уменьшить занимаемую полосу пропускания канала или снизить требуемую мощность, приходится все больше повышать значение другого параметра (что является не очень желательным). Например, возвращаясь к рис. 9.4, можно ска­зать, что идеальная система, работающая при ErfN₀ = 1,8 дБ и 'использующая полосу частот с нормированной шириной 0,5 Гц/бит/с, для уменьшения используемой поло­сы частот до 0,1 Гц/бит/с должна поднять E,JN_n до 20 дБ. Подобное будет происходить и при попытке компромисса в обратную сторону.

С помощью уравнения (9.6,в) можно также получить зависимость CIW от EJN₀. Она показана на графике зависимости R/W от EJN₀ (рис. 9.6). Обозначим эту плоскость как плоскость “полоса-эффективность”. Ордината RJW — это мера объема данных, которые можно передать через единицу полосы частот за данное время; следовательно, она отобра­жает эффективность использования ресурса полосы пропускания. Независимая перемен­ная E,/N₀ измеряется в децибелах. На рис. 9.6 кривая R = C — это граница, разделяющая область реальных прикладных систем связи и область, в которой такие системы связи тео­ретически невозможны. Подобно изображенной на рис. 9.2, характеристика эффективно­сти полосы пропускания на рис. 9.6 устанавливает предельные параметры, которые дости­жимы для прикладных систем. Поскольку в качестве независимой переменной более предпочтительно EJN₀, чем SNR, рис. 9.6 удобнее рис. 9.2 с точки зрения сравнения ком­промиссов кодирования и модуляции в цифровой связи. Отметим, что на рис. 9.6 проил­люстрирована зависимость эффективности использования полосы частот от E,JN₀ для сис­тем с одной несущей. Для систем с множественными несущими эффективность использо­вания полосы частот зависит от разнесения несущих (и типа модуляции). В этом случае компромисс — это насколько разнесены несущие (что приводит к повышению эффектив­ности использования полосы частот) без возникновения неприемлемых помех соседних каналов (adjacent channel interference — ACI).

R/W (бит/с/Гц)  

9.5.1. Эффективность использования полосы при выборе схем MPSK и MFSK

На рис. 9.6 показаны рабочие точки для когерентной модуляции MPSK при вероятно­сти битовой ошибки 1СГ⁵. Предполагается, что до модуляции осуществляется фильтра­ция по Найквисту (идеальная прямоугольная), так что минимальная двойная полоса пропускания на промежуточной частоте (intermediate frequency — IF) W,_F = 1/Г, где Г — длительность символа. Таким образом, из уравнения (9.1) эффективность использова­ния полосы частот R/W = log₂ М, где М — размер набора символов. Для реальных кана­лов и сигналов производительность следует понизить, чтобы учесть увеличение поло­сы пропускания, требуемое для создания реализуемых фильтров. Отметим, что при модуляции MPSK R/W растет с увеличением М. Кроме того, положение рабочих точек MPSK указывает, что для модуляции BPSK (М = 2) и квадратичной PSK, или QPSK (М = 4), требуются одинаковые значения EJNq. Иными словами, при том же значении EJN₀ эффективность использования полосы частот для схемы QPSK равна 2 бит/с/Гц, в отличие от 1 бит/с/Гц для схемы BPSK. Эта уникальная особенность является след­ствием того, что QPSK представляет собой эффективную комбинацию двух сигналов в модуляции BPSK, которые передаются на ортогональных компонентах несущей.

■a.o/brKain'iyiDi

На рис. 9.6 также изображены рабочие точки некогерентной ортогональной моду­ляции MFSK при вероятности появления битовой ошибки 10"⁵. Предполагается, что полоса передачи равна W_lF - MIT. Следовательно (исходя из уравнения (9.1)), эффек­тивность использования полосы частот равна R/W = (log₂ М)1М. Отметим, что при мо­дуляции MFSK R/W снижается с увеличением М. Также следует отметить, что поло­жение рабочих точек MFSK указывает, что модуляция BFSK (М -2) и квадратичная FSK (М = 4) имеют одинаковую эффективность использования полосы частот, хотя первая требует большего значения EJNo для той же вероятности появления ошибки. Эффективность использования полосы частот изменяется с коэффициентом модуля­ции (разнесение частот в герцах, деленное на скорость передачи битов). Предполага­ется, что для каждого MFSK-модулированного сигнала требуется одинаковое прира­щение полосы пропускания, а значит, при М = 2 эффективность использования поло­сы составляет 1 бит/с/2 Гц или 1/2, а при М - 4 R/W — 2 бит/с/4 Гц, или 1/2. Таким образом, двоичная и 4-уровневая ортогональная FSK характеризуются одинаковыми значениями R/W.

На рис. 9.6 также показаны рабочие точки для когерентной квадратурной ампли­тудной модуляции (quadrature amplitude modulation — QAM). Видно, что на фоне ос­тальных модуляций QAM наиболее эффективно использует полосу частот; к этому типу модуляции мы еще обратимся в разделе 9.8.3.

9.5.2. Аналогия между графиками эффективности использования полосы частот и вероятности появления ошибки

График эффективности использования полосы на рис. 9.6 аналогичен графику веро­ятности ошибки на рис. 9.1. Предел Шеннона (рис. 9.1) является аналогом предель­ной пропускной способности (рис. 9.6). Кривые на рис. 9.1 называются кривыми рав­ной полосы пропускания. На рис. 9.6 можно аналогично описать кривые равной ве­роятности для различных схем кодирования и модуляции. Кривые, обозначенные как Р_ви Рв2 и Р_Вз, являются гипотетическими конструкциями для некоторых произволь­ных схем модуляции и кодирования; кривая Р_В\ представляет собой наибольшую из трех вероятность появления ошибки, а кривая Р_вг — наименьшую. Также на рисунке указано направление снижения Р_в.

Ранее, при изучении графика вероятности появления ошибки, рассматривались воз­можные компромиссы между Рв, EJN₀ и W. Аналогичные компромиссы можно рассмот­реть и на графике эффективности использования полосы частот. Возможные компромис­сы отображены на рис. 9.6 как сдвиги рабочей точки в направлениях, указанных стрелка­ми. Сдвиг рабочей точки вдоль линии 1 можно рассматривать как поиск компромиссов между Р_в и EJN₀ при фиксированном значении RJW. Точно так же сдвиг вдоль линии 2 — это поиск компромиссов между Р_в и W (или RIW) при фиксированном значении E,/N₀. И наконец, сдвиг вдоль линии 3 показывает поиск компромиссов между W (или R/W) и E,/N₀ при постоянном значении Р_в. На рис. 9.6 (как и на рис. 9.1) сдвиг вдоль линии 1 может быть вызван повышением или снижением номинального EJN& Сдвиги вдоль линии 2 или

3 требуют изменений схемы модуляции или кодирования.

Два основных ресурса связи — это переданная мощность и ширина полосы про­пускания. Для разных систем связи один из этих ресурсов дороже другого, и следова­тельно, большую часть систем можно классифицировать как системы ограниченной мощности или ограниченной полосы пропускания. В системах с ограниченной мощно-

Г гюс><а Q 1/'г»ипг»л»ллп/М-1 г-1 r-м л млПАПиОПоаиММ КДГЪПЧ/ПаММЫ \А ^ППМППЙЯНМа

стъю для экономии энергии за счет полосы пропускания можно использовать схемы кодирования, эффективно использующие мощность, тогда как в системах с ограничен­ной полосой можно применять методы эффективной (с точки зрения используемого спектра) модуляции для экономии полосы частот за счет увеличения расхода энергии.

9.6. Компромиссы при использовании модуляции и кодирования

На рис. 9.7 проводится аналогия между двумя графиками рабочих характеристик, вероят­ности появления ошибок (рис. 9.1) и эффективности использования полосы частот (рис. 9.6). Рис. 9.7, а и б изображены в тех же координатах, что рис. 9.1 и 9.6. Вследствие выбора соответствующего масштаба они имеют симметричный вид. В обоих случаях стрелки и обозначения показывают основное следствие сдвига рабочей точки в направле­нии, указанном стрелкой (собственно сдвиг — это подбор схем кодирования и модуляции). Обозначения, соотнесенные с каждой стрелкой, означают следующее: “Выигрыш (В) по X за счет (С) У при фиксированном (Ф) Z”. Предметом компромиссов являются параметры Р_в, W, RJW и Р (мощность или SIN). Как сдвиг рабочей точки в сторону предела Шеннона (рис. 9.7, а) может дать снижение Р_в или требуемой мощности передатчика (за счет полосы пропускания), так и сдвиг в сторону предельной пропускной способности канала (рис. 9.7, 6) может повысить эффективность использования полосы частот за счет повы­шения требуемой мощности или увеличения Р_в.

Рв В: Р_в, Р В: Р, Рв ^R/^w С: W С: R/W   а) б) Рис. 9.7. Компромиссы при использовании модуляции и кодирования: а) график вероят­ности появления ошибки; б) график эффективности использования полосы частот

Наиболее часто эти компромиссы изучаются при фиксированном значении Р_в (ограничиваемом системными требованиями). Следовательно, наиболее интересую­щими нас стрелками на рисунке являются описывающие изменения при фиксиро­ванной вероятности появления ошибки (обозначены как Ф: Р_в). На рис. 9.7 имеется четыре такие стрелки: две на графике вероятности ошибки и две на графике эффек­тивности использования полосы частот. Стрелки, помеченные аналогичным образом, указывают соответствие между двумя графиками. Работу системы можно представлять с использованием любого из этих графиков. Эти графики — просто два возможных
взгляда на некоторые ключевые параметры системы; каждый из них подчеркивает не­сколько отличные аспекты разработки. В системах с ограниченной мощностью удобнее всего пользоваться графиком вероятности появления ошибки, поскольку при переходе от одной кривой к другой требования к полосе пропускания лишь подразумеваются, а явно выделяется вероятность появления битовой ошибки. График эффективности ис­пользования полосы частот, как правило, применяется в системах с ограниченной поло­сой пропускания', здесь при переходе от одной кривой к другой на задний план ото­двигается вероятность появления битовой ошибки, тогда как требования к полосе пропускания показываются явно.

Итак, для формирования эвристического взгляда на вопросы разработки компро­миссов между вероятностью ошибки, полосой пропускания и мощностью были пред­ставлены два графика системных компромиссов, что применимо ко многим схемам мо­дуляции и кодирования, но с одной оговоркой. Для некоторых кодов или комбиниро­ванных схем с модуляцией и кодированием кривые характеристик не ведут себя настолько предсказуемо, как в рассмотренном примере. Это связано с функциями кор­рекции ошибок и использования полосы пропускания конкретного кода. Например, на рис. 6.22 показана характеристика когерентной схемы PSK в сочетании с несколь­кими кодами. Обратим внимание на графики, описывающие два кода БХЧ, (127, 64) и (127, 36). Из их взаимного расположения видно, что код (127, 64) дает большую эф­фективность кодирования, чем код (127, 36). Это противоречит ожиданиям, посколь­ку код (127, 36) при тех же размерах блока имеет большую избыточность (и требует большей полосы пропускания), чем код (127, 64). В разделе 9.10, посвященном ре­шетчатому кодированию, рассматриваются коды, которые могут обеспечить высокую эффективность кодирования без расширения полосы пропускания. Рабочие характе­ристики таких схем кодирования также будут вести себя не так, как характеристики, рассмотренные выше.

9.7. Определение, разработка и оценка систем цифровой связи

Этот раздел призван помочь в описании характерных этапов, которые следует рас­сматривать при удовлетворении требований, касающихся мощности, полосы пропус­кания и достоверности передачи в системе цифровой связи. Далее приводится не­сколько примеров систем, в которых подробно описываются критерии выбора схем кодирования и модуляции, исходя из типа системы — является ли она системой с ог­раниченной мощностью или системой с ограниченной полосой пропускания. Подчер­киваются тонкие, но важные моменты преобразования битов данных в канальные би­ты, затем в символы и далее в элементарные сигналы.

Разработка любой системы цифровой связи начинается с описания канала (принимаемая мощность, доступная полоса пропускания, статистики шума и иных ухудшений качества сигнала, таких, например, как замирание) и определения систем­ных требований (скорость передачи данных и вероятность появления ошибок). После описания канала нужно определиться с проектными решениями, которые позволят наилучшим образом использовать канал и удовлетворить требования производитель­ности. Описание производительности системы включает в себя традиционный набор преобразований и расчетов. После того как такой подход станет понятным, его можно использовать как образец для оценки большинства систем связи. В последующих раз-

ГПЯЙЯ Q 1^ЛМПППММГГк1 ППМ МГ'ППли'ЭГтаыМ!/! MOn\/nai IWW \Л ^ППМППИЯНИЯ

делах будут рассмотрены три примера систем: система с ограниченной мощностью без кодирования, система с ограниченной полосой без кодирования и система с ограни­ченными мощностью и полосой с кодированием. В данном разделе представлены сис­темы связи реального времени, в которых термин кодированный (или некодированный) означает наличие (или отсутствие) кода коррекции ошибок, включающего использо­вание избыточных битов и увеличение ширины полосы пропускания.

Два основных ресурса связи — это переданная мощность и ширина полосы пропускания. В различных системах связи один из этих ресурсов дороже другого, и следовательно, боль­шую часть систем можно классифицировать как системы с ограниченной мощностью или ограниченной полосой пропускания. В системах с ограниченной мощностью для экономии энергии за счет полосы пропускания можно применять схемы кодирования, эффективно использующие мощность, тогда как в системах с ограниченной полосой можно использовать методы эффективной (с точки зрения используемого спектра) модуляции для экономии полосы частот за счет увеличения расхода энергии. В обоих случаях для экономии энергии или повышения достоверности передачи при расширении полосы пропускания можно применять кодирование с коррекцией ошибок (часто называемое канальным кодированием). Для повышения надежности передачи в каналах с ограниченной полосой пропускания без увеличения ширины полосы пропускания часто используется решетчатое кодирование (trellis-coded modulation — ТСМ) [6]. Эти методы рассматриваются в разделе 9.10.

9.7.1. М-арная передача сигналов

При использовании схемы, в которой за такт обрабатывается к бит, передача сигналов называется М-арной (см. раздел 3.8). Каждый символ М-арного алфавита можно одно­значно связать с последовательностью из к бит, где

М= 2^к или k-log₂M (9.13)

и М — размер алфавита. Если передача является цифровой, термин символ означает элемент Л/-арного алфавита, передаваемый за время символьного интервала Г,. Для передачи символ следует представить в виде сигнала напряжения или тока. Поскольку сигнал представляет символ, термины символ и сигнал иногда используются как сино­нимы. Поскольку один из М символов (или сигналов) передается за интервал T_s, ско­рость передачи данных R можно записать в следующем виде.

R= — = — бит/с (9.14)

Т, Т₅

Из соотношения (9.14) эффективную длительность Т_ь каждого бита можно представить через длительность символа Т, или скорость передачи данных R_s.

IT 1

=- = -*- = — (9.15)

R k kR_s

Далее на основе выражений (9.13) и (9.15) через скорость передачи битов R можно за­писать скорость передачи символов R_s.

R_s= ^R (9.16)

log₂ M

9 7 ОППРПРПРМИР пя-5пя6птк^,г» w m гмптам i iwrhnnDnw ppa-ju

Из соотношений (9.14) и (9.15) видно, что в любой цифровой схеме при передаче к= (log₂ М) бит за T_s секунд, ширине полосы пропускания в W Гц, эффективность ис­пользования полосы частот записывается следующим образом:

R _ log2 М _ 1 W~ WT_S ~WT_b

В данном случае Т_ь — это эффективное время передачи каждого бита.

9.7.2. Системы с ограниченной полосой пропускания

Из уравнения (9.17) видно, что в любой системе цифровой связи эффективность ис­пользования полосы частот возрастает при увеличении произведения WT_b. Следователь­но, в системах с ограниченной полосой пропускания часто применяются сигналы с ма­лыми значениями произведения WT_b. Например, в системе GSM (Global System for Mo­bile — глобальная система мобильной связи) используется гауссова манипуляция с минимальным сдвигом (Gaussian minimum shift keying — GMSK), в которой произведе­ние WT_b равно 0,3 Гц/бит/с [7], где W — ширина полосы частот по уровню 3 дБ.

При использовании системы с ограниченной полосой пропускания без кодирова­ния целью является получение максимально возможного объема переданной инфор­мации в заданной полосе пропускания за счет EJN_Q (сохраняя при этом определенное значение Р_в). На графике эффективности использования полосы частот (рис. 9.6) по­казаны рабочие точки когерентной М-арной схемы PSK (MPSK) при Р_в = 10~⁵. Пред­полагается, что немодулированный сигнал подвергается фильтрации по Найквисту (идеальной прямоугольной) [2], так что для модуляции MPSK минимальная двойная полоса пропускания, центрированная на промежуточной частоте (intermediate fre­quency — IF), связана со скоростью передачи символов.

(9.18)

Здесь T_s — время передачи символа, а й,- скорость передачи символов. Фильтрация по Найквисту дает минимальную полосу пропускания, при которой существует нулевая межсимвольная интерференция; такая идеальная фильтрация определяет минимальную ширину полосы по Найквисту. Следует отметить, что при неортогональной передаче сигналов (например, MPSK или MQAM) полоса пропускания зависит не от плотности точек сигналов в группе, а только от скорости передачи сигналов. При передаче век­тора сигнала система не различает, пришел ли этот сигнал из разреженного или уп­лотненного алфавита. Это и является свойством неортогональных сигналов, которое позволяет уплотнить пространство сигналов и, таким образом, повысить эффектив­ность использования полосы частот за счет мощности передатчика. Из уравне­ний (9.17) и (9.18) запишем, насколько сигнал в модуляции MPSK эффективно ис­пользует полосу при фильтрации по Найквисту.

— = log₂ М бит/с/Гц

Точки MPSK, показанные на рис. 9.6, подтверждают соотношение (9.19). Отметим, что модуляция MPSK является схемой эффективного использования полосы. С уве­личением М также растет R/W. Из рис. 9.6 можно убедиться, что модуляция MPSK

действительно может дать повышение эффективности использования полосы частот за счет увеличения EJNq. Было найдено множество схем модуляции, позволяющих весьма эффективно использовать полосу частот [8], но их рассмотрение выходит за рамки данной книги.

На графике эффективности использования полосы частот (рис. 9.6) показаны две области — область ограниченной полосы пропускания и область ограниченной мощ­ности. Отметим, что желаемые компромиссы, связанные с каждой из этих областей, не являются беспристрастными. В области ограниченной полосы желательным явля­ется большое значение R!W\ в то же время с ростом EJN₀ выравнивается кривая пре­дельной пропускной способности и для повышения R/W требуется дополнительное увеличение EJN₀. Аналогичная связь имеется в области ограниченной мощности. Здесь желательно малое отношение EJN₀, но кривая предельной пропускной способ­ности становится более крутой и для незначительного снижения требуемого EJN₀ нужно значительно уменьшить R/W.

9.7.3. Системы с ограниченной мощностью

Для систем с ограниченной мощностью, где имеется достаточная полоса пропускания, но существует дефицит мощности (например, линия космической связи), возможны следующие компромиссы (см. рис. 9.1, а): 1) уменьшение Р_в за счет полосы пропус­кания при фиксированном EJN₀\ 2) снижение E,/N₀ за счет полосы пропускания при фиксированном Р_в. “Естественным” вариантом при выборе модуляции для систем с ограниченной мощностью представляется М-арная FSK (MFSK). На рис. 9.6 показа­ны рабочие точки для некогерентной ортогональной модуляции MFSK при Р_в = 1СГ⁵. Для MFSK минимальная полоса частот по Найквисту определяется следующим выра­жением (см. раздел 4.5.4.1):

W = — = MR_S, (9.20)

где Т, — длительность передачи символа, a R_s — скорость передачи символов. При ис­пользовании MFSK необходимая полоса пропускания расширяется в М раз по срав­нению с двоичной FSK, поскольку теперь существует М различных ортогональных сигналов, каждый из которых требует полосы шириной 1!T_S. Таким образом, из урав­нений (9.17) и (9.20) эффективность использования полосы частот при некогерентной модуляции MFSK с фильтрацией по Найквисту можно выразить следующим образом:

— = --²—- бит/с/Гц. (9.21)

W М

Следует отметить важное различие между эффективностью использования полосы (R/W) схемой MPSK в уравнении (9.19) и схемой MFSK, представленной в уравне­нии (9.21). При MPSK R/W растет с увеличением размерности пространства сигналов М. При использовании MFSK работает два механизма. Числитель дроби R/W дает та­кой же эффект с увеличением М, как и в случае MPSK. Знаменатель же приводит к уменьшению значения R/W при росте М. Поскольку при увеличении М знаменатель растет быстрее числителя, это приводит к снижению R/W. Рабочие точки MFSK, по­казанные на рис. 9.6, подтверждают соотношение (9.21) — ортогональная передача сигналов (например, MFSK) является схемой с расширением полосы пропускания. Из

---

Дата добавления: 2015-10-28